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1、 数学( 理科) 答案 第1 页( 共6页)河南名校联盟2 0 2 02 0 2 1学年高二( 下) 期末考试数学( 理科) 答案第卷1234567891 01 11 2ACACCBBDDDCB一、 必做题: 本大题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.【 答案】A【 解析】 根据公式(UM)(UN)=U(MN) 直接得解, 也可用韦恩图证明, 故选A.2.【 答案】C【 解析】1+2(1- i)1+ i= 1+(1- i)2= 1-2 i = 5, 故选C.3.【 答案】A【 解析】 依题意,S7=7(a1+a7)2=72a42=
2、7a4=73, 则a4=13, 又因为a1=13, 所以an=13, 则S9=9a1=3, 故选A.4.【 答案】C【 解析】 方程x2+x-a(a+1)=0, 即x+(a+1)(x-a)=0, 解得x=-a-1或x=a, 令-a-1=1可得a=-2, 同时a=1时,-1-a=-2; 令-a-1=-2可得a=1, 同时a=-2时,-1-a=1, 故选C.5.【 答案】C【 解析】 由程序框图可知, 一共进行4次循环, 循环结束时S=1+2+22+23+24=3 1, 所以最后输出的值为S=9 33 1=3, 故选C.6.【 答案】B【 解析】 由y=a x2, 得x2=1ay, 令14a=1得
3、a=14,b2b-a=b2b-14, 令t=b-140, 则b2b+a=b2b+14=t+142t=t+11 6t+122t11 6t+12=1, 当且仅当t=11 6t, 即t=14时取等号.故选B.7.【 答案】B 数学( 理科) 答案 第2 页( 共6页)【 解析】 根据题意知ab=|a|b|c o sa,b=c o sa,b=12, 所以a,b=6 0 , 建立平面直角坐标系, 设a=(1,0) ,b=(12,32) , 则c=a+2b=(2,3) , 所 以c o sa,c=acac=(1,0) (2,3)1 7=27, 所以t a na,c=32, 故选B.8.【 答案】D【 解析
4、】 根据题意, 外接球的直径为2 9, 该几何体可看作长方体截得的一部分, 如下图两种图形, 该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长, 设长方体底面的宽为x, 则x2+22+42=2 9,x=3, 故该几何体的体积为234-1312234=2 0或234-21312234=1 6, 故选D.9.【 答案】D【 解析】 由f(x)=(x+1)ex, 得f (x)=(x+2)ex, 所以函数f(x) 在(-,-2) 上单调递减, 在(-2,+) 上单调递增, 所以A不正确; 分析函数f(x) 的大致图象( 也可另f(x)=0, 得x=-1) , 可知B错误; 设切点为(x0, (x0+1)ex0
5、) , 可得切线方程为y-(x0+1)ex0=(x0+2)ex0(x-x0) , 又因为过坐标原点, 可得x20+x0-1=0, 该方程有两个解, 所以D正确; 因为f(-x)-f(x) , 所以C错误.故选D.1 0.【 答案】D【 解析】 依题意,f(x)= 3 s i nxc o sx+s i n2x=s i n 2x-6+12, 函数g(x)=12-f(-x)= s i n(2x+6) , 因此点5 1 2,0是函数g(x) 的图象的一个对称中心, 故选D.1 1.【 答案】C【 解析】 易证正三棱锥的对棱垂直, 所以A BC D, 故A正确; 当A B=B C=2 2时, 正三棱锥A
6、-B C D为正四面体, 可放到边长为2的正方体内, 所以正三棱锥A-B C D的外接球的半径为3, 外接球的表面积为1 2 , 故B正确; 当ADB C=2 1 6时, 取C D的中点为M, 连接AM,BM, 则AMB即为所求角, 令AD=2 1,B C=6, 则AM=2 3,BM=3 3, 所以c o s AMB=AM2+BM2-A B22AMBM=12,AMB=6 0, 故C不 正 确; 将 侧 面 沿A C展 开 ( 如 图) , 则CMN周长的最小值为3, 故D正确.故选C.1 2.【 答案】B【 解析】 由l na=- 4a2l n2, 得l naa2=l n12122, 由4 l
7、 nb=b2l n2, 得l nbb2=l n222, 由8 l nc=c2l n2,得l ncc2=l n442, 令g(x)=l nxx2, 则g (x)=1-2 l nxx3, 所以函数g(x) 在(0,e) 上单调递增,在(e,+) 上单调递减, 且g(1)=0, 当x1时,g(x)0, 画出g(x) 的大致图象如图所示, 分析可得ac1 0 4. 8, 所以建议员工甲选择方案一.(1 2分)1 8.【 解析】 () 当n3时,an=2an-1+3an-2,an+k an-1=(2+k)an-1+3an-2=(2+k)an-1+3k+2an-2,(2分)令k=3k+2, 则k2+2k-
8、3=0, 解得k=-3或1, 所以an-3an-1=-(an-1-3an-2) ,an+an-1=3(an-1+an-2).所以an-3an-1=(-2)(-1)n-1(n2) ,an+an-1=23n-1(n2) , 从而可得an=123n-12(-1)n-1.(6分)()Sn=123(1-3n)1-3-1211-(-1)n1-(-1)=3n+1+(-1)n-44.(1 2分) ( 本题为分组求和法求和: 每一组求和正确, 得3分)1 9.【 解析】 () 由鳖臑的概念, 可知D E平面A B C D,A C平面A B C D,D EA C, (2分)又四边形A B C D是正方形,A CB
9、 D,B DD E=D,A C平面B D E,(4分)A C平面A C E,平面A C E平面B D E.(6分)()DA,D C,D E两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系D-x y z,(7分)设AM=t(0 t 3 6) , 则D(0,0,0) ,M(3,0,t) ,E(0,0,3 6) ,B(3,3,0) ,BM=(0,-3,t) ,EM=(3,0,t-3 6),D B=(3,3,0) , (8分)设平面B EM的法向量为n=(x,y,z) , 则nBM=0nEM=0,即-3y+t z=03x+(t-3 6)z=0,令z=1, 则平面B EM的一个法向量为n=(6-t3,t3,1).
