第六章-弯曲变形ppt课件.pptx

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1、材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形拉压拉压伸长量伸长量扭转扭转转角转角弯曲弯曲挠度挠度转角转角工程上的梁变形问题不容忽视工程上的梁变形问题不容忽视影响使用影响使用引发破坏引发破坏产生不安全感产生不安全感减少冲击、振动减少冲击、振动利用变形作为开关利用变形作为开关 提高性能提高性能材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形本章的任务本章的任务1. 1. 建立小变形建立小变形 挠度、转角曲线挠度、转角曲线 微分方程微分方程2. 2. 用用 积分法积分法 和和 叠加法叠加法 求梁的挠度和转角求梁的挠度和转角研究范围：研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位

2、移等直梁在弯曲时（线、角）位移 的计算的计算研究目的：研究目的：对梁作刚度校核对梁作刚度校核 解超静定梁解超静定梁材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6 62 2 梁挠曲的近似微分方程梁挠曲的近似微分方程6 63 3 积分法求梁变形积分法求梁变形6 61 1 梁变形的基本概念梁变形的基本概念第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6 64 4 叠加法求梁变形叠加法求梁变形6-6 静不定梁65 5 梁梁的刚度校核的刚度校核材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6.1 6.1 梁变形的基本概念梁变形的基本概念 变形后梁轴变形后梁轴 线挠曲线线挠曲线 挠度：挠

3、度：y y 变形后梁截面：仍为平面变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角：梁截面转角： P Px xy yC C C C1 1变形前梁截面：平面变形前梁截面：平面f 材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形1.1.挠度：挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用用 y y 表示，与坐标表示，与坐标 f 同向为正，反之为负同向为正，反之为负2.2.转角：转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示表示 顺时针转动为正，顺时针转动为正，反之为负反之为负3.3.挠曲线：挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线梁变形后，轴线

4、变成的光滑曲线 其方程为其方程为 y y = = f ( (x x) )材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形5. 5. 刚度校核刚度校核maxyymax4. 4. 转角与挠曲线的关系：转角与挠曲线的关系： d dtgyx f y小变形小变形x xP Py yC C C C1 1f材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形zEIxM)(1已知曲率为已知曲率为zzEIxMxf)()( )( )1 ()(1232xffxf 小变形小变形fx xM M 000)( xffx xM M 000)( xf弯矩与弯矩与2 2阶导数的符号相反上式取负号阶导数的符号

5、相反上式取负号6.2 6.2 梁挠曲的近似微分方程梁挠曲的近似微分方程材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程)()(xMxfEI 对于等截面直梁，可写成如下形式：对于等截面直梁，可写成如下形式：EIxMxf)()( 材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.1.微分方程的积分微分方程的积分)(,)(xfyxf6.3 6.3 积分法求梁变形积分法求梁变形利用位移边界条件确定积分常数利用位移边界条件确定积分常数材料力学电子

6、教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形支点位移条件支点位移条件连续条件连续条件光滑条件光滑条件CCffCC右左或写成CC右左或写成CCff 0Df0D 固定支座固定支座P PD D0Af0Bf2.2.位移边界条件位移边界条件铰支座铰支座P PA AB BC C材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 积分法求梁变形积分法求梁变形 适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、积分常数由挠曲线

7、变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件）确定连续条件）确定 优点优点使用范围广，精确；使用范围广，精确； 缺点缺点计算较繁计算较繁右左CCff右左CC铰连接铰连接P PD DC C材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 积分法求梁变形的基本步骤：积分法求梁变形的基本步骤： 写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出，写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出， 要分段写出要分段写出 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续条件确定积分常数利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分如果分 n n 段写出弯矩方程，则

8、有段写出弯矩方程，则有 2 2 n n 个积分常数个积分常数)()(xMxfEI 材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形边界条件、连续条件应用举例边界条件、连续条件应用举例弯矩图三段，共弯矩图三段，共6 6个个 积分常数积分常数需需6 6个边界条件和个边界条件和 连续条件连续条件BBBfB, 0 点：DDDDffD , 点：BBEfE, 0 点：材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形右左点：BBffB 右左右左点：CCCCffC 边界条件、连续条件应用举例边界条件、连续条件应用举例弯矩图分三段，共弯矩图分三段，共 6 6个积分常数个积分常数需需6

9、 6个边界条件和个边界条件和连续条件连续条件0, 0 AAfA点：0 DfD点：材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形积分法求梁的变形举例已知q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；解：解：求求A,BA,B支座反力支座反力F FA A=F=FB B=ql/2=8kN=ql/2=8kN写出梁的弯矩方程（如图写出梁的弯矩方程（如图b)b)：M(x)=FM(x)=FA Ax-qxx-qx2 2/2=(qlx/2)-qx/2=(qlx/2)-qx2 2/2/2EIEIz z f”=M(x)=q(l-x)x/2-(1)=M(x)=q(l-x)x/2-(1)

