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1、课件1证明(zhngmng)思路：根据(gnj)定理前提条件,知第1页/共28页第一页，共29页。课件2第2页/共28页第二页，共29页。课件3（2） 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个(y )奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理(dngl)4.8】(采用反证 法证明）第3页/共28页第三页，共29页。课件4（1）直接(zhji)展开法 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过(tnggu)计算系数:把 f (z)在z0展开(zhn ki)成幂级数。第4页/共28页第四页
2、，共29页。课件5例1：类似(li s)地，解：第5页/共28页第五页，共29页。课件6（二）间接(jin ji)展开法 借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为依据(yj)来得出一个函数的泰勒展开式,第6页/共28页第六页，共29页。课件7两式相乘(xin chn)得，解：第7页/共28页第七页，共29页。课件8（方法(fngf)二 待定系数法）那么(n me)，同次幂系数(xsh)相等，第8页/共28页第八页，共29页。课件9解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析(ji x), 所以可在|z|1内展开成z的幂级数.
3、 第9页/共28页第九页，共29页。课件10 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算(j sun)相应的泰勒展开式。 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析(ji x)的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy解：第10页/共28页第十页，共29页。课件11逐项积分(jfn)得第11页/共28页第十一页，共29页。课件12而如果把函数(hnsh)中的x换成z, 在复平面内来看函数(hnsh)1-z2+z4-它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数(hnsh)展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的
4、实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式242211( 1)1nnxxxx - -的成立必须受|x|1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的.第12页/共28页第十二页，共29页。课件13第13页/共28页第十三页，共29页。课件144.4 罗朗级数(j sh) 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题
5、中却经常(jngchng)遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.例：第14页/共28页第十四页，共29页。课件15第15页/共28页第十五页，共29页。课件164.4.1 罗朗级数(j sh)的概念定义(dngy)4.6第16页/共28页第十六页，共29页。课件17在收敛圆环域内也具有(jyu). 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质(xngzh), 级数现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够(nnggu)展开成幂级数?第17页/共28页第十七页，共29页。课件181R
6、z注:(1)罗朗级数(j sh)在形式上与泰勒级数(j sh)类似,它的证明也是类似的.(2)一般地,即使正幂项的系数也不能利用高阶导数形式(xngsh)表示.第18页/共28页第十八页，共29页。课件19此时,罗朗级数(j sh)退化为泰勒级数(j sh)。柯西基本(jbn)定理高阶导数(do sh)公式（4）唯一性第19页/共28页第十九页，共29页。课件20解：因为(yn wi)第20页/共28页第二十页，共29页。课件21解：讨论(toln)的圆环域以 i圆心，第21页/共28页第二十一页，共29页。课件22所以(suy)，211zizzf - - )(11112 - -zzzzzn（
7、但不能得到相应的级数(j sh)形式。）第22页/共28页第二十二页，共29页。课件23所以(suy)，211zizzf - - )(第23页/共28页第二十三页，共29页。课件240-2解：第24页/共28页第二十四页，共29页。课件25所以(suy)，第25页/共28页第二十五页，共29页。课件26所以(suy)，第26页/共28页第二十六页，共29页。课件27所以(suy)，第27页/共28页第二十七页，共29页。课件28感谢您的观看(gunkn)！第28页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结课件。第1页/共28页。【定理4.8】(采用反证 法证明）。把 f (z)在z0展开成幂级数。借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒(ti l)展开式,。（方法二 待定系数法）。对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算相应的泰勒(ti l)展开式。ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,。1-z2+z4-。第27页/共28页第二十九页，共29页。