罗必达法则应用研讨本科.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流罗必达法则应用研讨本科.精品文档. 毕业设计(论文) 课 题 名 称 罗必达法则应用研讨 系、年级专业 理学系06级信息与计算科学 摘 要极限问题是高等数学的基本问题之一 ，如何求极限又是极限问题的核心，求解极限问题有很多方法，其中未定式极限的求解方法常用罗必达法则。本文将从罗必达法则的定理出发分析应用罗必达法则求极限应注意的几个问题；通过解析相关例题总结出用罗必达法则求各种类型未定式极限的一般程序 ；通过类比解析一类利用罗必达法则不能得心应手，不能通过简单套用得出结果的求极限问题来分析如何克服罗必达法则运用的弱点，从而选择恰当、合适的方法来

2、灵活解题。最后，通过以上对罗必达法则求极限方法的分析及在解某些题目时与其它求极限方法 的优劣对比，能够达到深刻理解罗必达法则求不定型极限的定理，熟练掌握用罗必达法则求极限的方法，正确应用其它求极限的方法辅助解题，简化解题过程。 关键词：罗必达法则；未定式；解题方法；极限ABSTRACT Limit problem is one of the basic problems of higher mathematics, While how to calculate limit is the core of the limit problem.There are a large number of

3、ways to calculate limit.To undetermined type,the most commonly method is Luo Hpitals rule.This thesis start from the theorem of Luo Hpitals rule to analyse several issues that should be pay attention to when use the theorem to calculate limit problem ; through resolving some relevant examples to sum

4、 up the general procedure of solving all kinds of undetermined type limits problem ; and through comparing different methods to solve a kind of limit problem which is a hard nut to crack to Luo Hpitals rule to analysis of how to overcome the weaknesses of Luo Hpitals rule and choose the appropriate,

5、 suitable and flexible approach to solve the problem.Finally,by compare of the strengths and the weaknesses of a variety of ways in calculate limit, we can deep understanding of Luo Hpitals rule and master this method to solve limit problem , also we can use other ways to help solve problems correct

6、ly and simplify the process of problem solving.Key Words: Luo Hpitals rule undetermined type limit Problem Solving Method 目录摘 要IABSTRACTII第1章 绪论11.1 数学家罗必达简介11.2 罗必达法则的提出11.3 掌握罗必达法则求极限的意义2第2章 罗必达法则的定理32.1 定理的内容32.2 定理的证明32.3 定理的限定条件分析82.4 举例解析各类未定式极限8第3章 用罗必达法则解题应注意的问题10 3.1 定理条件的限定性103.2 罗必达法则的失效1

7、03.3 使用罗必达法则解题过程繁琐10第4章 如何克服罗必达法则在解题中的弱点114.1 结合恒等变形与极限四则运算简化解题过程114.2结合无穷小量替换简化解题过程134.3结合泰勒公式简化解题过程134.4结合拉格朗日中值定理简化解题过程15总 结37参考文献38致谢39附录40第1章 绪论1.1 罗必达（LHospital）罗必达是十七世纪世界著名的数学家之一，1661年出生于法国的贵族家庭，1704年2月2日在巴黎去逝。他一生聪明好学，在15岁时就学会解旋转线的问题。罗必达最突出的成就是对微积分学的贡献，创造的罗必达法则传至今日。罗必达早年曾在军队里担任骑兵军官职位，后来因为视力听不

8、佳而不得不退出军队。这也成为罗必达人生中一个重大的转折点。此后罗必达潜心学习数学，在瑞士数学家白努力的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。罗必达所著的无限小分析（1696）一书是微积分学方面最早的教课书，在十八世纪时为一模范著作，书中详细介绍了用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限的算法。罗必达逝世后，白努利发表声明该法则及许多的其它发现归功于罗必达。其著作阐明曲线的无穷小分析 1696，是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述了变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播微积分理论起了很大的作用。罗必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写一本名为

