高考数学总复习苏教等差数列.pptx

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1、会计学1高考高考(o ko)数学总复习苏教数学总复习苏教 等差数列等差数列第一页，共25页。4. 等差数列(dn ch sh li)的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+ (n-m)d (n,mN*).(2)若an为等差数列(dn ch sh li)，且p+q=m+n(p,q,m,nN*),则 ap+aq=am+an.(3)若an是等差数列(dn ch sh li)，公差为d,则a2n也是等差数列(dn ch sh li)，公差为2d.(4)若an,bn是等差数列(dn ch sh li)，则pan+qbn是 等差数列(dn ch sh li).(5)若an是等差数列(dn ch sh

2、li)，则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的等差数列(dn ch sh li).5. 等差数列(dn ch sh li)的前n项和公式设等差数列(dn ch sh li)an的公差为d,其前n项和.d21)-n(nnaS2)an(aS1nn1n或第1页/共25页第二页，共25页。6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系(gun x)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的 二次函数且常数项为0 ，即Sn= an2+bn.7. 在等差数列an中，若a10,d0，则Sn存在最 大 值; 若a10,d0，则Sn存在最 小 值.)n.d-(an 2d

3、S212n第2页/共25页第三页，共25页。典例分析典例分析(fnx)题型一题型一 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【例【例1】(2008全国全国)等差数列等差数列an中，中，a4=10,且且a3,a6,a10成等比数列成等比数列(dn b sh li).求数列求数列an前前20项的和项的和S20.分析分析 用用a4与与d表示表示a3,a6,a10,根据等比中项的性质，知根据等比中项的性质，知a26=a3a10，列方程求出，列方程求出d,进而根据进而根据a4与与d求出首项求出首项a1，即可求，即可求S20,或用或用a1,d表示表示a3,a4,a6,a10,再列方程再列方程求出求出a1和和d

4、，然后求出，然后求出S20.解解 设数列设数列an的公差为的公差为d,则则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.由由a3,a6,a10成等比数列成等比数列(dn b sh li),得得a3a10=a26,第3页/共25页第四页，共25页。即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得d2-d=0,解得d=0或d=1.当d=0时，S20=20a4=200;当d=1时，a1=a4-3d=10-31=7.所以, 学后反思 等差数列an中一共涉及五个基本量，即首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn,在a1,an,n,d,Sn中只要

5、知道其中三个，其他两个就能求（简称“知三求二”）.其中a1与d是最基本的两个量，往往用它们表示其他的量列出方程（组）进一步求解.另外等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式 以及其性质公式应在解题过程中灵活(ln hu)应用.330.190720d2192020aS120d21)-n(nna2)an(aS1n1n第4页/共25页第五页，共25页。举一反三举一反三(j y fn sn)(j y fn sn)（20092009全国全国）已知等差数列）已知等差数列 中，中， 求求anan的前的前n n项和项和 . .解析: 设 的公差为d,则 即 解得 或 所以,当 时， 当 ， 1

6、1112616350adadadad 22111812164adadad 182ad 182ad 18a 2d (1)82(9)2nn nSnn n 18a 2d (1)8( 2)(9)2nn nSnnn 第5页/共25页第六页，共25页。题型二题型二 等差数列等差数列(dn ch sh li)的判定的判定【例【例2】(2009启东模拟启东模拟)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足 (1)求证求证: 是等差数列是等差数列(dn ch sh li)；（2）求）求an的表达式的表达式.2)0(nS2Sa1 -nnnS1n 21a1nS11 -nnS1-S1分析（1）由已知条

7、件联想 = (n2)，然后再利用等差数列的定义证明 (n2)为常数；（2）根据等差数列的通项公式求出 ，代入 = (n2)即可求出 na1nnSSnana1nnSS第6页/共25页第七页，共25页。（2）由（1）知当n2时，有又n=1时，.2n1S2n,21)-(n21)d-(nS1S1n1n,1)-2n(n1-S-2Sa1 -nnn 21a1 2n,1)-2n(n11,n, 21an解（1）证明：an=Sn-Sn-1(n2),Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn0, 由等差数列的定义知 是以 为首项，以2为公差的等差数列.2).2(nS1-S11 -nnS1n2a1S111第7页/共25页第

