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1、会计学1届高三数学届高三数学(shxu)解斜三角形解斜三角形第一页，共22页。 1.掌握正弦定理、余弦定理，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题并能解决一些简单的三角度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算理等知识和方法解决一些与几何计算有关有关(yugun)的实际问题的实际问题.第1页/共22页第二页，共22页。1.在在ABC中，已知中，已知BC=12，A=60，B=45，则，则AC=( )DA.3 B.3 C.4 D.4 由正弦定理由正弦定理(dngl)得得 = ,所以所以AC= = =4 .第2页/共22页第三页，
2、共22页。2.在在ABC中，若中，若a、b、c成等比数列成等比数列(dn b sh li)，且，且c=2a，则，则cosB=( )DA. B. C. D. 因为因为(yn wi)a、b、c成等比数列，所成等比数列，所以以b2=ac.又又c=2a,所以所以b2=2a2,所以所以cosB= = = .34第3页/共22页第四页，共22页。3.在在ABC中中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),则三则三角形的最小内角角形的最小内角(ni jio)是是( )63A.60 B.45 C.30 D.以上以上(yshng)答案都答案都错错 由正弦由正弦(zhngxin)定理定理 = = =2R
3、，得得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1).因为因为a为最小值，所以为最小值，所以A为最小内角为最小内角.因为因为cosA= = ,且且A(0,60)，所以，所以A=45，故选，故选B.63B第4页/共22页第五页，共22页。4.某人向正东方向某人向正东方向(fngxing)走了走了x km，他向右，他向右转转150,然后朝新方向然后朝新方向(fngxing)走了走了 km，结果他离出发点恰好为，结果他离出发点恰好为 千米，那么千米，那么x的的值是（值是（ ）C3A. B.2C.2 或或 D.33333 先根据已
4、知条件先根据已知条件(tiojin)画出草图画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，选方程即可，选C.第5页/共22页第六页，共22页。5.已知已知ABC的三个内角的三个内角(ni jio)A、B、C成成等差数列，且等差数列，且AB=1,BC=4，则边，则边BC上的中上的中线线AD的长为的长为 ，SACD= . 由已知，由已知，B=60，AB=1，BD=2.由余弦定理由余弦定理(y xin dn l)知知AD= .3第6页/共22页第七页，共22页。又又cosADB= = = ,又又0ADB180，所以所以(suy)ADB=30，所以，所以(suy
5、)ADC=150，所以所以(suy)SACD= ADDCsinADC= .第7页/共22页第八页，共22页。1.正弦定理及变式正弦定理及变式(1) = = =2R;(2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC;(3)sinA= ,sinB= ,sinC= ;(4)sinA sinB sinC =a b c.(5)在下列条件下，应用正弦定理求解在下列条件下，应用正弦定理求解:()已知两角和一边，求其他已知两角和一边，求其他(qt)边和角；边和角；()已知两边和其中一边的对角，求另一边已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的对角及其他(qt)边和角边和角.sinaAsincC2Rsin
6、B第8页/共22页第九页，共22页。2.余弦定理余弦定理(y xin dn l)及变式及变式(1)a2=b2+c2-2bccosA;b2= ;c2=a2+b2-2abcosC.(2)cosA= ; cosB= ; cosC= .a2+c2-2accosB2222acbac第9页/共22页第十页，共22页。(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解在下列条件下，应运用余弦定理求解:()已知三边，求三个角；已知三边，求三个角；()已知两边和它们的夹角已知两边和它们的夹角(ji jio)，求，求第三边和其他两个角；第三边和其他两个角；()已知两边和其中一边的对角，求第已知两边和其中一边的对角，求第三边和
7、其他两个角三边和其他两个角.(此类问题需要讨论此类问题需要讨论)3.三角形的面积公式三角形的面积公式S= absinC= = bcsinA.12acsinB12第10页/共22页第十一页，共22页。4.应用解三角形知识解决实际应用解三角形知识解决实际(shj)问问题的步骤题的步骤(1)根据题意画出示意图；根据题意画出示意图；(2)确定实际确定实际(shj)问题所涉及的三角形问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知条件；，并搞清该三角形的已知条件和未知条件；(3)选用正、余弦定理进行求解，并注选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；意运算的正确性；(4)给出答案给出答案.第11页
