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1、会计学1概念概念(ginin)高等数学微积分高等数学微积分第一页，共21页。微分方程微分方程(wi fn fn chn)是一门独立的数学学科是一门独立的数学学科,有完整有完整(wnzhng)的的理论体系理论体系. .本章我们主要介绍微分方程本章我们主要介绍微分方程(wi fn fn chn)的一些基本概念的一些基本概念,种常用的微分方程的种常用的微分方程的求解方法求解方法, ,线性微分方程线性微分方程解的理论解的理论. .几几这时微分方程也称为这时微分方程也称为所研究问题的所研究问题的数数学模型学模型. .第1页/共21页第二页，共21页。解解一、问题一、问题(wnt)的的提出提出6.1 微分
2、方程微分方程(wi fn fn chn)的基本概念的基本概念第2页/共21页第三页，共21页。解解第3页/共21页第四页，共21页。代入条件代入条件(tiojin)后知后知故故开始制动到列车完全开始制动到列车完全(wnqun)停住共需停住共需第4页/共21页第五页，共21页。微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数凡含有未知函数的导数(do sh)(do sh)或微分的方程叫微或微分的方程叫微分方程分方程. .例例实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数未知函数(hnsh)(hnsh)以及未知函数以及未知函数(hnsh)(hnsh)的某些导数的某些导数( (或微分或微分) )之间的
3、关系式之间的关系式. .第5页/共21页第六页，共21页。微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的阶的阶: : 微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)中出现的未知函数的最中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类(fn li)1: (fn li)1: 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)高阶高阶( (n) )微分方程微分方程分类分类2:2:第6页/共21页第七页，共21页。分类分类(fn li)3: (fn li)3: 线性与
4、非线性微分方程线性与非线性微分方程. .分类分类(fn li)4: (fn li)4: 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. .第7页/共21页第八页，共21页。微分方程微分方程(fngchng)(fngchng)的解的解: :代入微分方程代入微分方程(fngchng)(fngchng)能使方程能使方程(fngchng)(fngchng)成为恒等式的函数称之成为恒等式的函数称之. . 微分方程微分方程(wi fn fn chn)的解的分类：的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常
5、数的个数与微分方程的阶数相同. .第8页/共21页第九页，共21页。(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数确定了通解中任意常数(chngsh)(chngsh)以以后的解后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分微分方程的积分(jfn)(jfn)曲线曲线. .通解的图象通解的图象(t xin): (t xin): 积积分曲线族分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .第9页/共21页第十页，共21页。过定点的积分过定点的积分(jfn)曲曲线线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxx
6、x过定点过定点(dn din)且在定点且在定点(dn din)的切线的斜率为定的切线的斜率为定值的积分曲线值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)满足初始满足初始条件的解的问题条件的解的问题. .第10页/共21页第十一页，共21页。求所满足求所满足(mnz)的微分方程的微分方程 .例例2. 已知曲线已知曲线(qxin)上点上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyox解解: 如图所示如图所示, 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x, y) 处的法线处的法
7、线(f xin)方程为方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 第11页/共21页第十二页，共21页。解解第12页/共21页第十三页，共21页。所求特解为所求特解为补充补充(bchn(bchng):g):微分方程的初等微分方程的初等(chdng)(chdng)解法解法: : 初等初等(chdng)(chdng)积分法积分法. .求解求解(qi ji)微分方程微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)第13页/共21页第十四页，共21页。例例5求曲线族求曲线族122 Cyx满足的微分方程满足的微分方程, , 其中其中C为任意为任意(rny)(r
8、ny)常数常数. .解解求曲线族所满足求曲线族所满足(mnz)(mnz)的方程的方程, ,就是就是(jish)(jish)求一微分方程求一微分方程, ,所给的曲线族所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.此所求的微分方程的阶数应与此所求的微分方程的阶数应与常数的个数相等常数的个数相等.这里这里, ,法法来得到所求的微分方程来得到所求的微分方程.已知曲线族中的任意已知曲线族中的任意我们通过消去任意常数的方我们通过消去任意常数的方对对x求导求导, ,得得再从再从122 Cyx解出解出,122yxC 代入上式得代入上式得使使因因在等式在等式122 Cyx两端两端化简即得
9、到所求的微分方程化简即得到所求的微分方程第14页/共21页第十五页，共21页。微分方程微分方程(wi fn fn chn);微分方程微分方程(wi fn fn chn)的阶的阶;微分方程微分方程(wi fn fn chn)的解的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;第15页/共21页第十六页，共21页。思考题思考题第16页/共21页第十七页，共21页。思考题解答思考题解答(jid)xey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程故为微分方程(wi fn fn chn)的特解的特解.第17页/共21页第十八页，共21页。练练 习习 题题第18页/共21页第十九页，共21页。第19页/共21页第二十页，共21页。练习题答案练习题答案(d n)第20页/共21页第二十一页，共21页。