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1、精品名师归纳总结研 究 生 课 程 论 文2021-2021学年其次学期 蔡氏混沌非线性电路的讨论讨论生： *学号学院电子与信息学院课程编号学位类别老师评语：S0809009硕士课程名称任课老师非线性电路与系统理论* 教授成果评定：分任课老师签名：年 月 日提交日期： 2021 年 8 月 1 日讨论生签名：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结蔡氏混沌非线性电路的讨论*摘要： 本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度讨论非线性 电路中 的 典型 混沌电 路 - 蔡氏电路 。 只要 转变蔡 氏 电路 中 一个 元件的 参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MAT
2、LAB 对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能精确的观看到混沌吸引子的行为特点。关键词： 混沌。蔡氏电路。 MATLAB仿真Abstract ： This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua scircuitwasatypicalchaoscircuit,andtheoreticalanalysisand simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwouldgene
3、rateaslongasonecomponentparameterwasalteredinChua s circuit Onthe platformofMatlab,mathematicalmodelofChuas circuit wereprogrammedand simulatedtorealizethesynchronizationofdualandsinglecochlearvolume Atthe same time,behaviorcharacteristicsof chaos attractor is able to be observed correctlyKey words
4、： chaos phenomenon。 Chua S circuit 。 simulation引言：混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着运算机的快速进展，混沌现象及其应用讨论已成为自然科学技术和社会科学讨论领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不行猜测性。混沌中包蕴着有序，有序的过程中也可能显现混沌。混沌的基本特点是具有对初始条件的敏锐依靠 性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不行猜测性问题而成为20世纪三大重要基础可编辑资料 - - - 欢迎
5、下载精品名师归纳总结科学之一。非线性电路中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，在这个电路中能够观看到混沌吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简洁的自治电路，全部从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过运算机仿真和示波器观看到。经过如干年的讨论及目前对它的分析， 在理论和实践方面不断取得进展，同时人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应上程等方面不断产生新的技术构想，并有期望很快成为现实 1-3 。1 混沌理论的进展与蔡氏电路的显现混沌理论的基本思想起源于20 世纪初，发生于20 世纪 60 岁月后，进展壮大于20 世纪 80 岁月，被认为是继相对论
6、、量子力学之后，人类熟悉世界和改造世界的最富有制造性的科学领域的第三次大革命。混沌理论揭示了有序 与无序的统一，确定性与随机性的统一，简洁性与复杂性的统一，稳固性与不 稳固性的统一，完全性与不完全性的统一，自相像性与非相像性的统一，并成 为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。今日，混沌理论与运算机科学等相结合，使人们对一些久悬未解的难题的讨论取得了突破性进展，在探究、描述及讨论客观世界的复杂性方面发挥了庞大作用。追溯混沌的进展史，可以从Poincare 庞加莱）开头 4：19 世纪末 20世纪初，法国数学家Poincare发觉三体问题与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。在肯定范畴内，其
