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1、山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 1梯度下降法梯度下降法山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 2梯度下降法又称最速下降法。函数梯度下降法又称最速下降法。函数J(a)在某点在某点ak的梯度的梯度 是一个向量，其方向是是一个向量，其方向是J(a)增长最快的方向。显增长最快的方向。显然，负梯度方向是然，负梯度方向是J(a)减少最快的方向。减少最快的方向。在梯度下降法中，求某函数极大值时，沿着梯度方向走，在梯度下降法中，求某函数极大值时，沿着梯度方向走，可以最快达到极大点；反之，沿着负梯度方向走，则最可以最快达到极大点；反之，沿着负梯度方向走，则最快地达到极小点。快地达到极小点。 ()kJ
2、 a 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 3( )J aaka( )J a ( )J a 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 4求函数求函数J(a)极小值的问题，可以选择任意初始点极小值的问题，可以选择任意初始点a0,从从a0出发沿着负梯度方向走，可使得出发沿着负梯度方向走，可使得J(a)下降最快。下降最快。s(0)：点：点a0的搜索方向。的搜索方向。(0)0()sJ a 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 5对于任意点对于任意点ak，可以定义，可以定义ak点的负梯度搜索方向的单位点的负梯度搜索方向的单位向量为向量为: 从从ak点出发，沿着点出发，沿着 方向走一步，步长为方向
3、走一步，步长为 ,得到新得到新点点ak+1,表示为：表示为：( )()()kkkJ asJ a ( )ksk ( )1kkkkaas 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 6( )J aaka( )J a ( )J a k 1ka 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 7因此，在新点因此，在新点ak+1，函数，函数J(a)的函数值为：的函数值为：所有的所有的ak组成一个序列，该序列由迭代算法生成组成一个序列，该序列由迭代算法生成 a0, a1, a2, . , ak, ak+1, .该序列在一定条件下收敛于使得该序列在一定条件下收敛于使得J(a)最小的解最小的解a*迭代算法公式：迭代算
4、法公式：( )1()()kkkkJ aJ as ( )1kkkkaas 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 8迭代算法公式：迭代算法公式：如果选得太小，则算法收敛慢，如果选得太大，如果选得太小，则算法收敛慢，如果选得太大， 可能可能会导致发散。会导致发散。( )1kkkkaas k 山东经济学院 计算机科学与技术学院刘兆广 9梯度法的迭代过程：梯度法的迭代过程： 选取初始点选取初始点a0，给定允许误差，给定允许误差0,0,并令并令k=0。 计算负梯度计算负梯度 及其单位向量及其单位向量 。 检查是否满足条件检查是否满足条件 ，若满足则转，若满足则转8，否则继续。，否则继续。 计算最佳步长计算最佳步长 。 令：令： 计算并检验另一判据：计算并检验另一判据： ，满足转，满足转8，否则继续。否则继续。 令令k=k+1,转转2。1) 输出结果，结束。输出结果，结束。( )()kksJ a *k ( )ks( )ks *( )1kkkkaas 1()()kkJ aJ a