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1、精品名师归纳总结高中数学函数学问点总结1.对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：集合 Ax | ylg x , By | ylg x , C x,y | ylg x , A、B、 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中元素各表示什么？A表示函数 y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形留意借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品名师归纳总结如：集合Ax|x 22 x30 , Bx|ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如BA,就实数 a的值构成的集合为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：1, 0, 1 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显,这里很简洁解出 A=-1,3.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。依据条件,可以得到 a=-1,a=1/3.但是, 这里千万当心,仍有一个 B 为空集的情形,也就是a=0, 不要把它搞遗忘了。3. 留意以下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）集合a1, a2, ,an 的全部子
3、集的个数是2n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要知道它的来历： 如 B为 A的子集, 就对于元素 a1 来说,有 2 种挑选（在或者不在）。同样,对于元素 a2,a3, an , 都有 2 种挑选,所以,总共有 2 n 种挑选, 即集合 A 有 2 n 个子集。当然,我们也要留意到,这 2 n 种情形之中,包含了这 n 个元素全部在何全可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结部不在的情形,故真子集个数为 2 n（2） ）如ABABA, ABB。（3） 德摩根定律：1,非空真子集个数为 2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CU ABCUACU B,
4、CU ABCU ACU B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知关于的取值范畴。x的不等式 axx 250的解集为aM ,如 3M 且5M ,求实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3 5M ,M ,a 353 2a0a 555 2a0a1 ,539 , 25）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意,有时候由集合
5、本身就可以得到大量信息,做题时不要错过。如告可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结诉你函数 fx=ax2+bx+ca0在,1 上单调递减, 在1, 上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就应当立刻知道函数对称轴是x=1. 或者,我说在上 ,也应当立刻可以想到 m, n 实际上就是方程 的 2 个根5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或” ,“且” 和“非”.如pq为真,当且仅当 p、q均为真如pq为真,当且仅当 p、q至少有一个为真如 p为真,当且仅当 p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ）原命
6、题与逆否命题同真、同假。逆命题与否命题同真同假。6、熟识充要条件的性质（高考常常考）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A x |x 满意条件p , B x | x 满意条件q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如。就 p 是q 的充分非必要条件如。就 p 是q 的必要非充分条件如。就 p 是q 的充要条件A B 。 A B 。 A B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如。就 p 是q 的既非充分又非必要条件 _ 。7. 对映射的概念明白吗？映射 f ：A B,是否留意到 A 中元素的任意性和B中与之
7、对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象。）留意映射个数的求法。 如集合 A 中有 m个元素,集合 B 中有 n 个元素,m就从 A 到 B 的映射个数有 n 个。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：如 A1,2,3,4 , B a, b, c。问： A到B 的映射有个, B 到 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的映射有个。 A 到 B 的函数有个,如 A映射有个。 1,2,3,就 A 到B 的一一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
8、迎下载精品名师归纳总结函数 y x 的图象与直线 xa 交点的个数为个。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同。定义域一样 两点必需同时具备9. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：函数 yx 4x2的定义域是（答：0, 22 , 33, 4 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lg x3函数定义域求法：分式中的分母不为零。偶次方根下的数（或式）大于或等于零。 指数式的底数大于零且不等于一。对数式的底数大于零且不等于一
9、,真数大于零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正切函数ytan xxR,且xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余切函数ycot xxR,且xk, k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反三角函数的定义域函数 y arcsinx的定义域是 1, 1,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1,值域是 0,函数 yarctgx的定义域是 R ,值域是. ,函数 y arcctgx的定义域是 R ,值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域。10
10、. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：函数f x的定义域是a, b, ba0 ,就函数Fx f xf x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域是。（答： a,a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数定义域的求法：已知yf x 的定义域为m, n,求 yf g x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域,可由 mg xn 解出 x 的范畴,即为 yf g x的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品名师归纳总结例如 函 数 yf x的 定义 域 为1 ,22, 就 f l o2gx的 定 义 域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由函数 yf x 的定义域为1 ,2 可知：1x222 。所以 yf log 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中有 12log 2 x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 依题意知： 解之,得1logx2 222x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f log 2 x 的定义域为 x |
12、2x411、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到。例 求函数 y= 1 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= x 2 -2x+5 , x-1 ,2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a . yb k+x2 型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b
13、.ybxx 2mxn型 , 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： yx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+x2x+12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c . yx 2m xn2型通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xmxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d.yx 2mxnxn型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x 2x1（ x+1 ）2（ x+1 ）+1 1例： y（ x+1 ）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值
14、域困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y= 3x5x4 值域。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 求函数 y= eex1 , y2sin1 ,11siny2sin1 的值域。1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e x11yye x0e x11y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2
15、sin1| sin| 1y|1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin2y2 sin12 sin11cosyy 1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 siny cos1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4y 2sinx 1y , 即sinx 1y4y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由sinx 1 知1y14y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解不等式,求出y ,就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5例求函数 y
16、= 2log 3x1 （ 2 x10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数, 其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+x1 的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目y如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目。(1) 的取值范畴22例：已x 知2 点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,(2) y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