7、解是随机的，从而使 Poincare可能成为世界上最先明白混沌存在的第一人。20 世纪 20 岁月， G.D.Birkhoff紧跟 Poincare的学术思想，建立了动 力系统理论的两个重要讨论方向：拓扑理论和遍历理论。到1960年前后，非线性科学讨论得到了突飞猛进的进展，A.N.Kolmogorov与 V.I.Arnold及J.Moser深化讨论了 Hamilton系统 或保守系统）中的运动稳固性，得出了闻名的 KAM 定理 即用这三位发觉者的名字命名的定理），KAM 定理揭示了Hamilton系统中 KAM环面的破坏以及为混沌运动奠定了基础。实际上，有关耗散系统中混沌现象的讨论始于20 世
8、纪 60 岁月，美国气象学家 E.N.Lorenz对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时，发觉在某些条件下可显现非周期的无规章行为。这一结果说明了长期天气预报始终没有获得过胜利的内在机理，根本缘由是确定性动力学系统中存在有混沌运动。E.N.Lorenz在得到第一个古怪引子Lorenz吸引子的同时，仍进一步揭示了一系列混沌运动的基本特点。1963 年 E.N.Lorenz 在美国大气科学杂志上发表的文章“确定性的非周期流”，给出了混沌解的第一个例子。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1964 年 M.He non 等人以 KAM 理论 为背景， 发觉 了一
9、个二维不行积Hamilton 系统 中 的 确定 性 随 机行 为， 即 He non 吸 引子 。 D.Ruelle 和F.Takens 提出了古怪吸引子的概念，同时将这一概念引入耗散系统，并于1971年提出了一种新的湍流发生气制，这一工作由J.P.Gollub等人的试验所支持，并对后来的Smale马蹄吸引子的讨论起到了推动作用。美国数学家 Smale创造的马蹄吸引子结构成为混沌经久不衰的形象，特殊是Smale提出的马蹄变换，为20 世纪 70 岁月混沌理论的讨论做了重要的数学预备。1975 年， Maryland 高校的 T.Y.Li 李天岩）和 J.A.York 在美国数学月刊上发表了“
10、 Period Three Implies Chaos” 周期 3 包蕴混沌）的文章，并给出了混沌的一种数学定义，被认为是对混沌的第一次正式表述，现称为 Li-York定义或 Li-York定理， Chaos 一词也自此被正式使用。1976 年， R.M.May 讨论了一维平方映射，并在一篇综述中指出，特别简洁的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。在此基础上，美国物理学家 M.J.Feigenbaum 于 1978 年发觉了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性、收敛速 58 率每次缩小 4.6692 常数倍并具有普适性的发觉及重整化群理论的应用，把混沌讨论从定性分析推动到定量运算阶段
11、，并引入了重整化群思想，这是一个重大的发觉，具有里程碑的意义。进入 20 世纪 80 岁月，混沌讨论已进展成为一个具有明确的讨论对象、特殊的概念体系和方法论框架的学科。随着相关理论的不断完善，有关混沌的研 究也更加深化。F.Takens于 1981 年提出了判定古怪吸引子的试验方法，而P.J.Holmes转述并进展的Melnikov理论分析方法可用于判别二维系统中稳固流形和不稳固流形是否相交，也即判别是否显现混沌。20 世纪 80 岁月初 P.Linsay通过对含变容二极管的二阶非自治电路的讨论，在实际物理系统中验证了Feigenbaum的倍周期分岔通向混沌的理论。Y.Ueda 、L.O.Ch
12、ua等对正弦鼓励下的非自治电路中及R.W.Newcomb 等对自治电路中的混沌现象讨论的报道是电路系统关于混沌的早期讨论。1984年， L.O.Chua提出了闻名的产生双涡卷的三阶自治电路蔡氏电路，并采纳电路试验、运算机模拟、理论分析等多种讨论工具对电路系统中混 沌行为的讨论，给非线性自治电路系统中分岔、混沌现象的讨论供应了一个较 完善的范例。蔡氏电路以一个分段线性负电阻为核心，在不同的参数组合下产 生了极其丰富的分岔与混沌现象，同时，蔡氏电路仍被认为是能产生混沌现象 的三阶自治电路最紧凑、元件数最少的结构。随后的十多年间，有关产生混沌、超混沌的构造与实际电路系统的不断报道，不仅给非线性动力学
13、系统中混沌理论的讨论供应了丰富的资料，也使电路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系统中混沌现象的讨论成为整个混沌理论讨论 中不行缺少的一个重要组成部分。在众多产生混沌、超混沌的电路中，大都是以非线性电阻为核心构成，但也有以非线性动态元件为核心构造的二阶非自治和四阶自治电路中的混沌、超混沌电路的报道。直到目前，有关非线性系统中混沌、混沌产生的机制、产生混沌的系统等仍旧是讨论的热点内容之一。2 混沌现象及其特点混沌是二十世纪最重要的科学发觉之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不行逾越的分界线，将经典力学讨论推动到一个崭新的时代。由于混沌信号是
