量子力学习题集及解答.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流量子力学习题集及解答.精品文档.量子力学习题集及解答目 录第一章 量子理论基础1第二章 波函数和薛定谔方程5第三章 力学量的算符表示28第四章 表象理论48第五章 近似方法60第六章 碰撞理论94第七章 自旋和角动量102第八章 多体问题116第九章 相对论波动方程128第一章 量子理论基础1设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光），1（x射线）以及0.001（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？解 电子在电势差V加速下，得到的能量是这个能量全部转化为一个光子的能量

2、，即（伏）当 时， （伏）时 （伏）时 （伏）2利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。解 普朗克公式为单位体积辐射的总能量为令，则其中 （）（）式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为 令 ，上式成为用分部积分法求后一积分，有又因无穷级数 故 因此，比例常数尔格/厘米3度43求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T =1k时，具有动能（k为玻耳兹曼常数）的氦原

3、子。 解 德布罗意公式为 因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式代入德布罗意公式得 （1） 尔格，克厘米=1.23（2） 尔格，克（3） 尔格，克（4） 尔格，克4利用玻尔索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。解 （1）方法一：量子化条件 ，一维谐振子的能量为可化为 上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为这个椭圆的面积为故 上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为其解为 而 而 （2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有故 这时因为没有考虑量子化，因此R

4、是连续的。应用玻耳索末菲量子化条件这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量其中 可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：由本题的结果看出，玻尔索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量相比较，我们发现由玻尔索末菲量子化条件不能得出零点能。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出

5、的结果与由微观世界所遵从的规律量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。第二章 波函数和薛定谔议程1一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。解 首先将归一化，求归一化系数A。（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令 代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：一维的傅里叶变换的系数是而不是。傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。不难

6、证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。2设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。解 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故 粒子动能的平均值为方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而 则有 及 。讨论：由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积

7、分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。3一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值 ；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值 解 先检验是否归一化。是归一化的。（1）其中应用 及（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数其中，（3）其中 由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值

8、相等。4求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解 一维谐振子的波函数为式中 为厄密多项式。对于第一激发态故 处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有 讨论：在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。假如过渡到经典情况，相当于，这时。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。5设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动量几率分布函数。解 先检验是否归一化。这表明是归一化的。（1）（2）这个结果和旧量子论

9、中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。（3） 选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有其中令，且应用了再令 则 6粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中 解 势能与坐标的关系如图示，按值的不同可分为三个区域、和。分别应用薛定谔方程，有其中： 其中： 其中：它们的解分别为边界条件：当；则当，；则连接条件（波函数的标准条件）在处，在处， 在处，在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而 故 其中令 于是有 由 ，得由 可得 讨论：对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。

10、这种方法具有一般性。把、两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问题变为只有一个任意常数的问题。而在区域中没有边界条件。又因所要求的结果具反三角函数的形式，因此把的解写成三角函数的形式。原则上，写面指数或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。7粒子处在势能为的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。解 对区域、分别有其解分别为边界条件：当时，当时，；于是连接条件：当时，当时，上列四式可重写为齐次方程式为下：这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有解之得它与 三式决定粒子的能量。8求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。解 三维

11、谐振子的哈密顿为其中 如果哈密顿可以分离变量，就必然有及 因此可以设定薛定谔方程 的解为且 则有 两边均除以得：要上式两边相等，必须今、三份分别相等，亦即故有 它们分别为沿、方向的线谐振子方程，它们的能量分别为因此三维谐振子的能量为其中 为正整数。由N确定后，由于可以有不同的组合，因此就对应于不同的状态，这就是简并。简并的重数可以决定如下：当时，可取，故有个可能值。当时，可取，有个可能值。当时，只能取0，即只有一个可能值。当和都确定后，由于的限制，也确定了，因此并不增加不同组合的数目。故N确定以后，、的可能组合数目，即简并重数为讨论：若哈密顿本身可以分离变量，总可以有及。这个结论是具有普遍性的

