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1、2014年湖南高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、满足（i的虚数单位）的复数z=A、 B、 C、 D、2、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为、，则A、 B、 C、 D、3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）= ，则A、 B、 C、1 D、34、的展开式中的系数是A、-20 B、-5 C、5 D、205、已知命题p：若xy，则-xy，在命题 中，真命题是A、 B、 C、
2、 D、6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于A、-6,-2 B、-5,-1C、-4，5 D、-3,67、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A、1 B、2 C、3 D、48、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为A、 B、C、 D、9、已知函数发，且，则函数的图象的一条对称轴是A、 B、x= C、x= D、x=10、已知函数与的图象在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是A、 B、 C、 D、二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共
3、25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线 与曲线 （a为参数）交于A，B两点，且 .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_。12. 如图3，已知，是的两条弦，, ，则的半径等于_。13若关于x的不等式 的解集为 ，则 a=_. (二)必做题(14-16题)14. 若变量满足约束条件 且 的最小值为-6，则_。15. 如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab0）的左、右焦点分别为，离心率为：双曲线：的左、右焦点分别为，离心率为。已知=，且。（）求、的的方
4、程；（）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值22、已知常数a0，函数。（）讨论f（x）在区间上的单调性；（）若f（x）存在两个极值点、，且f（）+f（）0，求a的取值范围参考答案1-5 BDCAC 6-10 DBDAB11.12.13.-314.-215.16. 17. 解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为，则，再根据对立事件概率之间的公式可得，所以至少一种产品研发成功的概率为（2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有0，120+0，10
5、0+0，120+100，即=0，120，100，220由独立试验的概率计算公式可得：所以的分布列如下：0100120220则数学期望.18.解：（1）在中，由余弦定理可得（2）设，则因为，所以于是在中，由正弦定理，得故19. （1）证明：因为四边形为矩形，所以又因为点是的中点，点是的中点，所以，所以同理，在矩形中，可得和是平面的两条相交的直线，故可得，底面（2）方法一：如图（a），过做于，连接由（1）知，底面，所以底面，于是又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而平面，所以，于是平面进而，故是二面角的平面角。不妨设，因为，所以在中，易知，而，于是得故即二面角的余弦值为方法二：
6、因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，又底面，从而两两垂直。如图（b），以为坐标原点，坐在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。设，因为，所以，于是相关各点的坐标为，易知是平面的一个法向量设是平面的一个法向量，则取，则，所以，设二面角的大小为，易知是锐角，于是故二面角的余弦值为20.解：（1）因为数列是递增数列，所以而，令，得到又因为是等差数列，所以因而解得或当时，这与是递增数列矛盾，故舍去，所以（2）由于是递增数列，因而，于是因为，所以由知，因此因为是递减数列，同理可得，故由可知，于是 故数列的通项公式是21.解：（1）因为，所以，即因此从而，于是所以故的方程分别为（2）因
7、为不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为，由得易知此方程的判别式大于0，设，则是上述方程的两个实根所以因此，于是的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即由得所以，且从而设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以因为点在直线的异侧，所以于是，从而又因为所以故四边形的面积而故当时，取最小值2综上所述，四边形面积的最小值为222.解：（1）对函数求导，可得（*）因为，所以当时，此时，在区间上单调递增；当时，由得（舍去）当时，；当时，故在区间上单调递减，在上单调递增。综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在上单调递增。（2）由（1）可知，当时，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，又的极值点只可能是，且由的定义可知，且，所以，解得，此时，由（*）式易知，分别是的极小值点和极大值点。而令，由且知当时，；当时，；记（）当时，所以因此，在区间上单调递减从而故当时，（）时，所以因此，在区间上单调递减，从而，故当时，综上所述，满足条件的的取值范围为