14、一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在很多领域 如保密通信，自动掌握，传感技术等）得到了广泛的应用 5 。对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，显现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件特别敏锐，这便是非线性电路中的混沌现象。依据 Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：1）存在全部阶的周期轨道。2）存在一个不行数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替显现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道。3）混沌轨道
15、具有高度的不稳固性。可见，周期轨道与混沌运动有亲密关系，表现在两个方面：第一， 在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经受一系列周期制度，然后进入混沌状态。其次， 其次，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳固的周期轨道， 一条混沌轨道中有许很多多或长或短的片段，它们特别靠近这条或那条不稳固的周期轨道。依据文献 67 ，混沌主要特点表现在：1）敏锐依靠于初始条件。2）伸长与折叠。3）具有丰富的层次和自相像结构。4）在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。同时，混沌运动仍具有如下特点：1）存在可数无穷多个稳固的周期轨道。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）存在不行数
16、无穷多个稳固的非周期轨道。3）至少存在一个不稳固的非周期轨道。随着时间的增加，相空间中的轨线或轨道都向某个子集靠近，在靠近过程中不仅有体积的压缩，仍有维数的削减，直至达到最小为止，就该具有最小维数的子集就是吸引子。吸引子只能显现在非保守系统即耗散系统）中，对电路而言，非保守系统就是电路中至少有一个正电阻存在，并且使得电路在某个工作区域内整体上是耗能的。对连续系统而言，吸引子可以在任意阶的系统中显现，但混沌吸引子只可能在三阶或三阶以上的自治系统中显现。混沌吸引子是整体稳固和局部不稳固相结合的产物4 。混沌并不是简洁的无序或纷乱，而是没有明显的周期和对称，但却具备了丰富的内部层次的有序状态。混沌是
17、存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象，混沌并不是一片纷乱，而是有着精致的内在结构，混沌运动具有遍历性、随机性、规律性等特点。混沌运动能在肯定范畴内按其自身的规律不重复的遍历全部状态，因此，用混沌变量进行优化搜寻，无疑会比随机搜寻更具优越 性，特殊是变尺度混沌优化方法在连续系统的优化中具有更大的应用空间。3 分形与混沌对于线性代数方程组或微分方程组，解的数目是肯定的，不随参数的转变而转变。而非线性问题就不然。在非线性动力学系统中，当掌握参数变化到某个临界值时使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔。混沌运动是经过一系列解的突变才发生的，解发生突变的参数值称为分岔点，分岔理论主要讨论非线性方
18、程组解的数目如何在参数变化过程中发生突变。Mandelbrot 最先引入分形的含义，分形是指破裂的、不规章的，整体与局部在某种意义下的对称性的或自相像的集合。一般的，分形Ffractal ） 具有以下性质：1） F 具有精细的结构，即有任意小的细节。2） F 是不规章的，不能用传统的几何语言来描述。3） F 通常有某种自相像的形式，可能是近似的或统计的。中适当选取一个截面，该截面既可以是平面也可以是曲面，连续的动力学轨道与该截面相交，通过观看交点的特点即可分析运动的形式和特点。详细表现为： 1）周期运动在此截面上留下有限个离散的点。2 ）准周期运动在截面上留下一条闭合曲线。 i=1,2,3,M
19、Xi Rm 指时间推迟 ， m 2d+1,d为系统自变量的个数，M 小于 N，并与 N 有相同的数量级。相空间重构是相图分析、分维和Lyapunov指数运算的关键。重构相空间的关键在于嵌入空间维数m和时间推迟 的挑选。3） 功率谱分析法： Welch所提出的功率谱运算方法说明，频率为f的周期系统的功率谱在频率为f及高次谐波 2f,3f,处有 函数形式的尖峰。每个尖峰的高度指示了相应频率的振动强度。特殊是当发生分岔时，功率谱将改变它的特点，对于混沌系统，功率谱上会显现宽带的噪声背景。4） 关联维数：混沌体系是由古怪吸引子的不规章轨线来描述的，古怪吸引子为分形结构，分维数可对吸引子的几何特点及集于