12、。只要注意到我们在证明这个结论时并没有涉及谐振子的哈密顿的具体形式，就能够看出这一点。以上讨论假定了谐振子在三个方向的频率相同。一般地说，各方向的频率是可以不同的，对此，我们也可以用完全类似的方法来讨论。9一粒子在三维势场中运动，求粒子的能量和波函数。解 我们先来证明一个一般的结论：若哈密顿可写成、之和，即则所对应的本征能量为波函数为 其中、；、分别满足一维薛定谔方程（1）（2）（3）把上面三式写成（1）（2）（3）（1）式乘；（2）式乘；（3）式乘；然后三式相加得到：即 这就是我们所要证明的结论。于是我们就把一个解三维的薛定谔方程的问题归结为求解三个一维薛定谔方程的问题。只要求得、和以有、和

13、，就不难求出和。对于方向的薛定谔方程（1），相当于求解一维无限深势阱下粒子的能量和波函数。利用教材10的结论，把（1026）、（1027）和（1028）式中的用a来代替，可得到 （n是整数）对于y方向的薛定谔方程（2），同理有 （m是整数）对于方向的薛定谔方程，由于，这表明粒子在方向可以自由运动，其解为平面波解，即有 是连续谱因此 则有下列几种可能 当，时讨论：若势阱宽度仍为a和b，但区间是由，不难证明，这时E仍如上式所示，但波函数只有一种，为式中 、均为整数。10设在附近运动的粒子受到弹性力作用，相应的势能是，已知满足对应于这个势能的薛定谔方程的波函数是其中 ；是n级厄密多项式，当时，（1）

14、试由薛定谔方程计算相应于本征函数的本征能量；（2）利用公式 求 时的平均势能（3）求时的平均动能。解 （1）本征能量由定态薛定谔方程决定。（a）求：有而 代入薛定谔方程得（b） 故 （c）（d） 同理可得 依此类推可得： （2）求平均势能 （a）时，（b），（c），（d） （3）求平均动能（a）（b）（c）（d）讨论：通过本题可以看到，只要已知本征波函数和体系的哈密顿算符的形式，要求体系对应于这些本征函数的本征能量，只需代入薛定谔方程通过微分运算求出。因此解薛定谔方程 求本征函数和本征能量E的困难，事实上何求本征函数上。一旦已知本征函数，本征能量就容易求出了。事实上，受到弹性力作用的体系，相当

15、于一维谐振子，本征函数就是谐振子的本征函数，这只须取就可看出。因此算出的能量自然就是谐振子的本征能量，这和我们直接运算得出的结果一致。计算结果表明，对于在弹性力作用的体系（一维谐振子）算出的势能平均值总是等于总能量的一半，不管处在哪个能级，都有相同的结论，即这从物理上看显然是非常合理的。11粒子在势能的捧力场中运动，求能量，的情况下，粒子的能量和状态。解 径向方程为当时，方程简化为在处，波函数为，则有令 ，则方程变为即有 其中 在处，令，则有其中 解上面两个方程得，故边界条件：当时，为有限，故于是 当时，为有限，故于是 连接条件：当时，于是 ，故解上面两式消去和得故得 此外，再注意到 从上面两

16、式用图解法求出和，从而确定粒子的能量。由 及波函数的归一化条件可以确定和，从而粒子状态的波函数就可以确定。12粒子在半径为a，高为d的圆筒中运动，在筒内的势能为零，在筒壁和筒外势能为无限大，求证：（1）粒子的波函数是其中是柱面坐标，为m阶贝塞尔函数的第个根。（2）粒子的能量是解 筒外势能为无限大，故粒子在筒内运动的薛定谔方程用圆柱坐标表示为：用分离变量法，设 代入上式，可以得到则有 上面第一式的解为，其中利用边界条件：当时，当时，因而 再令 代入上面的第二式，可再分离变量得这第一式的解为其中 现在令 于是第二式改写为这是一个m阶贝塞尔方程，其解为当时，诺意曼函数，故当时，故令为m阶贝塞尔函数的