17、结解:1 令yk,就yk xx22,是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数 y=x22 + x28 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原d 函数可R化d简为得圆心：到直y=线的x距-2离,+R为x半+径8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令y-2 xb,即y2xb0,也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式可以看成数轴上点 P（ x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB上时,y=x-2 +x+8 = AB =10当点 P 在线段 AB的延
18、长线或反向延长线上时, y=x-2 +x+8 AB =10故所求函数的值域为： 10 , +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数 y=x26 x13 +x4x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解 ： 原函 数 可 变 形 为 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y=x 3220 2+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 20 1上式可看成 x 轴上的点 P（x,0）到两定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A（3,2）,B（ -2 , -1 ）的距离之和,由 图 可 知 当 点P为 线 段 与x轴 的
19、 交 点 时 , y min= AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=322221 =43 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求函数的值域为 43 ,+）。注：求两距离之和时,要将函数9 、不等式法利用基本不等式 a+b 2ab , a+b+c3 3abc （a, b, c R ）,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例x 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=xx3-2x：xx+3-2x3 3
20、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公式abc abc 3 3 时,应留意使3 者之和变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 22 x0x=x2113 3 x 21133xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公式a+b+c3abc时,留意使3 者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=xx2 的值域3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2yx3x20 时,1x21
21、11x220yyx2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x20 时,10y2y =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商, 不要犯我当年的错误, 与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品名师归纳总结如： fx1exx,求 f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令tx1,就t0xt 21t 2 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t f xetex 2 11x21 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x。互换 x、y。注明定义域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求函数f x1xx20的反函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：f1 x x1xx1x0）xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
23、总结在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利。请看这个例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2004. 全国理 函数 yx11 x1) 的反函数是（ B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ay=x22x+2 x1By=x22x+2 x 1Cy=x22x x=1.排除选项 C,D. 现在看值域。原函数至于为 y=1, 就反函数定义域为 x=1,答案为 B.我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写 * 书）。思路能不能明白了？14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x
24、 对应原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y, x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称。储存了原先函数的单调性、奇函数性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设yfx 的定义域为A,值域为 C, aA, bC,就fa = bf 1ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 faf1 ba, f f1 bf ab可编辑资料
25、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 04.上海春季高考）已知函数x .f x4log 3 x2 ,就方程f1 x4 的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1 ,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以变形为求f x1f x2 的正负号或者f x1与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
26、名师归纳总结(2) 参照图象：x1x2f x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 fx的图象关于点 a , b 对称,函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间具有相同的单调性。（特例：奇函数）如函数 fx的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的。当 c 0 时,它们是反向变化的。假如函数 f1x ,f2x同向变化,就函数 f1x f2x和它们同向变化。（函数相加）假如正
27、值函数 f1x ,f2x同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化。假如负值函数 f12 与 f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反向变化。（函数相乘）f x 函数 fx与 1在 fx的同号区间里反向变化。如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的。如函数 u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化, 就在 , 上复合函数 yF x 是递减的。（同增异减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 yfx 是严格单调的,就其反函数 xf
28、而且,它们的增减性相同。 1y 也是严格单调的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfgfxfx*gx都x+gx是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求 ylog 12x 22 x的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（设ux 22x,由u0就0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 log 1 u2, ux11,如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uO12x当x0,1
29、 时, u,又 log 1u,y2当x1, 2 时, u,又 log 12u,y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间a,b内,如总有f x0就f x为增函数。（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
30、（令f x3x 2a3 xaxa033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就xa或xa 33由已知f x在 1,上为增函数,就a1,即a3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的最大值为 3）17. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于
31、y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意如下结论：（1） ）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数。两个偶函数的乘积是偶函数。一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2） ）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就 f00。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：如f xa 2xxa2 为奇函数,就实数a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ f x 为奇函数,xR,又 0R,f 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2 0a2即00, a
32、1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：f x为定义在 1,1 上的奇函数,当 x0, 1时, f x2 x,4 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求f x在 1,1 上的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（令x1, 0 ,就x0, 1, f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又f x为奇函数,f x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxx4114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
33、结又 f 0 0 ,f x 2 x4 x1x1 , 0 x0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx20 , 141判定函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇 （偶）函数, 其定义域必关于原点对称, 它是函数为奇（偶） 函数的必要条件 . 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x ,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性.这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f-x1偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx1奇函数f-x三、 复合函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfg x