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1、实用文档小学奥数小学奥数 3030 个知识点大汇总个知识点大汇总1 1和差倍问题和差倍问题2 2年龄问题的三个基本特征：年龄问题的三个基本特征：3 3归一问题归一问题4 4植树问题植树问题5 5鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题6 6盈亏问题盈亏问题7 7牛吃草问题牛吃草问题8 8周期循环与数表规律周期循环与数表规律9 9平均数平均数1010抽屉原理抽屉原理1111定义新运算定义新运算1212数列求和数列求和1313二进制及其应用二进制及其应用1414加法乘法原理和几何计数加法乘法原理和几何计数1515质数与合数质数与合数1616约数与倍数约数与倍数1717数的整除数的整除1818余数及其应用余数及其应
2、用1919余数、同余与周期余数、同余与周期2020分数与百分数的应用分数与百分数的应用2121分数大小的比较分数大小的比较文案大全实用文档2222分数拆分分数拆分2323完全平方数完全平方数2424比和比例比和比例2525综合行程综合行程2626工程问题工程问题2727逻辑推理逻辑推理2828几何面积几何面积2929立体图形立体图形3030时钟问题快慢表问题时钟问题快慢表问题文案大全实用文档1 1和差倍问题和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的
3、和，差，倍数关系公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式公式( (和差和差) )2=2=较小数较小数较小数差较小数差= =较大数小学奥数很简单，就这较大数小学奥数很简单，就这 3030 个知识点个知识点和较小数和较小数= =较大数较大数( (和差和差) )2=2=较大数较大数较大数差较大数差= =较小数较小数和较大数和较大数= =较小数较小数和和( (倍数倍数1)=1)=小数小数小数倍数小数倍数= =大数大数和小数和小数= =大数大数差差( (倍数倍数-1)=-1)=小数小数小数倍数小数倍数= =大数大数小数差小数差= =大数大数关键问题求出同一条件下的关键问题求出同一条件下的和与差和与倍
4、数差与倍数和与差和与倍数差与倍数2年龄问题三个基本特征：三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；文案大全实用文档两个人的年龄的倍数是发生变化的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线
5、上植树，基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树， 两端都植树在直线或两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，者不封闭的曲线上植树， 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数基本公式棵数= =段数段数1 1棵距段数棵距段数= =总长棵数总长棵数= =段数段数1 1棵距段数棵距段数= =总长棵数总长棵数= =段数段数棵距段数棵距段数= =总长总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题基本概念：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问
6、题、鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，假设问题，就是把假就是把假设错的那部分置换出来；设错的那部分置换出来；基本思路：基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。文案大全实用文档基本公式：基本公式：把所有鸡假设成兔子：把所有鸡假设
7、成兔子：鸡数鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：把所有兔子假设成鸡：兔数兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，按照另一种标准分组，又产生一种结果，又产生一种结果，由于分组的标准不同，由于分组的标准不同，造成造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量结果的差异
8、，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：基本思路： 先将两种分配方案进行比较，先将两种分配方案进行比较， 分析由于标准的差异造分析由于标准的差异造成结果的变化，成结果的变化， 根据这个关系求出参加分配的总份数，根据这个关系求出参加分配的总份数， 然后根据题意然后根据题意求出对象的总量求出对象的总量基本题型：基本题型：一次有余数，另一次不足；一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；当两次都有余数；基本公式：基本公式：总份数总份数（较大余数一较小余数）（较大余数一较小余数）两次每份数的差两次每份数的
9、差当两次都不足；当两次都不足；基本公式：基本公式：总份数总份数（较大不足数一较小不足数）（较大不足数一较小不足数）两次每份数的两次每份数的差差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。基本特点：对象总量和总的组数是不变的。文案大全实用文档关键问题：确定对象总量和总的组数。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1 1”份，根据两次不同的”份，根据两次不同的吃法，吃法，求出其中的总草量的差；求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，再找出造成这种差异的原因，即可确即可确定草的生长速度和总草量。定草的生长速度和总草量。基本
10、特点：原草量和新草生长速度是不变的；基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。关键问题：确定两个不变的量。基本公式：基本公式：生长量生长量= =（较长时间长时间牛头数（较长时间长时间牛头数- -较短时间短时间牛头数）较短时间短时间牛头数）（长时间（长时间- -短时间）；短时间）；总草量总草量= =较长时间长时间牛头数较长时间长时间牛头数- -较长时间生长量；较长时间生长量；8周期循环与数表规律周期现象：周期现象： 事物在运动变化的过程中，事物在运动变化的过程中， 某些特征有规律循环出现。某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。周期：我们把连
11、续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有闰年：一年有 366366 天；天；年份能被年份能被 4 4 整除；整除； 如果年份能被如果年份能被 100100 整除，整除， 则年份必须能被则年份必须能被400400 整除；整除；平年：一年有平年：一年有 365365 天。天。年份不能被年份不能被 4 4 整除；如果年份能被整除；如果年份能被100100 整除，但不能被整除，但不能被400400整除；整除；9平均数文案大全实用文档基本公式：平均数基本公式：平均数= =总数量总份数总数量总份数总数量总数量= =平均数总份数平均数总份数总份数总份数= =
12、总数量平均数总数量平均数平均数平均数= =基准数每一个数与基准数差的和总份数基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. .基准数法：基准数法：根据给出的数之间的关系，根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；确定一个基准数；一般一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，以基准数为标准， 求求所有给出数与基准数的差；所有给出数与基准数的差； 再求出所有差的和；再求出所有差的和； 再求出这些差的平均再求出这些差的平均数；数；最后求这个差的平均
13、数和基准数的和，最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，就是所求的平均数，具体具体关系见基本公式。关系见基本公式。10抽屉原理抽屉原则一：如果把（抽屉原则一：如果把（n+1n+1）个物体放在）个物体放在 n n 个抽屉里，那么必有个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有一个抽屉中至少放有 2 2 个物体。个物体。例：例： 把把 4 4 个物体放在个物体放在 3 3 个抽屉里，个抽屉里， 也就是把也就是把 4 4 分解成三个整数的分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：和，那么就有以下四种情况：4=4+0+04=4+0+04=3+1+04=3+1+04=2+2+04=2+2+04=2+
14、1+14=2+1+1观察上面四种放物体的方式，观察上面四种放物体的方式， 我们会发现一个共同特点：我们会发现一个共同特点： 总有那总有那么一个抽屉里有么一个抽屉里有 2 2 个或多于个或多于 2 2 个物体，个物体， 也就是说必有一个抽屉中至少也就是说必有一个抽屉中至少放有放有 2 2 个物体。个物体。抽屉原则二：如果把抽屉原则二：如果把 n n 个物体放在个物体放在 m m 个抽屉里，其中个抽屉里，其中nmnm，那么，那么必有一个抽屉至少有：必有一个抽屉至少有：文案大全实用文档k=n/m+1k=n/m+1 个物体：当个物体：当 n n 不能被不能被 m m 整除时。整除时。k=n/mk=n/
15、m 个物体：当个物体：当 n n 能被能被 m m 整除时。整除时。理解知识点：理解知识点：XX表示不超过表示不超过 X X 的最大整数。的最大整数。例例4.351=44.351=4；0.321=00.321=0；2.9999=22.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算基本概念：基本概念： 定义一种新的运算符号，定义一种新的运算符号， 这个新的运算符号包含有多这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。种基本（混合）运算。基本思路：基本思路
16、：严格按照新定义的运算规则，严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，把已知的数代入，转化转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：注意事项： 新的运算不一定符合运算规律，新的运算不一定符合运算规律， 特别注意运算顺序。特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和等差数列：等差数列：在一列数中，在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，任意相邻两个数的差是一定的，这样的这样的一
17、列数，就叫做等差数列。一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1a1 表示；表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n n 表示；表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d d 表示；表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 anan 表示；表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 SnSn 表示表示文案大全实用文档基本思路：等差数列中涉及五个量：基本思路：
18、等差数列中涉及五个量：a1a1，anan，d d，n n，snsn，通项，通项公式中涉及四个量，公式中涉及四个量，如果己知其中三个，如果己知其中三个，就可求出第四个；就可求出第四个；求和公式求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：基本公式：通项公式：an=a1+an=a1+（n n1 1）d d；通项首项（项数一通项首项（项数一 1)1)公差；公差；数列和公式：数列和公式：snsn，=(a1+an)n2=(a1+an)n2；数列和（首项末项）项数数列和（首项末项）项数 2 2；项数公式：项数公式：n=(an
19、+a1)dn=(an+a1)d1 1；项数项数= =（末项（末项- -首项）公差首项）公差1 1；公差公式：公差公式：d=d=（anana1a1）（）（n n1 1）；）；公差公差= =（末项首项）（项数（末项首项）（项数1 1）；）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用十进制：用十进制：用0 09 9 十个数字表示，逢十个数字表示，逢1010 进进 1 1；不同数位上的数字；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的表示不同的含义，十位上的 2 2 表示表示 2020，百位上的，百位上的 2 2 表示表示 200200。
20、所以。所以234=200+30+4=2102+310+4234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+ +A3102+A2101+A1100+A3102+A2101+A1100注意：注意：N0=N0=；N N=N=N（其中（其中 N N 是任意自然数）是任意自然数）二进制：用二进制：用 0 01 1 两个数字表示，逢两个数字表示，逢 2 2 进进 1 1；不同数
21、位上的数字；不同数位上的数字表示不同的含义。表示不同的含义。文案大全实用文档（2 2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+ +A322+A221+A120+A322+A221+A120注意：注意：AnAn 不是不是 0 0 就是就是 1 1。十进制化成二进制：十进制化成二进制：根据二进制满根据二进制满 2 2 进进 1 1 的特点，的特点， 用用 2 2 连续去除这个数，连续去除这个数， 直到商为直到商为0 0，然后把每次
22、所得的余数按自下而上依次写出即可。，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的先找出不大于该数的 2 2 的的 n n 次方，次方， 再求它们的差，再求它们的差， 再找不大于再找不大于这个差的这个差的 2 2 的的 n n 次方，依此方法一直找到差为次方，依此方法一直找到差为0 0，按照二进制展开式，按照二进制展开式特点即可写出。特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有：如果完成一件任务有 n n 类方法，在第一类方法中有类方法，在第一类方法中有m1m1 种不同方法，在第二类方法中有种不同方法，在第二类方法中有m2m2 种不同方法，在第种不同方法
23、，在第n n 类方类方法中有法中有 mnmn 种不同方法，那么完成这件任务共有：种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.+mnm1+m2.+mn种不同的方法。种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成如果完成一件任务需要分成 n n 个步骤进行，做第个步骤进行，做第 1 1 步有步有m1m1 种方法，不管第种方法，不管第1 1 步用哪一种方法，第步用哪一种方法，第2 2 步总有步总有 m2m2 种方法不种方法不管前面管前面 n-1n-1 步用哪种方法，第步
24、用哪种方法，第 n n 步总有步总有 mnmn 种方法，那么完成这件任种方法，那么完成这件任务共有：务共有：m1m1m2.m2.mnmn 种不同的方法。种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。关键问题：确定工作的完成步骤。文案大全实用文档基本特征：每一步只能完成任务的一部分。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两