8、八页，共25页。（2）判断等差数列(dn ch sh li)最常用的方法是定义法an+1-an=d(nN*)和等差中项法an+1+an-1=2an(nN*且n2)举一反三举一反三2. (2009湖北改编)已知数列 的前n项和 (n为正整数).令 ,求证:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.na11( )22nnnSa 2nnnbanbna学后反思学后反思(fn s) (1)数列数列an是等差数列是等差数列an-an-1=d(nN*且且n2,d为常数为常数)或或an+1-an=d(nN*);an+1+an-1=2an(nN*且且n2);an=kn+b(k,b为常数为常数);Sn=An2+Bn

9、(A,B为常数为常数).第8页/共25页第九页，共25页。 ,即当n2时， 又 ,数列 是首项和公差均为1的等差数列.于是 , 11nnbb11nnbb1121banb1112nnnbnna 2nnna 解析： 在 中，令n=1,可得 ,即 当n2时， ,即 11( )22nnnSa 1112Sa 112a 2111()22nnnSa 1111( )2nnnnnnaSSaa 1112( )2nnnaa1122nnnnaa2nnnba第9页/共25页第十页，共25页。题型三题型三 等差数列等差数列(dn ch sh li)性质的应用性质的应用【例【例3】(1)(2008宁夏、海南宁夏、海南)已知

10、已知an为等差数列为等差数列(dn ch sh li)，a3+a8=22,a6=7,求求a5;(2)等差数列等差数列(dn ch sh li)an的前的前m项和为项和为30,前前2m项和为项和为100,求它求它的前的前3m项的和项的和.分析分析 （1）由等差数列）由等差数列(dn ch sh li)的性质的性质a3+a8=a6+a5,即可求出即可求出a5,或用或用a1与与d表示出表示出a3,a8,a6,根据已知条件列出关于根据已知条件列出关于a1与与d的方程组，求的方程组，求出出a1与与d的值，然后根据等差数列的值，然后根据等差数列(dn ch sh li)的通项公式求出的通项公式求出a5.(

11、2)由等差数列由等差数列(dn ch sh li)an的前的前n项和项和Sn的性质知的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列也成等差数列(dn ch sh li)，即由，即由2(100-30)=30+(S3m-100)可求出可求出S3m.解解 (1)方法一：由等差数列方法一：由等差数列(dn ch sh li)的通项公式得的通项公式得a5=a1+4d=47-32=15.-8,d47,a75da22,7da2da1111第10页/共25页第十一页，共25页。方法二：由等差数列的性质(xngzh),得a3+a8=a5+a6a5=15.(2)方法一：Sm=a1+a2+am,S2m-Sm

12、=am+1+am+2+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m.(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(S2m-Sm).所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.从而有2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m),S3m=3(S2m-Sm)=210.方法(fngf)二：将Sm=30,S2m=100代入得d, 21)-n(nnaS1n100,d 21)-2m(2m2ma30,21)d-m(mma11第11页/共25页第十二页，共25页。解方程组得 m20m10a ,m40d212210.d21)-3m(3m3maS13m方法三：由等差数列an的前n项和公式知S

13、n是关于n的二次函数(hnsh)，即Sn=An2+Bn(A,B是常数)，将Sm=30,S2m=100代入上式，得S3m=A(3m)2+B3m=210.,m10B,m20A1002mBA(2m)30,BmAm222学后反思 (1)运用通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式，结合方程(fngchng)思想是解决此类问题的通用方法.d21)-n(nnaS1n第12页/共25页第十三页，共25页。举一反三举一反三3. （2010滨州模拟改编）等差数列滨州模拟改编）等差数列(dn ch sh li)an、bn的的前前n项和分别是项和分别是Sn、Tn,且且. ba,32n3-3nTS66nn则解析

14、：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则 56TS 2)b11(b2)a11(abbaa2b2aba11111111111111116666mnpqaaaa答案： 56第13页/共25页第十四页，共25页。题型四题型四 数列中的最值问题数列中的最值问题【例【例4】(14分分)在等差数列在等差数列(dn ch sh li)an中，已知中，已知a1=20,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15,求当求当n取何值时，取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值取得最大值，并求出它的最大值.分析（分析（1）由）由a1=20及及S10=S15可求得可求得d,进而求得通项进而求得通项,由通项得到此数列

15、前由通项得到此数列前多少项为正，或利用多少项为正，或利用Sn是关于是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解求解.（2）利用等差数列）利用等差数列(dn ch sh li)的性质，判断出数列从第几项开始的性质，判断出数列从第几项开始变号变号.解 方法一： 0a 365n35-35-1)-(n20a 35-dd, 214152015d 29102010,SS20,a13n15101第14页/共25页第十五页，共25页。即当n12时，an0;当n14时，an 0当n=12或13时，Sn取得(qd)最大值，且最大值为方法二：同方法一求得nN*,当n=12或1

16、3时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130方法三:同方法一求得 130 )35- (211122012SS1312 35-d 24125 3)225-(n65 -n 6125)n65- ( )35- (21)-n(n20nS22n 35-d 第15页/共25页第十六页，共25页。又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0.当n=12或13时，Sn有最大值，最大值为S12=S13=130学后反思 求等差数列前n项和的最值常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利

17、用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数(hnsh)，根据二次函数(hnsh)的性质求最值.举一反三举一反三4. 设等差数列 的前n项和为Sn,已知 (1)求公差d的取值范围；（2）指出 中哪一个值最大，并说明理由.na312a 120S130S1212,.,S SS第16页/共25页第十七页，共25页。解析：(1)依题意，得 即 ， ,由 ,得 .将式分别代入、式，得 因此 (2)方法一：由d0,可知 因此，若在1n12中存在自然数n，使得 ,则 就是 中的最大值.由于 , 即 , ,因此 , ,故在 中 的值最大.12112 (12 1)1202Sad13113 (

18、13 1)1302Sad11211060adad312a 1122ad247030dd2437d 1231213.aaaaanS12676()0Saa137130Sa670aa70a 60a 70a 第17页/共25页第十八页，共25页。方法二：由d0,可知 因此，若在1n12中存在(cnzi)自然数n,使得 , ,则 就是 中的最大值.由 故在 中， 的值最大.nS第18页/共25页第十九页，共25页。易错警示易错警示(jn sh)【例】等差数列an中，a1=-5,从第10项开始为正数(zhngsh)，则公差d的取值范围为.错解 由错解分析 此解法忽略了条件a90.学生由于未能理解“从第10

19、项开始为正数(zhngsh)”的含义，主观认为a100,导致答案不够完整，因此学生在审题过程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义，避免出现类似的错误.正解由题意知a10=-5+9d0且a9=-5+8d0, 95d0,9d-5a10得 85d95第19页/共25页第二十页，共25页。10. (2008山东改编)已知 ,求f(2)+f(4)+f(8)+f( )的值.2(3 )4 log 3233xfx解析：令 , ,即 ,f(2)+f(4)+f(8)+f( ) 3xt3logxt23( )4log 3 log233f tt2( )4log233f tt8222223823624(log 2log 4

20、log 8.log 2 )8 2334 log (2 22. 2 )8 2334 log 218642008 第20页/共25页第二十一页，共25页。11. (2009盐城模拟)数列an的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n2).(1)求证: 是等差数列，并求公差;(2)求数列an的通项公式.)S1(n解析：(1)当n2时， 是首项为 ,公差为 的等差数列. 31S1, 21-S1-S1SS2S-2SSS2a,S-Sa11 -nn1 -nn1 -nn1 -nnn1 -nnn而S1n3121-第21页/共25页第二十二页，共25页。（2）2.n,8)-5)(3n-

21、(3n181,n3,a 8)-5)(3n-(3n18SS21a2n,3n-56S, 63n-5) 21(-1)-(nS1S1n1 -nnnn1n时当12. 在等差数列 中， .其前n项和为 (1)求 的最小值，并求出 取最小值时n的值；（2）求 na161718936aaaa nSnSnS12.nnTaaa第22页/共25页第二十三页，共25页。解析： , 又 ,首项 161718173aaaa1712a 936a 19860aad 363nan(1)方法一：设前n项和 最小，则nS21.n20n,063-1)3(n0,63-3n0a0,a1nn或得即第23页/共25页第二十四页，共25页。故n=20或n=21时Sn的值最小,最小值为S20=S21=-630.方法(fngf)二：nN*,当n=20或21时，Sn取最小值，为 (2)由an=3n-630,得n21.即当n21时，当n21时，8043 5-)241-(n2341n)-(n 23321)-n(n-60nS22n-630.20)41-(2023SS22120);n-(41n 23-ST2nn260. 141n)-(n232S-Saaa-a-aT221nn222121n第24页/共25页第二十五页，共25页。