20、吸引子上的轨道随时间的演化情形进行数量上的描述，因而可对吸引子的混沌程度进一步细分。分维数有多种定义，其中 Grassberger 和 Procaccia 在 1983 年提出了一种易于从试验数据中提取分维数即关联维数的算法，此后关联维数作为混沌行为的测量参数得到了广泛应用。详细运算公式参阅文献 727384 。5） Lyapunov李雅普诺夫 指数：对于n 维相空间中的连续动力学系统， 考察一个无穷小n 维球面的长时间演化，其第i个李雅普诺夫指数按椭球主轴长度 pit定义为：上式说明李雅普诺夫指数的大小说明相空间中相近轨道的平均收敛或发散的指可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数
21、率。一般说来，具有正和零李雅普诺夫指数的方向，都对吸引子起支撑作 用，负李雅普诺夫指数对应着收敛方向，这两种因素对抗的结果就是伸缩与折叠操作，形成古怪吸引子的空间几何外形。最大李雅普诺夫指数打算轨道掩盖整个吸引子的快慢，最小李雅普诺夫指数打算轨道收缩的快慢，全部李雅普诺夫指数之和表征轨道总的平均发散快慢。任何吸引子必定有一个李雅普诺夫指数是负的，对于混沌必定有一个李雅普诺夫指数是正的，具有两个或两个以上的正李雅普诺夫指数的混沌吸引子称为超混沌吸引子或超混沌。因此，由系统的李雅普诺夫指数，便可以判定系统是否处于混沌状态。运算李雅普诺夫指数的方法有 Kaplan-Yorke法、差分方程法，微分方程
22、法、长度演化法和面积演化法，在此不一一介绍。对于二维系统，其分维数与李雅普诺夫指数的关系为：d=1- 1/ 26） 测度熵：熵是系统无序程度的量度。1958 年 Kolmogorov对测度熵K 给出了明确定义 ，指 出系统 全部正 的李雅 普诺 夫指数之和 是测 度熵K 的上界，因此，由测 度熵K 值的大小 ， 可以区 分规章运动、混 沌运动 和随机 运动。7） KAM 定律： KAM 定律条件不满意时，KAM 环面的破裂会导致显著的混沌行为。8） 中心流定形定律：如稳固形和不稳固流形相交，就会存在Smale意义下的混沌。5 蔡氏电路的工作原理1983 年 ， 美 籍 华 裔 科 学 家 蔡少
23、 棠 教 授 首次 提 出 了 著 名 的 蔡 氏 电 路chua s circuit 。它是历史上第一例用电子电路来证明混沌现象的电路， 也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简洁的电路之通过转变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等特别丰富的混沌现象1-39-11 。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已环绕它开展了混沌机理的探究、混沌在保密通信中的应用讨论，并取得了一系列丰硕的成果。图1a 是蔡氏电路的电路 拓扑 图， 它是 一个三阶电路， 有两个电容 、一 个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件
24、N。它的伏一安特性曲线如图1b 所示，是一个分段线性函数，中间一段出现负电阻的特点，它可以用开关电源等电子电路来实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图 1 可以推导出电路的状态方程如下：其中函数 guc1 是分段线性函数，其形式为：蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采纳多种方式实现。一种较简单的实现，它相当于两个非线性电阻RN1 和RN2 的并联。图 2给出RN1 和RN2 的电路及其伏安特性。适当选取电阻参数值使E2 远大 E1，也远大于蔡氏电路工作时uc 1 的变化范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围，就在电路的工作范畴内，RN2 是一个线性负电
25、阻，RN1 和 RN2 并联后可实现图 l中非线性电阻 RN 的伏安特性，其中：式可表示为如下形式当电阻 R 满意肯定条件时，电路有Q1、Q2、Q3 这 3 个平稳点。平稳点分别为：调剂 R，可转变平稳点的位置及平稳点处系统的特点值。当电路的平稳点是满意肯定条件的鞍焦平稳点时，系统有可能产生混沌。3式5 中： k=b-a b+1 ， a 与 b 不为一 l 。由式 5 可将状态空间 R 分为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 个子空间 D1 、D0、D- 1 在每一个子空间内，方程4 均是线性的，其Jacobi矩阵为：时，在式在式 5 表示的三个区域中，M的特点值都具有负的实部