9、圆锥曲线分析论的书。但因天嫉英才，英雄早逝而未完成。其遗留的手稿由白努力帮其发表，于1720年巴黎出版。 1.2 罗必达法则的提出 十七世纪著名法国数学家罗必达LHospital在微积分这个领域卓有成就，他最著名的著作是阐明曲线的无穷小分析，这是世界上第一本微积分的教科书，书中记载着著名的罗必达法。1696罗必达提出了处理 和不定型极限的方法，后人命名为罗必达法则。1.3 熟练掌握罗必达法则求极限的意义 罗必达法则的提出无疑是解决某些零比零或无穷比无穷型极限计算的一个简便有力的工具。可是学生在使用罗必达法则时经常会得出一些错误的结果或者难以得出结果。这种现象，从教学和学习方法的角度来看是值得进

10、行分析研究的。 首先，学生在学习一个定理时往往习惯于记公式，套结论，不善于去分析公式中的条件。本文帮助学生去培养分析问题的能力。深刻理解定理的内涵，熟悉定理的使用条件，归纳总结解题的一般步骤，灵活使用各种方法辅助解题，开拓解题思路。 通过对罗必达法则的深入分析，能够使读者对罗必达法则学得深，学的活，进而也培养学分析问题的能力。第2章 罗必达法则的定理2.1 定理概述定理1 设 （1）当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于零； （2）在点a的某去心领域内，; （3）（或为无穷大） 那么 这就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大。这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定

11、未定式的值的方法称为罗必达法则。定理2设（1） 当时函数飞f(x)及F(x)都趋于零；（2） 当|x|N时与都存在，且；（3） 存在（或为无穷大） 那么 2.2 定理的证明 以定理1为例 定理2同理可证 证：因为求与f(x)及F(x)无关，所以可以假定f(x)=F(x)=0于是由条件（1）（2）知道，f(x)及F(x)在点a的某一领域内是连续的。设x是这个领域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有(在x与a之间) 令xa,并对两端求极限，注意到xa 时 ，再根据条件（3）便得证 如果 当xa时仍是零比零型，且这时 能满足定理中f(x)及F(x)满足的条件，那么

12、可以极限使用罗必达法则先确定从而确定即且可以依次类推。2.3定理限定条件的分析的2.3.1罗必达法则的条件（1）告诉我们，只有不定型极限才能使用罗必达法则，在每次使用罗必达法则之前，必须检查所求极限是否属这两种类型的不定型。如果不是就不能使用罗必达法则，否则就会得出错误的结果。例1 求极限 这个极限既不是型的不定式，也不是型的不定式。如果使用罗必达法则就会得出如下错误的结果：事实上，根据极限运算法则有=1例2 求极限 同理这个极限也不是不定型，而是确定型。如果用罗必达法则会得出错误答案 =1而正确解法为： =0 由此可见，不是型或型的不定式就不能使用罗必达法则否则就会出错。 2.3.2 罗必达

13、法则的条件（2）要求在a的某去心领域内从而保证了洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。2.3.3分析罗必达法则的条件（3）尤其应该注意此条件只是充分条件，而不是必要条件。因此，当极限不存在也不是时，就不能肯定原极限也不存在。这时，应当改用其他方法。例3： （用罗必达法则） 由于右边的极限不存在，故左边的极限，即原极限也不存在。 这个结论是错误的，上式中的等号不成立。事实上，我们有 =3/52.3.4罗必达定理给出的不定型只有两种 型，型 而对于这些不定型如型的未定型，则应先转换为型型再来计算。具体解法将在下节详细解析 2.4 解析各类未定型极限 2.4.1对型极限的求解分析： 例4 :求

14、 分析： 逐一判断是否符合罗必达法则的使用条件，首先这是一个型的未定式极限问题，符合罗必达法则使用条件（1），其次每次使用罗必达法则之前，必须检验是否属于型或型未定式。若不是未定式，则不能再使用罗必达法则。此题解法如下 解：=（仍为型，可继续使用罗达法则） =（同上） =（同上） =1 2.4.2 对型极限的求解分析 例5 求 （n0) 分析：此题为型不定式极限，其解题步骤与型类似，需要注意的地方仍就是每次使用罗必达法则之前，必须检验 解：原式= = 0例6 求 （n为正整数0) 解： 相继应用罗必达法则N次，得=02.4.3 对不定型极限的求解分析 1. 对于不定型极限，求解的思路主要是把它