17、第t个根，则有综合上面几个式子，得到粒子的波函数为其中C可由归一化条件决定。粒子的能量为13设粒子在一维无限深阱中运动，如果粒子的状态由波函数描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。解 一给无限深势阱式中a为势阱宽度。粒子具有一定能量的状态为本征态，它满足本征方程粒子在阱内时有 代入本征方程得 其解为 能量为 任意状态，可视为一系列本征态的线性迭加，亦即只要求出各个，就可以求出能量的各个可能值及相应的几率。方法一：本题的较简单，容易化为若干正弦函数的迭加故 ，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因为 由于三角函数的正交性故 即得 及讨论：比较上面两种方法可以看出，如果比较简单，能够较容易地把它

18、展开为本征函数的组合时，就可以不必利用比较麻烦的积分方法求，但方法一只有在特殊情况下才能使用。14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解 先把波函数归一化，求归一化系数A。故 而 能量的几率分布为能量的平均值为由于 故讨论：由于几率分布与成反比，可看出能级愈低，几率愈大。当时，几率，故知粒子绝大部分可能处于这个态。15设两个方形势垒的形状分别是求粒子连续贯穿两个方形势垒的贯穿系数。解 现在讨论的显然是，的较小的一个情况。按照贯穿系数的定义：其中和分别表示粒子贯穿第一个方势垒的贯穿系数和粒子贯穿第二个方势垒

19、的贯穿系数，注意到故 第三章 力学量的算符表示1如果算符、满足条件，求证：，证 利用条件，以左乘之得则有 最后得 。再以左乘上式得， 即则有 最后得 应用数学归纳法可以证明 ：先设 成立，以左乘上式得则有 最后得 2证明证 应用 及，则 同理可证 则 3若算符满足求证：其中， 证 方法一：把直接展开，比较系数法。而 因此，把展开式的的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：方法二：定义算符 其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出取，得将展开为麦克劳林级数按定义，所以我们最后得到4如果都是厄密算符，但，向：（1）是否厄密算符？（2）是否厄密算符？解 利用厄密算符具有的性质 及 （1）令则 当 时，故

20、不是厄密算符。（2）因，故因此 是厄密算符。例如，和都是厄密算符，且，所以不是厄密算符，事实上显然不可能是厄密的。但是在 中，把它改写为，显然左方是厄密算符。5如果都是厄密算符，而算符，求证：。证 。6试证明力学量所对应的算符是，并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。证 先证明一维情况，按定义而 ，利用恒等式故 由于：故 同理 故 对于，可先设成立，然后写出的表示式，进行一次分部积分后，不难得出7求：并由此推出、分别与的对易关系。解 ，且 以及 之间均可对易。故 同理 同理可证，对于分别有及 ，一般地，我们可以将上述各式合并写为：其中为循环指标，而8求 并由此推出分别与的对易关系。解

21、同理可证：一般地，可以把上面的式子合并为9一维谐振子处于基态，其中 求 解 。利用第二章第3题的结果，我们知道是已归一化了的，故同理，注意到一维情况下，只须考虑，因此最后得 讨论：通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系一致。的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为它是的偶函数，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。也可以从动量空间中求平均而得到。在以为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为令 代入上式可得在以为自变量的表示式中，考虑到算符，故薛定谔方程为同理可

22、令 ，于是有显然的解只须在中以代替即得：而 故 和上面得出的结果一致。10一维运动的粒子处在求 解由第二章第1题知归一化系数为在上面的计算中利用了积分公式最后得 讨论：，满足测不佳关系。用及求得的结果也和上面的结果一致。显然，在已知的情况下，把用算符代替，直接用坐标几率分布函数表计算或，比先由求动量几率分布函数，再由来或简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。在第四章将看到，一个力学量，不管用作自变数，还是用或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。11求粒子处在态时角动量

23、的分量和角动量分量的平均值；并证明：解（1）先证明两个普遍的关系：可以用两种方法来证明。（a）从角动量算符所满足的对易关系出发：或 由一式与二式乘i后相加减可得：或 用算符对运算得：另外，注意到和均可对易，故有：所以 从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式。令 它的共轭复式是二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得：（b）用直接求微分的方法证明而 ；其中 故 同样，对也有其中 可证明如下：因为勒襄德多项式满足方程对上式求微商次后得到或 故有（2）现在来求和注意到的正交性，亦即令 同理可知 故 （3）注意到的正交性，得：同理可证： 故 方法三：在固定z轴

