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1、2020考研数学一真题及答案一、选择题：18 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. x 0+ 时，下列无穷小阶数最高的是0A. x (et2 -1)dt0B. x ln (1+ t3 )dtC. sin x sint 2dt 01-cos xD. 01. 答案：Dsin3 tdtx02. 设函数 f (x) 在区间（-1，1）内有定义，且lim f ( x) = 0, 则（）A. 当limx 0B. 当limx0f (x) = 0, f ( x)在x = 0 处可导.| x |x2f (x) =
2、0, f ( x)在x = 0 处可导.C. 当 f (x)在x = 0处可导时,limx 0D. 当 f (x)在x = 0处可导时,limx0f (x) = 0.| x |x2f (x) = 0.2. 答案：B解析:Qlimf (x) = 0 limf (x) = 0 limf (x) = 0, limf (x) = 0x0x0| x |x0+xx0-xx2lim f (x) = 0, lim f ( x) = 0x0xx0limf (x) - f (0) = limf (x) = 0 =f (0)x0x - 0x0x f (x) 在 x = 0 处可导选 BA.lim( x, y )(0
3、,0)B.lim( x, y )(0,0)C.lim( x, y )(0,0)D.lim( x, y )(0,0)| n ( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2x2 + y2| n ( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2| d ( x, y, f ( x, y) | = 0存在x2 + y2| d ( x, y, f ( x, y) | = 03. 答案：A解析：Q f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0x2 + y2limx0 y0f (x, y) - f (0, 0) - f x(0, 0) x - f y(0,
4、0) y = 0x2 + y2即limx0y0f (x, y) - f x(0, 0) x - f y(0, 0) y = 0n ( x, y, f (x, y) )x2 + y2Q n ( x, y, f (x, y) ) = f x(0, 0)x + f y(0, 0) y - f (x, y)lim( x, y )(0,0)= 0 存在选 A.4.设 R 为幂级数 a r 的收敛半径，r 是实数，则（）nnn=1A. a r 发散时，| r | Rnnn=1B. a r 发散时，| r | Rnnn=1C.| r | R 时， a r 发散nnn=1D.| r | R 时， a r 发散
5、nnn=14. 答案：A解析：R 为幂级数 a x 的收敛半径.nnn=1 a x 在(-R, R) 内必收敛.nnn=1 a r 发散时，| r | R .nnn=1选 A.5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（）A. 存在矩阵 P，使得 PA=BB. 存在矩阵 P，使得 BP=AC. 存在矩阵 P，使得 PB=AD. 方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解5. 答案：B解析：QA 经初等列变换化成 B.存在可逆矩阵 P1 使得 AP1 = B11 A = BP-1令P = P-1 A = BP.选B.26. 已知直线 L : x - a2 = y - b2 = 2 - c2 与直线 L
6、 : x - a3 = y - b3 = 2 - c3 相交于一点，法1ai a1b1c1a2b2c2向量 a = b ,i = 1, 2, 3. 则i i ci A. a1 可由 a2 , a3 线性表示B. a2 可由 a1, a3 线性表示C. a3 可由 a1, a2 线性表示D. a1, a2 , a3 线性无关6. 答案：C解析：令 L 的方程 x - a2 = y - b2= z - c2 = t1 x a1b1c1 a2 a1 即有 y = b + t b =a + ta 2 1 21 z c c 2 1 x a3 a2 由 L 的方程得 y = b + t b =a + ta
7、2 3 2 32 z c c 3 2 由直线 L1 与 L2 相交得存在 t 使a2 + ta1 =a3 + ta2即a3 = ta1 + (1- t)a2 ，a3 可由a1 ,a2 线性表示，故应选 C.7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P( A) = P(B) = P(C) = 1 , P( AB) = 04P( AC) = P(BC) = 1123A.42B.31C.2，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为5D.127. 答案：D解析： P( ABC ) = P( ABUC) = P( A) - P A(BUC)= P( A) - P( AB + AC)= P( A) +
8、P( AB) - P( AC) + P( ABC)= 1 - 0 - 1 + 0 = 14126P(BAC ) = P(BAUC) = P(B) - PB( AUC)= P(B) - P(BA) - P(BC) + P( ABC)= 1 - 0 - 1 + 0 = 14126P(CBA) = P(CBUA) = P(C) - PCU (BUA)= P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC)= 1 - 1 - 1 + 0 = 14121212P( ABC + ABC + ABC) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC)= 1 + 1 + 1 = 5661
9、212选择 D8. 设 X1 , X 2, X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P( X = 0) = P( X = 1) = 1 , F(x) 表2 100示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P Xi 55 的近似值为 i=1A.1- F(1)B. F(1)C.1- F(2)D. F(2)8.答案：B解析：由题意EX = 1 , DX = 124 100 100E Xi X= 100EX= 50.D Xi = 100DX= 25 i=1 i=1100由中心极限定理Xi N (50, 25)i=1 100 100 Xi - 5555 - 50 P Xi 55 = P i=155