25、个端点，有长度。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数数线段规律：总数1+2+3+1+2+3+ +（点数一（点数一 1 1）；）；数角规律数角规律=1+2+3+=1+2+3+ +（射线数一（射线数一 1 1）；）；数长方形规律：个数数长方形规律：个数= =长的线段数宽的线段数：长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数数长方形规律：个数=1=11+21+22+32+33+3+ +行数列数行数列数15质数与合数质数：质数： 一个数除了一个数除了 1 1 和它本身之外，
26、和它本身之外， 没有别的约数，没有别的约数， 这个数叫做质数，这个数叫做质数，也叫做素数。也叫做素数。合数：合数： 一个数除了一个数除了 1 1 和它本身之外，和它本身之外， 还有别的约数，还有别的约数， 这个数叫做合数。这个数叫做合数。质因数：质因数： 如果某个质数是某个数的约数，如果某个质数是某个数的约数， 那么这个质数叫做这个数的那么这个质数叫做这个数的质因数。质因数。分解质因数：分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示出来，把一个数用质数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。任何一
27、个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：分解质因数的标准表示形式：N=N=，其中，其中 a1a1、a2a2、a3a3anan 都是合数都是合数N N 的质因数，且的质因数，且 a1a1a2a3an。a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)文案大全实用文档互质数：如果两个数的最大公约数是互质数：如果两个数的最大公约数是 1 1，这两个数叫做互质数。，这两个数叫做互质数。/a2a3an。/a2a3an。16约数与倍数约数和倍数：若整数约数和倍数：若整数 a a 能够被
28、能够被 b b 整除，整除，a a 叫做叫做 b b 的倍数，的倍数，b b 就叫做就叫做 a a的约数。的约数。公约数：公约数：几个数公有的约数，几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；叫做这几个数的公约数；其中最大的一其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：最大公约数的性质：1 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。、几个数的公约
29、数，都是这几个数的最大公约数的约数。4 4、几个数都乘以一个自然数、几个数都乘以一个自然数 m m，所得的积的最大公约数等于这几个，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以数的最大公约数乘以 m m。例如：例如：1212 的约数有的约数有 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212； 18 18 的约数有：的约数有：1 1、2 2、3 3、6 6、9 9、1818；那么那么 1212 和和 1818 的公约数有：的公约数有：1 1、2 2、3 3、6 6；那么那么 1212 和和 1818 最大的公约数是：最大的公约数是：6 6，记作（，记作（1212，1818）=6=6；求最大
30、公约数基本方法：求最大公约数基本方法：1 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3 3、 辗转相除法：辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除，每一次都用除数和余数相除， 能够整除的那个余数，能够整除的那个余数，文案大全实用文档就是所求的最大公约数。就是所求的最大公约数。公倍数：公倍数：几个数公有的倍数，几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；叫做这几个数的公倍数；其中最小的一其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。个，叫做这几个数的最小公倍
31、数。1212 的倍数有：的倍数有：1212、2424、3636、4848；1818 的倍数有：的倍数有：1818、3636、5454、7272；那么那么 1212 和和 1818 的公倍数有：的公倍数有：3636、7272、108108；那么那么 1212 和和 1818 最小的公倍数是最小的公倍数是 3636，记作，记作1212，18=3618=36；最小公倍数的性质：最小公倍数的性质：1 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数
32、的乘积。求最小公倍数基本方法：求最小公倍数基本方法：1 1、短除法求最小公倍数；、短除法求最小公倍数；2 2、分解质因、分解质因数的方法数的方法17数的整除一、基本概念和符号：一、基本概念和符号：1 1、整除：如果一个整数、整除：如果一个整数 a a，除以一个自然数，除以一个自然数 b b，得到一个整数商，得到一个整数商 c c，而且没有余数，那么叫做而且没有余数，那么叫做 a a 能被能被 b b 整除或整除或 b b 能整除能整除 a a，记作，记作 b|ab|a。2 2、常用符号：常用符号：整除符号整除符号“| |”，不能整除符号不能整除符号“”“”；因为符号因为符号“”“”，所以的符号