24、不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出而 讨论：为了证明，我们还可以用下面两种简并方法：（a）设为的本征态，则有而 故同理，因为，可以证明（b）利用本章第12题的结论来证明令 则显然都是厄密算符，的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用12题的结论得出由于态是的本征态，在本片态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是。同理，只须利用，也可以证明在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明

25、注意到 即 左乘 得：利用 右乘得：比较 和可见，。再利用，按照方法三的讨论，很容易证明。12若都是厄密算符，且，证明：证 引入积分 其中为实参数，显然 这是关于的二次三项式，要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即故 B若，且，证明，若为的本征函数，对应的本征值为，则也是的本征函数，对应的本征值为；也是的本征函数，对应的本征值为。解 依题意 则 故是的本征函数，对应的本征值为，故也是的本征函数，对应的本征值为。14证明狄拉克函数的下述性质：（1）；（2）；（3）证（1）方法一：方法二：左右二端相比较可得：（2）上面令。而 故 （3） 令则注意：函数在运算时还有其他重要性质，例如：等等。用相似

26、的方法也可以证明。15利用测不准关系估计氢原子基态能量。解 若电子的质量为，电子离核的距离为，则氢原子的平均能量为式中是电子的动量。利用测不准关系对氢原子的基态，由于其对称性，故 ，而电子和核的距离在数量级内，其误差不会大于本身，即所以得到 若在能量表示式中，以代替，由于，故基态的能量最小，故故 对类氢原子则有 z为原子序数。上述结果和用精确方法求得的氢原子基态能量相符，这里的，就是第一玻尔轨道。16设体系处在态中，求：（1）力学量的可能值和平均值；（2）力学量的本征值；（3）力学量和的可能值。解（1）因为和都是的本征函数。对应于态，的本征值为；对应于态， 的本征值为。因此，对态来说，的可能值

27、是0，。力学量的平均值为（2）因为和也都是的本征函数，对应的本征值是故 故对应于态，的本征值为，平均值也是。（3）根据教材26的讨论，和不再是力学量和的本征函数。并且，对于来说，和的可能值均为；对于来说，和的可能值也是。因此对于态来说，和的可能值仍是。17设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量得到的值是，测量力学量得到的值是，求测量力学量和可能得到的值。解 设体系所处的状态为，由于力学量和能同时测量，所以必是和的共同本征函数，且具有球谐函数的形式。，故，故因此态就是态。把按的本征函数，展开。因为不随坐标选择而变，因此在系中，仍为1，而可能取。故在态可能测得的值为。同理在态测量的可能值也是。1

28、8荷电为的粒子在恒定磁场中运动，让明粒子速度分量之间的对易关系是：证 按定义：而 与无关，故算符和对易，则有考虑到：事实上，在有磁场存在的情况下，广义动量为，这一结论从物理上看是显然的。同理，只须轮换脚标，不难得出其余两式可把上三式合写为 讨论：下面求荷电为的粒子在恒定磁场中的能量。为此，可令的方向沿轴方向，亦即利用上面的结果，有体系的哈密顿为：令 则 由于哈密顿算符可以分离变量，因此，根据第二章第8题，第9题等的结论，哈密顿算符的本征值就是的本征值和的本征值之和。现在我们来求算符的本征值，这里要指出，由于和不可对易，它们满足对易关系式因此绝不能得出哈密顿算符的本征值是连续谱，本征函数是平面波

29、的结论。引进代换 其中 则： 而对易关系把和线性谐振子的哈密顿算符振子比较，而式中令 线性谐振子的定态薛定谔方程为即 亦即算符的本征值为利用对易关系 ，易得其对易关系与的对易关系一致。因此算符的本征值也是的本征值是对于，考虑到和；都对易，因此的本征值是连续谱为。总起来，我们最后得到：哈密顿算符的本征值为：19证明：证 方法一：因为势能和对易，故上式中含势能部分消去，可得：利用教材中的公式（2815）和（2816）：容易证明于是得：方法二：20如果体系的哈密顿算符不显含时间，证明对于具有分立能谱的状态，动量的平均值为零。证 设具有分立能谱的哈密顿算符归一化本征函数为，则因为是的本征态，满足，且是