10、(1 0分)线段B D与平面B EM所成角的正弦值等于c o sD B,n,c o s=|D Bn|D Bn=3 6-t+t3 2(6-t3)2+t29+ 1=3 63 2(6-t3)2+t29+ 1=3 1 31 3,(1 1分)所以t=2 6或6, 故AM=2 6或6.(1 2分)2 0.【 解析】 () 设椭圆C的方程为m x2+n y2=1, 由已知有m+94n=143m+2n=1,(2分)解得m=14,n=13 数学( 理科) 答案 第5 页( 共6页)所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(4分)() 由() 知,A(0,3) ,F(1,0) , 假设存在直线l满足题意, 并设
11、l的方程为y=33x+t,M(x1,y1) ,N(x2,y2).由y=33x+tx24+y23=1, 得1 3x2+8 3t x+1 2(t2-3)=0,(6分)由=(8 3t)2-41 31 2(t2-3)0, 得-3 93t3 93,x1+x2=-8 3t1 3.(8分)由题意易知点F为AMN的重心, 所以x1+x2+xA=3xF, 即-8 3t1 3+0=3, 解得t=-1 3 38,(1 0分)当t=-1 3 38时, 不满足-3 93t 0, 得0 x 2, 令f (x) 0, 得x 2, 所以f(x) 在(-,0) 和(2,+) 上单调递减, 在(0,2) 上单调递增; 故函数f(
12、x) 的极小值为f(0)=0, 当x2时, 分析可得f(x)=x2ex0, 所以函数f(x) 的最小值为f(0)=0.(4分)() 令(x)=ex(x-2)-a(x-1)2, 当a=0时,(x) 只有一个零点x=2, 由题意知(x)=(x-1)ex-2a(x-1)=(x-1) (ex-2a) ,(6分)因为a0, 所以当x(-,1) 时,(x)0, 函数(x) 为增函数.故当x=1时,(x) 存在极小值(1)=-e 0,-1+1a-3e3+40,所以(x) 在区间(1,2) ,-1+1a,1内各有一个零点;当a0时, 由(x)=(x-1) (ex-2a)=0, 得x1=1,x2= l n2a.
13、当l n2a1, 即ae2时, 随着x的变化,(x) 与(x) 的变化情况如下表:x(-,1)1(1,l n2a)l n2a(l n2a,+)(x)+0-0+(x)极大值极小值所以函数(x) 在(-,1) , (l n2a,+) 上单调递增, 在(1,l n2a) 上单调递减.又因为(1)=-e 0,(l n2a)=2a(l n2a-2)-a(l n2a-1)2=a-(l n2a-2)2-1 l n2a, 使得(x0)0,(1 0分)所以函数(x) 在区间(l n2a,+) 只有一个零点; 当l n2a=1, 即a=e2时, 因为(x)=(x-1) (ex-2a)0( 当且仅当x=1时等号成立
14、) , 所以(x) 在R上单调递增, 此时, 函 数学( 理科) 答案 第6 页( 共6页)数(x) 至多一个零点;当l n2a1, 即a0, 所以当x1时,(x)=(x-2)ex-a(x-1)20,(1)=-e 0, 此时, 函数(x) 在区间(-,1) 无零点, 在区间(1,+) 上至多一个零点;又(0)=-2-a,当a=-2时,(0)=0.g(x)=ex(x-2)-a(x-1)2,x0,当a-2时,g(x) 零点的个数与(x) 的零点个数相同.当a=-2时,g(x) 只有一个零点;综上可知, 若g(x) 有两个不同的零点,a(-,-2)(-2,0).(1 2分)( 二) 选考题: 共1
15、0分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做第一题计分.2 2.【 解析】 (I) 依题意, 曲线C: (x-2)2+y2=9, 故x2+y2-4x-5=0,(1分)即曲线C的极坐标方程为2-4c o s-5=0;(3分)由x=-t,y=1+t消去参数t可得直线l的普通方程为x+y-1=0.(5分)() 先将直线l的方程写成标准的参数方程为x=-22t,y=1+22t,代入x2+y2-4x-5=0中,(7分)化简可得t2+3 2t-4=0, 设M,N所对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-3 2,t1t2=-4,(8分)故AM+AN=t1+t2=t1-t2=(t
16、1+t2)2-4t1t2=3 4.(1 0分)2 3.【 解析】 () 方法一: 当x-1时,f(x)=1-3x+3(-x-1)=-2-6x4;(2分)当-1x13时,f(x)=1-3x+3(x+1)=4;(3分)当x13时,f(x)=3x-1+3(x+1)=6x+24, 所以m=4.(5分)方法二:f(x)=| 3x-1 |+3 |x+1 |=3(|x-13|+|x+1 |)343=4, 当且仅当-1x13时,f(x)m i n=4, 所以m=4.(5分)() 由a2+b2=a+b, 得(a+b)2-(a+b)=2a b(a+b)22, 即(a+b)22a+b, 当且仅当a=b时取等号, 所以a+b2.(7分)因为(a+1) (b+1)(a+1)+(b+1)22=(a+b+22)24,(8分)且仅当a=b时取等号, 所以(a+1) (b+1)4.(1 0分)