15、们转化为型或型未定式 然后应用罗必达法则解题。例7：求 解 这是未定式 因为 当x时，上式右端是未定式，应用罗必达法则，得 =0例8： 求 解：此极限属于型可化为型未定式例9： 求 解 这是未定式 应将其转换为型，再应用罗必达法则 因为= 当X时，上式右端为型未定式，由罗必达法则求得=0例10： 求极限分析： 所求极限为 应将其转换为型，再应用罗必达法则 解：=例11：求极限 分析：所求极限是型未定式，但是无法直接化为型或型的未定式。这时可从括号内提出无穷大因子X,先化为型未定式，然后再通过换元化为型未定式求极限 解：= 2. 对于不定型极限，求解的思路一般是通过取对数求极限法再应用罗必达法则

16、例12： 求解 这是未定式 设 y= 取对数得 lny=xlnx当x时，上式右端是未定式则 =0因为 y=, 而lim y=lim =( 当x时)所以 =1例13： 求 解 这是型未定式，恒等变形为 由=- 所以= 评析： 此题用恒等变形求解，其实质仍是取对的思想，但是它避免了引入未知数从而简化解题过程。例14：求W=解： 这是型未定式 因为 =2 所以W=例15：:求W=分析：这是一个型未定式极限，其求法与类似 解：= =1第3章 使用罗必达法则解题应注意的问题3.1注意定理的使用条件在前一章罗必达法则的定理分析中我已对定理的条件进行了初步分析，下面我将结合具体例题从正反两个方面不同角度来分

17、析在用罗必达法则求极限时应注意定理条件从而加深读者的印像。3.1.1只有不定型极限才能直接使用罗必达法则 请参考第九页2.3.1 在此不再重复论述。3.1.2在每次使用罗必达法则之前，必须检查所求极限是否属于不定型。如果不是就不能再使用。例16： 求分析：此式为型未定式，符合罗必达法则 解：原式= 这个结果是错误的 。此极限虽然属于型，但问题在于，在继续使用罗必达法则时没有坚持每次使用罗必达法则之前都要进行检查。 事实上，在连续使用两次罗必达法则后，原极限已经转化成确定型了，因此正确解法是： （型）（用罗氏法则） =（型） =（确定型）例17：问a,b取何值时，=1成立（a0) 解（1）（）=

18、10（*） 而=0，由此得到=0，于是b=1，所以 =1即a=4 根据以上从左到右的推导，问题出在（*）式，即的存在性并没有论证。根据罗比达法则的条件（2），只有当存在时，（*）式才成立，这个问题往往被人们忽视，因此后面的两步就失去了根基，所以解法（1）是错误的。 解（2）（）= 如果b1,则上式等于0，与已知条件矛盾；如果b=1，是型未定式，用罗必达法则求解，即 =1即a=4评析： 解法（2）求出 =后，讨论了其存在性，排除b1的情形后，得出b=1；此时是型未定式，从而可继续应用罗必达法则进行求解，避免了武断上述极限存在的错误。该问题的关键还是讨论的存在性，只有它存在，才能使用罗氏定理。每次

19、使用罗必达法则之前，必须检验是否属于不定型。若不是未定式，则不能使用罗氏法则。又如：=，如果不检验，盲目地继续使用罗必达法则，将得出错误的结果：=1.罗必达法则的条件是充分而非必要条件，也就是说，当遇到不存在时（除外），不能断定 不存在。这也是将要讨论的使用定理的第三点需要注意的地方。 3.1.3当遇到不存在时（除外），不能断定 不存在。 例18：这是一个型的不定式。如果使用罗必达法则就得但是当x时，sinx cosx 震荡不定，所以当x时sinx cosx的极限都不存在。但是并不等于说 不存在。事实上，适当变形可得 =1例19： 这是一个 型不定式。如果使用罗必达法则就得 = 当x0时，的极

20、限不存在，从而不存在。但是使用适当变形由极限运算法则有=0故存在3.2罗氏定理在某些情况下失效3.2.1当时,函数式中包含或和当时，函数式中包含sinx或cosx罗必达法则失效。例20: 求分析： 此极限是 型不定式，将分子分母分别求导后的极限为由于极限式子中含有，该极限震荡不能继续求导，但是不能说原极限不存在。此时只能说罗必达法则对此题失效.例21：证明极限存在，但是不能用罗必达法则计算 证： 因为= =1 但是= = 不存在 因此，不能用罗必达法则来求解 评析： 此题虽然当时是型，但是分子分母导数之比的极限属于震荡型不存在，由此而断定原极限不存在时错误的。此例表明，应用罗必达法则的条件不具

21、备，需用其它方法来求解，即罗必达法则失效。3.2.2在连续使用罗必达法则后，如果出现循环现象，也说明罗必达法则失效。例22:这是一个型未定式，如果连续使用罗必达法则就得 原式=出现循环现象。这说明罗氏法则失效，应当使用其它方法，求解如下 =1或者通过适当变形后，再使用罗必达法则求解 =1评析：罗必达法则是求不定型极限的有力工具，但不是所有不定式求值问题都能解决，该法则是有局限性的。在下一章将着重阐述如何克服罗必达法则的这些弱点。3.3对于某些题目使用罗必达法则解题过程繁琐。例23：求 此题如果不先化简，则相当繁，导致难得出结论例24： 求极限 分析：此极限虽然是型未定式，但是分子，分母各自求导

22、以后，由于分母中含有和这样的复杂式子，求导后所得的极限式会变得更加复杂。为克服这一弱点，可考虑利用泰勒公式适当展开后在计算。这将在下一章4.5中详细介绍。 例25： 求极限（） 分析：此题若用罗必达法则求解过程很繁琐，如果使用下一章介绍的等价无穷小量替换则会起到“柳暗花明”的效果。第4章 罗必达法则在解题中的弱点克服4.1结合极限四则运算简化解题过程有些人学了罗必达法则后，常常习惯于一遇到不定型就直接使用罗必达法则，而不是先观察式子能否化简，能否将某些确定型因式提出单独求极限（即不参与求导运算）。应当指出，这样做有时是相当繁琐的起到事倍功半的效果，甚至难以求出结果。因此，每次使用罗必达法则之前

23、，一般宜先化简。例26：（） =5例27：求极限 （） =（）先化简 （先将确定型因式2提出单独求极限） =2 =2（）用罗必达法则 =1例28：求极限 原式 = =1评析： 此例先用了加项，减项，等价无穷小替换，再运用罗必达法则和重要极限，结合极限四则运算法则大大简化了计算。 例29：求极限W= 解：W= 评析：此题结合恒等变形与极限四则运算法则大大简化了解题过程，如果只采用罗必达法则计算将非常复杂难以得出正确结果。例30：求极限W= 分析：极限式子中含有tan(a+x)tan(a-x)这样的复杂三角函数式，如果直接使用罗必达法则求解将会很棘手，因此必须利用三角函数恒等变形和极限四则运算法则

24、来解答此题。 解：W=例31：求极限W= 解析：恒等变形：分子分母同乘 得 W= 4.2结合无穷小量替换简化解题过程例32：求极限 解：原式= =（其中） 由（)知后面一个极限为1 =1例33：求极限W= 解：先做恒等变化与等价无穷小量替换再用罗必达法则 W=例34：设常数a0,求W= 分析：这是零比零未定型，若直接用罗必达法则复杂。这里先分离出非未定式因子，再用无穷小量替换；若a0则，最后用罗必达法则求解。 解：=例35：求极限 解：因为，故该极限为型未定式，可化为零比零型未定式并结合等价无穷小量替换，最后用罗必达法则求极限。 原式= =0例36：求极限W= 解：将分母先作等价无穷小替换后再

25、用罗必达法则，其中 W=4.3结合泰勒公式简化解题过程例37：求极限 解：将复杂式子和cosx用泰勒公式展开 =1+（）+（X） cosx=1- 则 cosx-= 因此=例38：求极限 解：因为 将其代人得：=-2+0=-2例39 求极限 解：将代人极限式 原式=4.4结合拉格朗日中值定理简化解题过程例40求极限 分析：此极限若直接用罗必达法则求解很繁琐，但是先用拉格朗日中值定理转换分子，再用罗必达法则求解就简单多了。解：当所以在区间sinx,x上对函数应用拉格朗日中值定理可得其中，由于当=例41：求极限 解： 满足拉格朗日定理，得 则= =0总 结我从一开始写这篇文章时对求极限问题只是有一些

26、肤浅的了解，但是我对如何使用好罗必达法则求极限这个问题很有兴趣，通过上网查阅资料对罗必达法则的定理，使用方法等进行了系统的学习和研究，然后我才开始着手写这篇文章。在写这篇文章的过程中我又学到了很多以前还没掌握好的知识，对使用罗必达法则解题更加熟练了。于此同时我对其它的一些求极限的方法也进行了研究学习，通过将其他求极限方法与罗必达法则的对比加强了自己求极限问题的能力。 这篇文章从罗必达法则的定理出发，采用层层深入的方法来解析如何用好罗必达法则解题，首先详细的叙述了定理的内容，并给出了定理的证明过程。然后着重强调了在解题中应注意的几个问题，这也是如何用好罗必达法则解题的基础，只有注意了这些问题才能

27、够正确的使用罗必达法则。接着我对各种类型未定式极限从不同角度选取了正反方面的典型例题进行了详细的解析，并在每道题目的开始进行了思路分析，在每道题目的末尾进行了总结评析。从而让读者更明白用罗必达法则解题的思路，步骤。 最后，这篇文章的重点是第三章和第四章，在第三章中我分析了罗必达法则求不定式极限失效的几种情况，指出了罗必达法则解题的局限性。这也是学生在学习罗必达法则的过程中常常遇到的棘手问题。只有解决了这些问题才能真正的熟练掌握罗必达法则并且灵活运用它来解题而第四章正是对第三章的补充解答。在第四章中我分析了如何克服罗必达法则的弱点。主要的思路是结合各种求极限的方法来解答有一定难度的题目。其中有些

28、题目是以罗必达法则为主，辅以其它的解法。也有一些题目主要是用其他求极限方法来解题，通过化简最后再使用了罗必达法则解题。当然并不是每个题目都必须要使用罗必达法则来解答，但是为了加深读者对罗必达法则的理解，我在所有例题中都引进了罗必达法则。 回顾整个写作过程，我也遇到了很多困难，花了不少时间，走了一些弯路。但是却很充实，学到了不少知识。我相信一份耕耘，一份收获。付出总会有回报的。参考文献1 高等数学（第5版）M同济大学应用数学系 主编2 数学复习全书 （数三） 李永乐，李正元主编3 数学考试参考书 高等教育出版社4 学习罗必达法则应注意的问题 吴坚5 罗必达法则应用 李克勤6 罗必达法分析 程家国

29、7 例说等价无穷小替换求极限 冯月 8 浅谈求函数极限的方法. 冯燕奎 9 新发现 科技信息快报社编辑出版10科学家和科学家的故事 人民邮电出版社11 一类极限的求解 宋金堂 朱喜福等编.13 利用中值定理和泰勒公式求函数极限 王路群14 用泰勒公式巧解一类未定式极限 赵毅主编15 柳西玲.许斌编著.求极限方法全集M.北京：清华大学出版社，2006.16 美Herbert Schidt著.高等数学参考大全.鄢爱兰.鹿江春译M.北京：清华大学出版社，2006.17 18 19 20 21 Mark O. Pendergast.Create intelligent Web spidersA.致 谢

30、 在论文即将完成之际，回顾紧张但又充实的学习过程，本人在此向所有关心我的及帮助我的老师和同学们致以最真诚的感谢。在本次毕业设计中，特别感谢指导老师的悉心指导。他认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅。无论在理论上还是在实践中，他都给予我很大的帮助，使我得到了很大的提高，这对于我以后的工作和学习来说都是一种宝贵的财富，在此感谢他耐心的辅导。如果没有他指导，我们就不能较好的完成论文设计的任务。另外，我还要感谢在这几年来所有教导我的老师，他们孜孜不倦的教诲不但让我学到了很多知识，而且让我掌握了学习的方法，更教会了我做人处事的道理，在此表示感谢。同时，在大学期间学习中还有很多同学也给了我不少帮助，这里一并表示感谢。附录附录A 英文原文附录B 英文翻译附录C 关键代码