30、厄密算符，故注意，上面的结论不能用于具有连续能普的状态，因为在证明过程中，平均值公式为这仅对分立谱状态才成立，对于连续谱，必须除以因子。第四章 表象理论1求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解（1）动量的本征函数为按定义，在动量表象中的矩阵元为同理可得：（2） 2求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解 在坐标表象中，线性谐振子的波函数为其中 在动量表象中的态矢量是：其中 现在来求积分： 注意到厄密多项式的母函数是比较项的系数，得其中 3求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解 线性谐振子的哈密顿量动量的本征函数 故 讨论：有了H在动量表象内的表示，便可得到动量表象内线性谐振子所满足

31、的薛定谔方程。设波函数为，则令 ，即，则上式成为这个方程和坐标表象内完全相似，可以用同样的方法求解。4如果系统的哈密顿量不显含时间，用矩阵的方法证明在能量表象中有解 令 在能量表象中而 注意到为厄密矩阵元，有同样 故 5设厄密算符满足，且，求（1）在A表象中，算符的矩阵表示；（2）在B表象中，算符的矩阵表示；（3）在A表象中，算符的本征值和本征函数；（4）在B表象中，算符的本征值和本征函数；（5）由A表象到B表象的么正变换矩阵S。解（1）由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵。在现在的情况下，可以用二行二列矩阵表示，即算符在A表象中的矩阵是设在A表象中算符的矩阵是：利用

32、 ，得即 由于 故：由于是厄密算符，故即 算符在A表象中的矩阵一般地是：其中相当于相角因子。（2）同理，在B表象中，算符应当是对角矩阵，且本征值为，故而 （3）在A表象中，算符的本征值和本征函数，可由本征值方程得出，在矩阵的形式下的本征值方程是：即 ，有和不同时为零的条件是系数行列式为零，即 即对 对 所以算符在A表象中的本征值是，本征函数是和这里要指出，算符在B表象中的本征值也是，这很容易直接从算符在B表象中的矩阵表示看出，因此我们验证了这样一个结论：本征值不随表象改变而改变。（4）显而易见，完全相类似，算符在B表象的本征值是，本征函数是（5）由A表象到B表象的幺正变换矩阵S就是将在A表象中

33、的本征函数按列排成的矩阵，即这不难由矩阵的求法是使得是对角矩阵（因为变换到B表象中，算符的矩阵是对角矩阵）看出。或 乘，对求和得：即 这正是的本征值方程，由此可见，S矩阵的第列正是算符对应于本征值为的本征函数，这正是所要证明的。由A表象到B表象的幺正变换矩阵S实际上就是使A表象的基矢变到B表象的基矢。设A表象基矢为，B表象的基矢为，则是幺正矩阵S的第行第列矩阵元。是的本征态，而的第个本征态在A表象内用本征矢表示，即有本征值方程（A表象内）为：因而在A表象内解出的第个本征矢正好是S矩阵的第列元素。故把在A表象内解得的本征矢按本征值的次序并列起来，即得幺正变换矩阵。因此证实了我们的结论。 为了验证

34、S的正确性，我们通过将从A表象变到B表象（即B的自身表象）中去正是对角矩阵，矩阵元是的本征值。6设已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。解（I）设的本征函数为，本征值为。则本征方程为：即 令 ，则上式成为即有 有非零解的条件是上述方程组系数行列式为零，即展开得 即有 于是 是的本征值。下面求本征矢：（1）当时，故本征矢为，利用归一化条件有因此对应于的归一化本征函数是（2）当时，故本征矢利用归一化条件有即有 故对应于的归一化本征波函数是（3）当时，故本征矢为，利用归一化条件有，故对应于的归一化本征波函数是（4）把矩阵对角化利用和本章第5题同

