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1、双曲线的定义及标准方程,一、回顾,1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？,y,o,x,F1,F2,y,o,F1,F2,|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）,a2=b2+c2,F ( c,0) F(0, c),o,F1,F2,1. 椭圆的定义,2. 引入问题：,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,双曲线,两条射线,2 、2a= |F1F2 |,3、2a |F1F2 |,无轨迹,|MF1| - |MF2|= 2a,想一
2、想？, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,平面内与两个定点F1，F2的距离的差,等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.,动画,的绝对值,（小于F1F2）,注意,定义:,| |MF1| - |MF2| | = 2a,1. 建系设点.,2. 写出适合条件的点M的集合；,3. 用坐标表示条件，列出方程；,4. 化简.,求曲线方程的步骤：,方程的推导,x,o,设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数=2a,F1,F2,M,以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,1. 建系.,2.设点,3.列式,|MF1|
3、 - |MF2|= 2a,4.化简.,多么美丽对称的图形！,多么简洁对称的方程！,数学真美啊！,焦点在y轴上的双曲线的标准方程,想一想,F1(0,-c), F2(0,c),问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,双曲线的标准方程,练习：写出以下双曲线的焦点坐标,F(5,0),F(0,5),练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。,答案：,题后反思,（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,（2） 是否表示双曲线？,表示焦点在 轴上的双曲线；,表示焦点在 轴上的双曲线。,答案： 。,例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F
4、1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.,2a = 8,c=5,a = 4, c = 5,b2 = 52-42 =9,所以所求双曲线的标准方程为：,小结：求标准方程要做到先定型，后定量。,例题,练一练,Ex1求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴 上， ； 焦点在在轴 上，经过点 .,答案: ,令,则,解得,故所求双曲线的标准方程为,例题,2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。,分析：,爆炸点P的轨迹是靠近B处的双曲线的一支。,A,B,P,假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B地远；,| |MF1|-
5、|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系：,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,例3:求适合下列条件的双曲线的标准方程。,1、,焦点在 轴上,2、焦点为,且,例题,分析:,课后思考题：,-(1),-(2),-(3),(1)(2)(3)有什么内在 联系？,这又是什么样的美丽曲线呢？,例4 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3， ）、（9/4,5），求双曲线的标准方程.,解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：
6、,因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程.将P1, P2 坐标分别代入方程中，得方程组,解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：,例5 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.,解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.,例题,（2）如图814，建立直角坐标系xOy，使 A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为（x,y），则 即2a=680,a=340.2c=800,c=400 b2=c2a2=44400 所求双曲线的方程为：,(x0).,