10、CqxqlxfEIz6/4/32积分后得到积分后得到: :DCxqxqlxfEIz24/12/43材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形)(1065. 71016601021024210824489333maxradEIqlz)(1078. 41662138464010166010210384210853845489434maxmEIqlfz边界条件：边界条件：x=0, x=0, f=0=0；D=0D=0； x= x=l , , f=0=0；C=-qlC=-ql3 3/24/24由（由（1 1）可知：）可知： maxmax 为为 M(x)=M(x)=0 0的点；即的点；

11、即 x=0 x=0 和和 x=x=l 处（处（A,BA,B端点）端点）maxmax= =AmaxAmax= =BmaxBmax= =C/(C/(EIzEIzz z)=)=(ql(ql3 3)/(24EIz)/(24EIzz z) )f= =qxqx( (l3 3+x+x3 32 2 lx x2 2)/(24EIz)/(24EIz)；f=0=0；x=x=l/2/2；f x=l/2x=l/2= =5q 5q l4 4/(384EIz)/(384EIz)材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形叠加原理：叠加原理： 承受复杂载荷时，可分解成几种简单载荷，承受复杂载荷时，可分解成几

12、种简单载荷，利用简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得在利用简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得在复杂载荷作用下的挠度和转角复杂载荷作用下的挠度和转角条件：条件： 材料服从胡克定律和小变形材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系挠度和转角均与载荷成线性关系6.4 6.4 叠加法求梁变形叠加法求梁变形材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形叠加法求梁的变形举例用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度zbzBbEIMlwEIMll16;322zczBcEIFlwEIFll48;16322叠加结果为叠加结果为)316(48FlMEIlzBcBbB)3(482F

13、lMEIlwwwzCcCbC 查表查表材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 在工程中，对梁的设计除满足强度条件外，梁的位移在工程中，对梁的设计除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。也需加以控制，从而保证其正常工作。 在土建工程中，通常对梁的在土建工程中，通常对梁的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如：100012501lw梁的梁的刚度条件刚度条件为：为： maxmaxlwlw通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，当位移限制很严，或

14、按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。刚度条件也起控制作用。6.56.5 梁的刚度校核梁的刚度校核材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 例例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa160 MPa，许用，许用挠度挠度w=l /500w=l /500，弹性模量，弹性模量E=200GPaE=200GPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。 解：解： 1 1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2 2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3 3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：解得解得 由

15、型钢表中查得，由型钢表中查得，22a22a工字钢的弯曲截面系数工字钢的弯曲截面系数WzWz3.093.09l0l0-4-4m m3 3 ，惯性，惯性矩矩Iz=3.40Iz=3.401010-5-5m m4 4，可见选择，可见选择.22a.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。mN10354410354：得33maxFlM 3463maxm1019. 2101601035MWz500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIzF=35kNF=35kN2m2mA AB B2m2ml=4ml=4m4/FlM

16、M图图材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形L Lq q0 0M MA AB BA Aq q0 0L LR RB BA AB Bx xEIq q0 0L LA AB Bf f或或6.6 6.6 静不定梁静不定梁处理方法：处理方法：3 3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，种方程（变形协调、物理、平衡）相结合， 求全部未知力求全部未知力解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数确定超静定次数 用反力代替多余约束用反力代替多余约束 得新结构得新结构 静定基静定基等价等价材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程

17、0BBRBqBfffq q0 0L LR RB BA AB B=+R RB BA AB Bq q0 0A AB B物理方程物理方程补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题求解其它问题 （反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 几何方程几何方程 变形协调方程变形协调方程解：解：建立静定基建立静定基BCBRBqBLfffB例例 求求B B点反力点反力=L LBCBCEAx xf fq q0 0L LA AB BC Cq q0 0L LR RB BA AB BEI=

18、R RB BA AB B+q q0 0A AB B材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形+物理方程物理方程 变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3 ; 834EALREILREIqLBCBB3 834)3(8 34EILALIqLRBCBEALRLBCBBC=求解其它问题求解其它问题（反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）L LBCBCEAx xf fq q0 0L LA AB BC Cq q0 0L LR RB BA AB BEIR RB BA AB B材料力学电子教程材料力学电子教程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形本章小结：本章小结：1 1、微分方程的导出、微分方程的导出2 2、微分方程的解法、微分方程的解法 积分法求变形积分法求变形3 3、叠加法求变形、叠加法求变形4 4、变形比较法、变形比较法 超静定梁超静定梁EIxMxf)()( )(,)(xfyxf