10、 = F(1) i=1故选择 B二、填空题：914 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上.9. lim 1-1 =x0 ex -1ln(1+ x) 9. 解析：lim1-1x0 ex -1ln(1+ x) = limln(1 + x) - e x +1xx0 (e-1) ln(1+ x)= limx0ln(1 + x) - e x +1x21- ex= lim 1+ xx02x= -1t 2 + 1x =10. 设d 2 y，则2 |t =1 = y = ln(t +10. 解析：t 2 +1)dxdy 11+tdyt + t 2 + 1 t 2 + 1 1= dt
11、 = =t 2 +1dxdxttdtdy2 dy d dt d dy t 2 +1 dt -12 dt t= -=3dx2dy2dx2得dx2= -t =1dxttt 2 +1dt11. 若 函 数f (x) 满 足f (x) + af (x) + f (x) = 0(a 0), 且f (0) = m, f (0) = n ， 则=+f (x)dx011. 解析：特 征 方 程 为 l2 + al+ 1 = 0l1 0,l2 0特 征 根 为 l1 ,l2， 则 l1 + l2 = -a,l1 l2 = 1 ， 特 征 根+ f (x)dx = - + f (x) + af (x)dx000=
12、 - f (x) + af (x) |+= n + am2 fxyxy xt 212. 设函数 f (x, y) = e dt ，则=012. 解析：(1,1)f = ex ( xy )2 x = xex3 y2y f 2 f = y =ex3 y + 3x3 y2ex3 y2xyx2 fxy=e+3e = 4e.(1,1)a0-11013. 行列式a1-1 =-11a01-10a13. 解析：a0-11a0-110a1-1 = 0a1-1-11a0-11a01-10a00aa0a-1 + a21a-1+ a21= 0a1-1 = - a1- 1-11a00aa00aaaa2 - 21= -
13、a2-1 = a 4 - 4a 2.00a14. 设 X 服从区间 - p,p 上的均匀分布， Y = sin X ，则Cov( X ,Y ) =2 2 14. 解析： 1ppp解 f (x) = 0- x 22其他cov( X ,Y ) = EXY - EXEY= E( X sin X ) - EXE(sin X )p1p 1p 1=2x sin xdx -2xdx2sin xdx-pp-pp-pp2221 p0= 2p 2 x sin xdx - 02 p0= p 2 (- x)d cos x= 2 -ppp x cos x 2 + 2 cos xdx 00= 2 0 + sin x p
14、= 22p0 p三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）求函数 f (x, y) = x3 + 8 y3 - xy 的最大值15. 解析：求一阶导可得f = 3x2 - yxf = 24 y2 - xyf = 0x = 1x令fx = 0 6可得 y = 01 = 0 y求二阶导可得 y =122 fx2= 6x2 fx2 y= -12 fy2= 48 y当 x = 0, y = 0时.A = 0.B = -1.C = 0AC - B2 0.A = 1 0故 1 ,1 是极小值点 1 1 1 3
15、6 12 1 311极小值 f , = + 8- 6 = - 6 12 6 12 16.（本题满分 10 分）12216计算曲线积分 I =16. 解析： 4x - yL 4x2 + y2dx + x + y4x2 + ydy ，其中 L 是 x2 + y2 = 2 ，方向为逆时针方向设 P =4x - y4x2 + y2,Q =x + y4x2 + y2Q = P = -4x 2 + y 2 - 8xy则xy(4x 2 + y 2 )2取路径 Le: 4x2 + y2 = e2 , 方向为顺时针方向.则 4x - ydx +x + ydyL 4x2 + y24x2 + y2=4x - yL+
16、 Le 4x2 + y2dx +x + y4x2 + y2dy -4x - yLe 4x2 + y2dx +x + ydy4x2 + y2 = Q - P dxdy +1 (4x - y)dx + (x + y)dy2 -LD xy eee2 2De2ee= 11- (-1)dxdy = 1 2S= 1 2 pDe2 = p.217.（本题满分 10 分）1 a xn设数列an 满足 a1 = 1, (n +1)an +1 = n +2 an ，证明：当| x | 0n+12 n1nn + 1则 an+1 = 2 1 ，即 an+1 anann +1nnn故a 单调递减且0 a 1 ，故 a
17、xn xnn当| x | 0 ，则c 0, 2.由 f (0) = f (2) = 0 及罗尔定理知，存在h(0, 2) ，使 f (h) = 0,当h(0, c 时，f (c) - f (0) = c f (x) d x0M =| f (c) |=| f (c) - f (0) | c| f (x) |d x Mc,0又 f (2) - f (c) = 2 f (x) d xcM =| f (c) |=| f (2) - f (c) | 2 | f (x) | dx M (2 - c)c于是 2M y,则PX x, X y, X = 1 = 1 PX y = 1 F( y)113212 1
18、F(x)F( y) + 1 F(x), x y 11故 F (x, y) = 22 F(x)F( y) +F( y), x y 22(2)FY ( y) = PY y= PX 3 ( X1 - X 2 ) + X 2 y= 1 PX ( X - X ) + X y | X = 0+ 1 PX ( X - X ) + X y | X= 1231223231223= 1 PX22 y | X 3= 0+ 1 PX21 y | X 3= 1= 1 F( y) + 1 F( y)22= F( y).23. 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为 t m1- e-q ,t 0,其中q,m 为参数且大于零
19、.F (t) = 0,其他.（1） 求概率 PT t 与 PT s + t | T s ，其中 s 0,t 0 .（2） 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1 , t2, tn ，若 m 已知，求q的最大似然估计值q .23.解析：（1） PT t mq- t = 1 - F (t) = e q- t mPT s + t | T s = PT t = e - t m (2) f (t) = F(t) = mq-mtm-1.e q , t 00其他nP ( i)mnq-mn (tt )m -1 en-q- m timt 0似然函数 L(q) =i =1f t ，q = 1 n0i=1i其他当t1 0,t2 0,tn 0 时L(q) = mnq-mn (t t )m -1 en-q- m timi=1nn1n取对数ln L(q) = n ln m - mn lnq+ (m +1) lnt -q- m t miid ln(q) = - mn +nq-( m+1)mi =1i =1求导数 dqqmmn1 ntmii =1d ln(q)tii =1令= 0 解得q=dq1mntmn i =1i所以q的最大似然估计值q$ =