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1、2 月月 19 日理科数学日理科数学排列与组合考纲要求考情分析命题趋势1.理解排列、组合的概念2 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3 能用排列与组合解决简单的实际问题.2017全国卷，62017浙江卷，162016全国卷， 122016四川卷，4两个计数原理与排列、 组合的综合问题是高考的热点， 以考查基本概念、基本方法(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、 补集思想和逻辑思维能力.分值：5 分1排列与组合的概念名称定义排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素按照_一定的顺序_排成一列组合合成一组2排列数与组合数(1)排列数的定义
2、： 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用_Amn_表示(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_所有不同组合_的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用_Cmn_表示3排列数、组合数的公式及性质公式Amn_n(n1)(n2)(nm1)_n！nm！，CmnAmnAmm_nn1n2nm1m！_n！m！nm！性0！_1_，Ann_n！_，质CmnCnmn，Cmn1_CmnCm1n_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)Amnn(n1)(
3、n2)(nm)()(3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立()(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()(5)C22C23C24C2nC3n1.()2用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A8B24C48D120解析 C12A34243248.3A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须在 A 的右侧(A，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有(B)A24 种B60 种C90 种D120 种解析 可先排 C，D，E 三人，共有 A35种，剩余 A，B 两人
4、只有一种排法故满足条件的排法共有 A35160 种4方程 3A3x2A2x16A2x的解为_5_.解析 由排列数公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3 且 xN，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即 3x217x100，(3x2)(x5)0，x5.5已知1Cm51Cm6710Cm7，则 Cm8_28_.解析 由已知得 m 的取值范围为m|0m5，mZ，m！5m！5！m！6m！6！77m！m！107！，整理可得 m223m420，解得 m21(舍去)或 m2.故 Cm8C2828.一排列问题(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排
5、列时一般采用特殊元素优先原则， 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置， 对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法【例 1】 (1)3 名男生，4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有_2_520_种不同的排法(2)将某大学 4 名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生 A 不分到甲校，则不同的实习安排方案共有_18_种解析 (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排出，有 A572 520 种排法(2)先将 A 分配到乙校，再分配另外 3
6、 个学生，有 A33种方法，同理可得，将 A 分配到丙丁各有 A33种，则共有 3A3318(种)二组合问题(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理【例 2】 (1)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(D)A60B63C65D66(2)要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，A，B，C 三人必须入选，则有_36_种不同选法解析 (1)因为 1,2,3，9 中共有
7、 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45C44C25C2466 种不同的取法(2)只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C2936 种选法三排列组合的综合问题利用先选后排法解决问题的三个步骤【例 3】 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四位数的个数为(C)A300B216C180D162解析 分两类：第 1 类，不取 0，即从 1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 C23C
8、22A4472(个)没有重复数字的四位数；第 2 类，取 0，此时 2 和 4 只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 C12C23(A44A33)108(个)没有重复数字的四位数根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有 72108180(个)四分组分配问题分组分配问题的处理策略(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”【例 4】 (1)(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4
9、项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有(D)A12 种B18 种C24 种D36 种(2)(2017浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_660_种不同的选法(用数字作答)解析 (1)因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组，即 2,1,1，有 C246 种，再分配给 3个人，有 A336 种，所以不同的安排方式共有 6636(种)(2)分
10、两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C48C4655 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A2412 种不同的选法根据分步乘法计算原理知共有 5512660 种不同的选法1从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成一个没有重复数字且能被 3 整除的四位数，这样的四位数有_个2 “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)， 若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第 30 个数为_.3由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有 2,3，但它们不相邻的五位数？
11、(2)有多少个数字 1,2,3 必须由大到小顺序排列的六位数？4从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？易错点错用“隔板法”错因分析：不熟悉“隔板”法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少 1 个元素当问题不具备这些特点时，不能完成转化【例 1】 (1)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？(2)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(3)12 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？【跟踪训练 1】 (2016全国卷)定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有()A18 个B16 个C14 个D12 个