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1、2015年全国卷高考文科数学试题及答案一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合，则集合中的元素个数为（）. （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2【答案】D【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章集合中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2、已知点，向量，则向量 （）.（A） （B） （C） （D）【答案】A【难度】容易【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章平面向量有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题
2、讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。3、已知复数满足，则（）.（A） （B） （C） （D）【答案】C【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）.（A） （B） （C） （D）【答案】C【难度】容易【点评】本题考查概率的计算。在高
3、二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则（）.（A） （B） （C） （D）【答案】B【难度】容易【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对抛物线的专题讲解。6、九章算术
4、是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）.（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛【答案】B【难度】中等【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（
5、）. （A） （B） （C） （D）【答案】B【难度】容易【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）. （A） （B）（C）（D）【答案】D【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）. （A） （B） （C） （D）【答案】C【难度】容
6、易【点评】本题考查程序图。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章算法初步有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。10、已知函数 ，且，则（）. （A） （B）（C）（D）【答案】A【难度】较难【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。第II 卷11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则r（）.（A） （B）（C）（D）【答案】B
7、【难度】中等【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章几何体的直观图与三视图有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一致的题目解析。12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则a（）.（A） （B） （C） （D）【答案】C【难度】中等【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【难度】容易【点评】本题考查等比数列的
8、性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【难度】容易【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。15. 若x,y满足约束条件 ,则z3xy的最大值为 【答案】4【难度】中等【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座2，第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲
9、解。16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【难度】较难【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对椭圆的专题讲解。三、解答题17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.（I）若，求 （II）若，且 求的面积.【答案】（I）由题设及正弦定理可得.又ab，可得b2c,a2c.由余弦定理可得.（II）由（I）知.因为B90，由勾股定理得.故，得.所以，AB
10、C的面积为1.【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I）因为四边形ABCD为菱形，所以，ACBD.因为BE平面ABCD，所以，ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以，平面AEC平面BED.(II)设ABx,在菱形ABCD中，由ABC120，可得因为AEEC,所以在RtAEC中，可得.由B
11、E平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得由已知得，三棱锥EACD的体积故x2.从而可得.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及立体几何的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散
12、点图及一些统计量的值.（I）根据散点图可以判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？【答案】（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于所以y关于w的线性回归方程为因此y关于x的回归方程为（III）(i)由（II）知，当x49时
13、，年销售量y的预报值年利润z的预报值（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值所以，当，即x46.24时，取得最大值。故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。【难度】较难【点评】本题考查函数的相关计算求解。在高二数学（文）下学期，第五章统计第01讲，统计案例中有详细讲解。20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.【答案】（I）由题设，可知直线l的方程为ykl1.因为l与C交于两点，所以，解得所以k的取值范围为.（II）设M(x1,y1),N(x2,y2).将ykx1代入方程，整理得所以，由题
14、设可得，解得k1,所以l的方程为yx1故圆心C在l上，所以|MN|2.【难度】较难【点评】本题考查圆锥曲线及向量的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程以及高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章平面向量有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对此相关知识的总结讲解。21. （本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【答案】(I)f(x)的定义域为（0，），当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，因为单调递增，单调递增，所以f(x)在（0，）单调递增.又
15、f(a)0，当b满足且时，f(b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点.（II）由（I），可设f(x)在（0，）的唯一零点为x0，当x（0，x0）时，f(x)0；当x（x0，）时，f(x)0.故f(x)在（0，x0）单调递减，在（x0，）单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于，所以。故当a0时，【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学（文）强化提高班下学期，第一章导数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第五章不等式有详细讲解。请考生在22、23、24题中任
16、选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线；（II）若 ，求的大小.【答案】（I）连结AF，由已知得，ADBC,ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC,故.连结OE,则又所以，故DE是的切线（II）设CE1，AEx,由已知得由射影定理可得，所以，可得，所以【难度】较难【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆、椭圆、
17、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对圆的专题讲解。23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.【答案】(I)因为xpcosx,ypsinx,所以，C1的极坐标方程为C2的极坐标方程为（II）将代入解得.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.【难度】中等【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺
18、班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。24. （本小题满分10分）选修45：不等式证明选讲已知函数 .（I）当 时求不等式 的解集；（II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（I）当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40,无解；当1x1时，不等式化为3x20，解得当x1时，不等式化为x20,解得1x2.所以，f(x)1的解集为（II）由题设可得，所以，函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为ABC的面积为由题设得，故a2.所以，a的取值范围为（2，）.【难度】较难【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座2，第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对不等式相关知识的总结讲解。