26、，此时，平 衡点渐进稳固，电路不发生振荡。假如保证ab6 蔡氏电路的 Matlab仿真取 x=0.2 ,y=0.1 ,z=0.3作为系统的初始值 , 在 t=0,300的时间范畴内求解系统的运动轨迹，其平面投影相图准时域波形如下:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 3 x-y-z立体相图图 4 x时域波形图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 5 y时域波形图图 6 z时域波形图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 7 x-y平面相图图 8 x-z平面相图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 9 y-z平面相图x y z,x y， x
27、z ， y z 的相图分别如图 3 ，图 7 ，图 8，图 9所示，其中二维的相平面图是三维的相图在某个特定坐标轴上的投影。从仿真结果图可以，蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统，这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象。转变参数和初值，仍可以产生其它很多好玩的混沌现象。混沌系统的数学模型通过软件 Matlab 来实现仿真。仿真说明：在相同的混沌行为预期下，仿真试验与真实试验的参数范畴可能会有一些差别，但是，就总体而言，仿真试验与真实试验有较好的对等性，而且仿真试验更简洁实现预期的混沌行为，更能精确的观测到混沌吸引子的行为特点。仿真仍说明：在仿真试验过程中能精确
28、掌握系统的参数。与此相反，在真实试验中，系统的一些参数存在不行精确掌握和漂移等特性，由此产生的随机性和混沌现象混合在一起，影响了对混沌本质的讨论。仿真试验可以有效的防止这一问题，在混沌掌握和混沌同步等应用讨论领域，可对系统的稳固性和鲁棒性等问题进行较为精确的量化分析。7 结语从理论分析与仿真试验两个角度综合讨论蔡氏电路的混沌行为。对三阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结蔡氏电路进行分析，在Matlab的平台上进行数值仿真，观看到了混沌现象， 加深了对蔡氏电路系统混沌现象的懂得。蔡氏电路所代表的非线性动力学系统 的确是混沌系统 , 该系统具有丰富的混沌动力学行为。仿真结果印证了震荡
29、过程中显现的双涡卷混沌古怪吸引子24。利用系统平稳点处的线性化矩阵，可以定性分析系统的动力学行为，以便查找能使系统产生混沌的参数。蔡氏电路是一个结构特别简洁而又牢靠的混沌电路，且有着丰富复杂的混沌动力学特点。只要转变其中任何一个元件的参数，就可产生多种类型的分叉和混沌现象。利用Pecora和 Carroll等人提出的方法进行蔡氏电路的试验， 就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步。讨论结果说明在相同的混沌行为下，仿真试验与理论分析结论特别吻合，仿真试验能精确的观看到混沌吸引子的行为特点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考文献1 冯久超 , 陈宏滨 . 蔡氏电路的仿真讨论J.华北航
30、天工业学院学报，2005 ， 15 增刊） :81-842 叶昕 , 张茂青 , 周纯 . 蔡氏电路的仿真讨论J.电工电气 ,2021， 4 ： 48-513 冉立新陈抗生蔡氏电路混沌信号频谱分布特点及其在电路设计中的应用J电路与系统学报 1998,3:509-5129 蒋国平 ,程艳云蔡氏混沌非线性电路及其频率特性讨论J.电气电子教案学报2002,245）： 5-710 张建忠用 Matlab数值模拟非线性电路混沌试验J.试验技术与治理2007,2411）： 86-9111 刘昕李保权基于 MATLAB 的非线性电路的数值模拟J.软件时空 2021,24 dy=zeros3,1。a=-1.2
31、7。b=-0.65。bp=1.0。alfa=10.0。beta=14.87。dy1=alfa*y2-y1-b*y1+0.5*a-b*absy1+bp-absy1-bp。dy2=y1-y2+y3。dy3=-beta*y2。set0,RecursionLimit,2000clear all。T,Y=ode45chua,0,300,0.2,0.1,0.3。figure1。plot3Y:,1,Y:,2,Y:,3,-。xlabelx。ylabely。zlabelz。titlex-y-z立体相图 。figure2plotT,Y:,1,-。xlabelt/s。ylabelx。titlex时域波形 。figure3plotT,Y:,2,-。xlabelt/s。ylabely。titley时域波形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结figure4plotT,Y:,3,-。xlabelt/s。ylabelz。titlez时域波形 。figure5plotY:,1,Y:,2,-xlabelx。ylabely。titlex-y平面相图。figure6plotY:,1,Y:,3,-xlabelx。ylabelz。titlex-z平面相图。figure7plotY:,2,Y:,3,-xlabely。ylabelz。titley-z平面相图。可编辑资料 - - - 欢迎下载