35、样的讨论，我们得出幺正变换矩阵S为故 由此可见，在自身表象中，矩阵是一个对角矩阵，对角元素是的本征值。和上述结果一致。（II）对于，可用同样方法讨论。设的本征矢为，则本征值方程为：令 ，上式成为就有有非零解的条件为：即有 故 的本征值为 。求本征矢：（1）当时，。本征矢为，把它归一化，故对应于的归一化本征函数为（2）当时，故本征矢为，归一化之，故对应于的归一化本征函数为（3）当时，故本征矢为，归一化之， ，故对应于的归一化本征函数为（4）幺正变换矩阵S为：可见在自身表象中，矩阵是对角矩阵，其对角元素的本征值。7求自由粒子坐标算符的海森伯表示。解 对于自由粒子 故 在动量表象中 故 即 式中表示

36、自由粒子坐标算符的海森伯表示，表示自由粒子坐标算符的薛定谔表示。8求连续方程的矩阵表示。解 连续性方程为哈密顿算符代入上式得以 代入上式，再对变化的整个空间积分可得其中 把（*）式写成矩阵形式为或简写为上式就是连续性方程的矩阵表示。第五章 近似方法1如果是个小量，求按升幂的展开式。解 设在等式两边同时右乘以得到注意到是个小量，对于任意的，上式都满足，这就要求使：即 这种公式以后经常要用到。例如，当，其中表示无相互作用时的哈密顿算符，相当于微扰，这时有2如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为及电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的第一级修正。解 在电动力学中知道，当时，即在荷电小球

37、外部时，势能的分布和点电荷产生的势能分布一样。在处，势能分布则为因此，微扰势能可以写为故类氢原子处于基态时的一级能量修正值为：注意到 其中 为玻尔半径。故 为了计算上的方便起见，我们作一些近似估计，因为厘米，厘米。对于最大的，有。所以，。因此可以把上面的积分化简为：所以基态能量是：讨论：由结果可见，当愈大时，由于核不是点电荷所产生的影响也愈大；同样，当愈大，产生的修正也愈大，这在物理上看是显然的。这时候相当于微扰的影响相当显著。3转动惯量为，电矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。解 空间转子是约束在球面上的体系，对于这样的体系，常数，因而波函数对的微商

38、为零，即，这表明波函数只包含和两个变量，哈密顿算符中不含的项。因此，体系的哈密算符是：而 其中为转子的转动惯量，注意到上式即为：即 即无微扰时的本征函数，就是球谐函数。注意到基态为非简并状态，利用非简并微扰，对基态能量的修正值决定于矩阵元。因此，一级能量修正值显然为 二级能量修正值为这个二级能量修正值正是电场中极化的能量，微扰后的总能量准确到二级的情况下为：4转动惯量为I，电矩为的平面转子处在均匀弱电场中，电场是在转子运动的平面上用微扰法求转子能量的修正值。解 平面转 子是约束在平面内一定半径的圆周上运动的系统，它的哈密顿算符是在加进均匀弱电场以后，微扰的哈密顿算符为显然零级近似波函数为球谐函

39、数，事实上：即 无微扰时波函数只与角相关，即一级能量修正值为所以在一级近似中，转子的斯塔克效应不存在。下面求二级近似：一般地，我们先设对态求修正值，最后令，作为特例，我们可以得到转子能量的修正值。故 因此，在对的求和式中，只有和两项不为零，故而 故 特别对于基态： 基态总能量（考虑到二级修正）为：第个能级的能量为5设哈密顿量在能量表象中为矩阵所表示，其中为实数，求（1）用微扰公式求能量至二级修正值；（2）直接求能量，并和（1）所得的结果比较解 （1）设能量本征函数为，无微扰的零级近似波函数为，体系的哈密顿算符为无微扰的定态薛定谔方程为另一方面，从微扰的一般公式可见，求能量修正值的问题，实质上就

40、是计算微扰矩阵元的问题。一般地说，总哈密顿量的矩阵元是根据题设，在能量表象中，哈密顿量为于是有： 按照微扰的一般公式，准确到二级修正时的总能量是：若以和分别表示第一能级和第二能级的总能量，在准确到二级修正的情况下有（2）为了直接在能量表象中求解本征值方程，我们取的本征矢为，能量本征值为E，则本征值方程为：即有 要使和有非零解的条件是使上二式的系数行列式为零，即故有 展开有 故 而 故 和用微扰公式算得的结果一致。6.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。解（1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有令 ，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是无微扰时，线性谐振子的零级波函数是当体系处于