《高中数学必修立体几何专题线面角典型例题求法总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修立体几何专题线面角典型例题求法总结.docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结线面角的求法1. 直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段, 垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四周体 ABCS 中, SA,SB,SC两两垂直, SBA=45 , SBC=60,M为 AB 的中点,求（ 1） BC 与平面 SAB 所成的角。（ 2） SC 与平面 ABC 所成的角。CHBSMA解:（1） SC SB,SC SA,图 1 SC平面 SAB故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影, SBC 是直线 BC 与平面 SAB
2、 所成的角为 60。（ 2） 连结 SM,CM ,就 SM AB,又 SCAB, AB 平面 SCM,面 ABC 面 SCM过 S 作 SH CM 于 H,就 SH平面 ABC CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 SCH 为SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的, SC 是面 SAB的垂线,又是面ABC的斜线 . 作面的垂线常依据面面垂直的性质定理,其思路是：先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,就得面的垂线。）2. 利用公式 sin =h 其中 是斜线与平面所成的角,h是 垂线段的
3、长, 是斜线段的长,其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 （ 如图 2）长方体 ABCD-A 1B 1C1D1 ,AB=3 ,BC=2, A 1A= 4,求 AB 与面 AB 1C1D 所成的角。DC2A3B4HCD 11BA 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设点 B 到 AB 1C1D 的距离为 h, V B AB 1C1=V A BB 1C1 1 3 S AB 1C1h= 13S BB1C1AB ,易得 h=12 5 ,设 AB与 面 A B 1C1D 所成的角为 , 就 sin=hAB=4 5
4、, AB 与面 AB 1C1D所成的角为 arcsin0.83. 利用公式 cos =cos 1cos 2（如图 3） 如 OA 为平面的一条斜线, O为斜足, OB为OA 在面 内的射影, OC为面内的一条直线,AOBC其中 为OA 与OC所成的角,图3 1为OA 与OB 所成的角,即线面角, 2为OB 与OC所成的角,那么cos=cos 1cos 2,它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1. 平面的斜线和平面所成的角：已知,如图,AO 是平面的斜线, A 是斜足, OB 垂直于平面, B 为垂足,就直线AB 是斜线在平面内的射影。
5、设AC 是平面内的任意一条直线,且BCAC ,垂足为 C ,又设 AO 与 ABO所成角为1 , AB 与 AC 所成角为2 , AO 与 AC 所成角为,就易知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | | AO | cos1 , | AC | | AB | cos 2| AO | cos1 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 |AC | | AO | cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以得到： coscos 1cos 2 ,1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 20, （如 22,就由三垂线定理可知
6、,A22 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAAC ,即。与“ AC 是平面内的任意一条直线,且BCAC ,垂足为 C ”不相符）。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易得：coscos 1又, 10, 即可得：12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就可以得到：（ 1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。（ 2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角） 。说明 ： 1如 a,就规定 a 与所成的角是直角。可编辑资料 - - - 欢迎
7、下载精品名师归纳总结2. 如a /或 a,就规定 a 与所成的角为 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 直线和平面所成角的范畴为：090 。4. 直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（coscos 1cos2 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3（如图 4） 已知直线 OA,OB,OC两两所成的角为 60, ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。ABODC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： AOB= AOC OA 在面 OBC内的射影在 BOC的平分线 OD 上,就 AOD 即为 OA 与面 OBC 所
8、成的角, 可知 DOC=30,cos AOC=cos AOD cos DOC ,cos60=cos AOD cos30 cos AOD=3 3 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为3 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例题分析：例 1如图,已知 AB 是平面的一条斜线, B 为斜足, AO, O 为垂足, BC 为内的一条直线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC60 ,OBC45 ,求斜线 AB 和平面所成角。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： AO,由斜线和平面所成角的定义可知,A
9、BO 为 AB 和所成角,O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 coscos 1cos,B2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosABOcoscosABCCBOcos60122 ,cos 45222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAO45 ,即斜线 AB和平面所成角为 45 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2如图,在正方体AC1中,求面对角线A1B 与对角面BB1D1D 所成的角。CD1O1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（法一）连结A1C1 与 B1D1 交于 O ,连结 OB ,A1B1可编辑资料
10、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DD1A1C 1, B1D1A1C 1 ,A1O平面BB1D1D ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1BO 是A1B 与对角面1BB1D1D 所成的角,DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt A1BO 中,A1OA1B , 2A1BO30 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（法二）由法一得A1BO 是A1B 与对角面BB1D1D 所成的角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 cosA1BB1cos 452 , cos22B1 BOB1B6,BO3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
11、师归纳总结 cosA1BOcos cosA1BB12B1BO633,A1BO230 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影,后求斜线与其射影的夹角。另外,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件答应的情形下,用公式coscos 1cos2 求线面角显得更加便利。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等,求AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。A解：过 A 作 AO平面 BCD 于点 O ,连接 CO, BO, DO , ABACAD , O 是正三角形 BCD 的外心,33设四周体的边长为a,就 COa ,CB O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOC90 ,ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角,D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosACO33,所以, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为332如图,已知成的角。PA正方形 ABCD 所在平面,且PPC24, PBPDP6 10 ,求 PC 和平面 ABCD 所BADACBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载