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1、2005考研数学一真题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 斜渐近线方程为 _.（2）微分方程满足解为. _.（3）设函数，单位向量，则=._.（4）设是由锥面与半球面围成空间区域，是整个边界外侧，则_.（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，如果，那么 .（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=_.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰
2、有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设F(x)是连续函数f(x)一个原函数，表示“M充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. （9）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有(A) . （B） .(C) . (D) . （10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数隐函
3、数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). （11）设是矩阵A两个不同特征值，对应特征向量分别为，则，线性无关充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . （12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B伴随矩阵，则(A) 交换第1列与第2列得. (B) 交换第1行与第2行得. (C) 交换第1列与第2列得. (D) 交换第1行与第2行得. （13）设二维随机变量(X,Y) 概率分布为 X Y 0 1 0
4、 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 （14）设为来自总体N(0,1)简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A) (B) (C) (D) 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过最大整数. 计算二重积分（16）（本题满分12分）求幂级数收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分） 如图，曲线C方程为y=f(x)，点(3,2)是它一个拐点，直线与分别是曲线
5、C在点(0,0)与(3,2)处切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II）存在两个不同点，使得（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x0内任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数表达式.（20）（本题满分9分）已知二次型秩为2.（I） 求a值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0解.（21）（本题满分9分）已知3
6、阶矩阵A第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0通解.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)概率密度为 求：（I） (X,Y)边缘概率密度； （II）概率密度（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)简单随机样本，为样本均值，记求：（I） 方差； （II）与协方差参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 斜渐近线方程为 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=， ，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程通解公式： ，再
7、由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量方向导数为： 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为 ，于是所求方向导数为 =（4）设是由锥面与半球面围成空间区域，是整个边界外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】 =（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，如果，那么 2 .【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵形式，再用方阵相乘行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 =，于是有 （6）从数1,2,3,
8、4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= .【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验各种两两互不相容结果即为完备事件组或样本空间划分.【详解】 =+ + =二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. C 【分析】 先求出f(x)表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，； 当时，；当时，即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）
9、设F(x)是连续函数f(x)一个原函数，表示“M充分必要条件是N”，则必有(B) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. A 【分析】 本题可直接推证，但最简便方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x,
10、 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分别求出、，再比较答案即可.【详解】 因为， ，于是 ， ， ，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)一个邻域，在此邻域内该方程 (E) 只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y). (F) 可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (G) 可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (H) 可确定两个具有连续偏导数隐函数x=
11、x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=, 则 ， ，且 ，. 由此可确定相应隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A两个不同特征值，对应特征向量分别为，则，线性无关充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 讨论一组抽象向量线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则 ， .由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来
12、，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ，可见，线性无关充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B伴随矩阵，则(B) 交换第1列与第2列得. (B) 交换第1行与第2行得. (C) 交换第1列与第2列得. (D) 交换第1行与第2行得. C 【分析】 本题考查初等变换概念与初等矩阵性质，只需利用初等变换与初等矩阵关系以及伴随矩阵性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 概率分布为
13、X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(B) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件独立性又可得一等式，由此可确定a,b取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(B) (B) (C) (D) D 【分析】 利用正态总体抽样分布性质和分布、
14、t分布及F分布定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布性质知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项. 因为 ，且相互独立，于是 故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过最大整数. 计算二重积分 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 ， .则 = =（16）（本题满分12分）求幂级数收敛区间与和函数f(x). 【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为，所以当时，原级数绝对收敛，
15、当时，原级数发散，因此原级数收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分） 如图，曲线C方程为y=f(x)，点(3,2)是它一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0函数值与导数值，在x=3处函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = =（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II
16、）存在两个不同点，使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同点，使得，于是 （19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x0内任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数表达式.【分析】 证明（I）关键是如何将封闭曲线C与围绕原点任意分段光滑简单闭曲线相联
17、系，这可利用曲线积分可加性将C进行分解讨论；而（II）中求表达式，显然应用积分与路径无关即可. Y【详解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式右端，得由得，将代入得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型秩为2.（I） 求a值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0解.【分析】 （I）根据二次型秩为2，可知对应矩阵行列式为0，从而可求a值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找
18、到所需正交变换； （III）利用第二步结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B每一列均为Ax=0解，关键问题是Ax=0基础解系所含解向量个
19、数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A秩.【详解】 由AB=O知，B每一列均为Ax=0解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0基础解系所含解向量个数为3-r(A)=2, 矩阵B第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1） 若r(A)=2, 则Ax=0通解为：为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)概率密度为 求：（I） (X,Y)边缘概率密度； （II）概率密度
20、【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应概率密度.【详解】 （I） 关于X边缘概率密度= =关于Y边缘概率密度= = （II） 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)简单随机样本，为样本均值，记求：（I） 方差； （II）与协方差【分析】 先将表示为相互独立随机变量求和，再用方差性质进行计算即可；求与协方差，本质上还是数学期望计算，同样应注意利用数学期望运算性质.【详解】 由题设，知相互独立，且，（I） = =（II） = = = = =