8、/共22页第十二页，共22页。例例1 在在ABC中，已知中，已知a= ,b= ,B=45,求角求角A、C及边及边c. 由正弦定理由正弦定理(dngl)，得，得sinA= = = ,因为因为ba,所以所以BA,所以所以A=60或或120.323第12页/共22页第十三页，共22页。 已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形问题问题,用正弦定理解用正弦定理解(lji),求得求得sinA= 时，要时，要注意角注意角A是锐角还是钝角，若不能确定，则是锐角还是钝角，若不能确定，则需分类讨论需分类讨论.(1)当当A=60时，时，C=75，所以所以(suy)c= = .(2)当当A=
9、120时，时，C=15，所以所以(suy)c= = .32第13页/共22页第十四页，共22页。例例2 钝角钝角(dnjio)ABC的三内角的三内角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，sinC= , (c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角，求角A、B、C.22第14页/共22页第十五页，共22页。 由由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得得(c-b)a2+b3=c3,所以所以(suy)(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0,即即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以所以(suy)b=c或或b2+bc+c2-a2=0,当当b=c时
10、，有时，有B=C，所以，所以(suy)C为锐角，为锐角，又又sinC= ,所以所以(suy)B=C=45,所以所以(suy)A=90，这与，这与ABC为钝角三角为钝角三角形矛盾形矛盾.22第15页/共22页第十六页，共22页。当当b2+bc+c2-a2=0时，时，b2+c2-a2=-bc,所以所以(suy)cosA= =- ,所以所以(suy)A=120，又又sinC= 且且C为锐角，所以为锐角，所以(suy)C=45，所以所以(suy)B=180-A-C=15，综上可知综上可知,A=120,B=15,C=45.2222bcabc1222 若将边化角若将边化角,常用三角函数公式来化简常用三角函
11、数公式来化简;若将若将角化角化(jio hu)边边,则常通过因式分解来得到则常通过因式分解来得到.第16页/共22页第十七页，共22页。例例3 已 知 圆 内 接 四 边 形 的 边 长 为已 知 圆 内 接 四 边 形 的 边 长 为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形，求四边形ABCD的面积的面积(min j).第17页/共22页第十八页，共22页。 如图，连接如图，连接(linji)BD，设四边形设四边形ABCD的面积为的面积为S，则则S=SABD+SBCD = ABADsinA+ BCCDsinC,因为四边形因为四边形ABCD为圆内接四边形，为圆内接四边形，所以所以A+C=18
12、0，所以所以sinA=sinC,cosA=-cosC,所以所以S= (ABAD+BCCD)sinA=16sinA,121212第18页/共22页第十九页，共22页。在在ABD中，由余弦定理中，由余弦定理(y xin dn l)得，得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA.在在BCD中，由余弦定理中，由余弦定理(y xin dn l)同样可得，同样可得，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA.由由BD2=BD2，得，得20-16cosA=52+48cosA，即即cosA=- ,又又A(0,)，所以，所以A=120,所
13、以所以S=16sin120=8 .123 将四边形转化为三角形问题，创将四边形转化为三角形问题，创造应用解三角形的情景，进而运用有造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题关的知识去解决问题.第19页/共22页第二十页，共22页。正、余弦定理正、余弦定理(y xin dn l)体现了三角体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一已知边、角互化或统一.一般的，利用公式一般的，利用公式a=2RsinA等（等（R为外接圆半径），可将边转化角为外接圆半径），可将边转化角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式cosA= 等，可将有关三角形中的角的余等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边.2222bcabc第20页/共22页第二十一页，共22页。第21页/共22页第二十二页，共22页。