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1、2014年湖北高考理科数学真题及答案一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 2. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）A.2 B. C. 1 D. 3. 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 根据如下样本数据x345678y4.02.50.5得到的回归方程为，则（ ）A. B. C. D.5. 在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2
2、,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 6. 若函数上的一组正交函数，给出三组函数：；其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上
3、是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A. B. C. D.9. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.210. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，.若,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为A B C D二、 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一） 必考题（1114题）11. 设向量，若，则实数_.12. 直线和将单位圆分成长度相等
4、的四段弧，则_.13. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果_.14. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（1） 当时，为的几何平均数；（2） 当当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二） 选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，为的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若则16.（选修4-4：坐标系
5、与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（）求数列的通项公式.（）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（）当时，证明：直线平面
6、;（）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。（）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运
7、行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21. （满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.（）求轨迹为C的方程（）设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.A10.B二、填空题11. 312. 213. 49514. （）；（）（或填（）；（），其中为正常数均可）15. 416. （，1）三、解答题17.解：（）
8、因为，又，所以当时，；当时，于是在上取得最大值12，取得最小值8故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4。（）依题意，当时实验室需要降温由（）得，故有，即又，因此，即在10时至18时实验室需要降温18.解：（）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或当时，；当时，从而得数列的通项公式为或（）当时，显然，此时不存在正整数，使得成立当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41.19.几何方法：（）证明：如图1，连接，由是正方体，知当时，是的中点，又是的中点，所以，所以而平面，
9、且平面，故直线平面。（）如图2，连接BD,因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF/BD，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且在和中，因为，于是,所以四边形是等腰梯形。同理可证四边形是等腰梯形。分别取的中点为，连接，则，而，故是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则连接EM，FN，则由EF/MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形连接GH，因为H，G是EF,MN的中点，所以在中，由，得，解得，故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。向量方法：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角
10、坐标系，由已知得，（）证明：当时，因为，所以，即而平面，且平面，故直线平面（）设平面的一个法向量为，则由可得于是可取同理可得平面的一个法向量为若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得故存在，使面与面所成的二面角为直二面角。20.解：（）依题意，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为（）记水电站年总利润为（单位：万元）（1）安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润（2）安装2台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8
11、所以，（3）安装3台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，此时，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。21.解：（）设点，依题意得，即，化简整理得故点的轨迹的方程为（）在点的轨迹中，记依题意，可设直线的方程为由方程组可得 （1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方程的判别式为 设直线与轴的交点为，则由，令，得 （）若由解得，或即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好
12、有一个公共点。（）若或由解得，或即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点。（）若由解得，或即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。22.解：（）函数的定义域为，因为，所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减。故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）因为，所以，即于是根据函数在定义域上单调递增，可得故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中。由及（）的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中最大数是，最小数是（）由（）知，又由（）知，得，故只需比较与和与的大小由（）知，当时，即在上式中，令，又，则，从而，即得 由得，即，亦即，所以又由得，即，所以综上可得，即6个数从小到大的顺序为