33、“”；所以的符号“”；二、整除判断方法：二、整除判断方法：1.1.能被能被 2 2、5 5 整除：末位上的数字能被整除：末位上的数字能被 2 2、5 5 整除。整除。2.2.能被能被 4 4、2525 整除：末两位的数字所组成的数能被整除：末两位的数字所组成的数能被 4 4、2525 整除。整除。3.3.能被能被 8 8、125125 整除：末三位的数字所组成的数能被整除：末三位的数字所组成的数能被 8 8、125125 整除。整除。文案大全实用文档4.4.能被能被 3 3、9 9 整除：各个数位上数字的和能被整除：各个数位上数字的和能被 3 3、9 9 整除。整除。5.5.能被能被 7 7
34、整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 7 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 2 倍后能被倍后能被 7 7 整除。整除。6.6.能被能被 1111 整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被被 1111 整除。整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 1111 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被逐次去掉
35、最后一位数字并减去末位数字后能被 1111 整除。整除。7.7.能被能被 1313 整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被被 1313 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 9 倍后能被倍后能被 1313 整除。整除。三、整除的性质：三、整除的性质：1.1.如果如果 a a、b b 能被能被 c c 整除，那么（整除，那么（a+ba+b）与（）与（a-ba-b）也能被）也能被 c c 整除。整除。2.2.如果如果 a a 能被能被 b b 整除，整除，c
36、c 是整数，那么是整数，那么 a a 乘以乘以 c c 也能被也能被 b b 整除。整除。3.3.如果如果 a a 能被能被 b b 整除，整除，b b 又能被又能被 c c 整除，那么整除，那么 a a 也能被也能被 c c 整除。整除。4.4.如果如果 a a 能被能被 b b、c c 整除，那么整除，那么 a a 也能被也能被 b b 和和 c c 的最小公倍数整除。的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自然数基本概念：对任意自然数 a a、b b、q q、r r，如果使得，如果使得 a ab=qb=qr r，且，且0rb0rb，那么，那么 r r 叫做叫做 a a 除以除以
37、 b b 的余数，的余数，q q 叫做叫做 a a 除以除以 b b 的不完全商。的不完全商。文案大全实用文档余数的性质：余数的性质：余数小于除数。余数小于除数。若若 a a、b b 除以除以 c c 的余数相同，则的余数相同，则 c|a-bc|a-b 或或 c|b-ac|b-a。a a 与与 b b 的和除以的和除以 c c 的余数等于的余数等于 a a 除以除以 c c 的余数加上的余数加上 b b 除以除以 c c 的余的余数的和除以数的和除以 c c 的余数。的余数。a a 与与 b b 的积除以的积除以 c c 的余数等于的余数等于 a a 除以除以 c c 的余数与的余数与 b b
38、 除以除以 c c 的余数的余数的积除以的积除以 c c 的余数。的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：一、同余的定义：若两个整数若两个整数 a a、b b 除以除以 m m 的余数相同，则称的余数相同，则称 a a、b b 对于模对于模 m m 同余。同余。已知三个整数已知三个整数 a a、b b、m m，如果，如果m|a-bm|a-b，就称，就称a a、b b 对于模对于模 m m 同余，记同余，记作作 a ab(modm)b(modm)，读作，读作 a a 同余于同余于 b b 模模 m m。二、同余的性质：二、同余的性质：自身性：自身性：a aa(modm)a(modm)；对称性
39、：若对称性：若 a ab(modm)b(modm)，则，则 b ba(modm)a(modm)；传递性：若传递性：若 a ab(modm)b(modm)，b bc(modm)c(modm)，则，则 a ac(modm)c(modm)；和差性：若和差性：若 a ab(modm)b(modm)，c cd(modm)d(modm)，则，则 a+ca+cb+d(modm)b+d(modm)，a-ca-cb-d(modm)b-d(modm)；相乘性：若相乘性：若 a ab(modm)b(modm)，c cd(modm)d(modm)，则，则 acbd(modm)；acbd(modm)；乘方性：若乘方性：
40、若 a ab(modm)b(modm)，则，则 ananbn(modm)bn(modm)；同倍性：若同倍性：若 a ab(modm)b(modm)，整数，整数 c c，则，则 acbc(modmc)；acbc(modmc)；三、关于乘方的预备知识：三、关于乘方的预备知识：文案大全实用文档若若 A=ab，则A=ab，则 MA=Mab=（MA=Mab=（MaMa）b b若若 B=c+dB=c+d 则则 MB=Mc+d=McMdMB=Mc+d=McMd四、被四、被 3 3、9 9、1111 除后的余数特征：除后的余数特征：一个自然数一个自然数 M M，n n 表示表示 M M 的各个数位上数字的和，
41、则的各个数位上数字的和，则M Mn(mod9)n(mod9)或或（mod3mod3）；）；一个自然数一个自然数 M M，X X 表示表示 M M 的各个奇数位上数字的和，的各个奇数位上数字的和，Y Y 表示表示 M M 的各的各个偶数数位上数字的和，则个偶数数位上数字的和，则 M MY-XY-X 或或 M M11-11-（X-YX-Y）(mod11)(mod11)；五、费尔马小定理：如果五、费尔马小定理：如果 p p 是质数（素数），是质数（素数），a a 是自然数，且是自然数，且 a a 不能不能被被 p p 整除，则整除，则 ap-1ap-11(modp)1(modp)。20分数与百分数的
42、应用基本概念与性质：基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数 （0 0 除外）除外） ，分数的大小不变。分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。逆向思维方法：从题
43、目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：对应思维方法： 找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；见的是转换成比例和转换成倍数关系； 把不同的标准把不同的标准 （在分数中一般（在分数中一般指的是一倍量）指的是一倍量） 下的分率转化成同一条件下的分率。下的分率转化成同一条件下的分率。 常见的处理方法常见的处理方法文案大全实用文档是确定不同的标准为一倍量。是确定不同的标准为一倍量。假设
44、思维方法：假设思维方法： 为了解题的方便，为了解题的方便， 可以把题目中不相等的量假设成可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。求出最后结果。量不变思维方法：量不变思维方法：在变化的各个量当中，在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，总有一个量是不变的，不不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A A、分量发生变化，总量不变。、分量发生变化，总量不变。 B B、总量发生变化，但其中有的分量不、
45、总量发生变化，但其中有的分量不变。变。C C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。/rb/rb，那么那么 r r 叫做叫做 a a 除以除以 b b 的余数，的余数，q q 叫做叫做 a
46、 a 除以除以 b b 的不完全商。的不完全商。21分数大小的比较基本方法：基本方法：通分分子法：通分分子法： 使所有分数的分子相同，使所有分数的分子相同， 根据同分子分数大小和分母根据同分子分数大小和分母的关系比较。的关系比较。通分分母法：通分分母法： 使所有分数的分母相同，使所有分数的分母相同， 根据同分母分数大小和分子根据同分母分数大小和分子的关系比较。的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：分子和分母大小比较法： 当分子和分母的差一定时，当分子和分母的差一定时， 分子或分母越分子或分母越大
47、的分数值越大。大的分数值越大。文案大全实用文档倍率比较法：倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小， 除了除了运用以上方法外，运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 （具体（具体运用见同倍率变化规律）运用见同倍率变化规律）转化比较方法：转化比较方法：把所有分数转化成小数把所有分数转化成小数（求出分数的值）（求出分数的值）后进行比后进行比较。较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 1 进行比较。进行比较。大小比较法：用一个分数减去
48、另一个分数，得出的数和大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 0 比较。比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：23完全平方数完全平方数特征：完全平方数特征：1.1.末位数字只能是：末位数字只能是：0 0、1 1、4 4、5 5、6 6、9 9；反之不成立。；反之不成立。2.2.除以除以 3 3 余余 0 0 或余
49、或余 1 1；反之不成立。；反之不成立。3.3.除以除以 4 4 余余 0 0 或余或余 1 1；反之不成立。；反之不成立。4.4.约数个数为奇数；反之成立。约数个数为奇数；反之成立。5.5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：平方差公式：X X2 2-Y-Y2 2= =（X-YX-Y）（）（X+YX+Y）文案大全实用文档完全平方和公式：（完全平方和
50、公式：（X+YX+Y）2 2=X=X2 2+2XY+Y+2XY+Y2 2完全平方差公式：（完全平方差公式：（X-YX-Y）2 2=X=X2 2-2XY+Y-2XY+Y2 224比和比例比：比：两个数相除又叫两个数的比。两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号前面的数叫比的前项，比号后比号后面的数叫比的后项。面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。比例：表示两