解三角形题型展示.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载第 9 讲正弦定理和余弦定理考向一利用正弦定懂得三角形1 人教 A 版教材习题改编 在 ABC中， A60， B75， a 10，就 c 等于 A 52B 102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结106C.3D 56可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由 A B C180，知C45，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理得：asincAC sin，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 10 c . c32221063sinA

2、cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 ABC中，如，就 B 的值为 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A30B45C60D90解析由正弦定理知：BAsinAcosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin sin， sinB cosB， B45.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案B3 2021 北京 在 ABC中，如 b 5， B，tan A2，就 sin A 。a .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由于 ABC中， tanA2，所以 A 是锐角，sinA22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

3、师归纳总结且cos 2， sinAA cos25A 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立解得sinA5，BAab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由正弦定理得sin sin，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入数据解得a 210.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25答案5210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4在 ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 a ，b3 0 ， A45，就满意此条件的三角形个数是A0B1C2D很多个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a解 析 ： 直 接 根

4、 据 正 弦 定 理 可 得bbsinA， 可 得sinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3sin 45 6sinAsinBa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： A2 1，没有意义，故满意条件的三角形的个数为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 以下判定中正确选项（）A. ABC中， a=7， b=14，A=30 , 有两解B. ABC中， a=30,b=25,A=150 ，有一解C. ABC中， a=6,b=9 ， A=45，有两解D. ABC中， b=9,c=10,B=60 , 无解1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学

5、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载答案B6. 资 料 P180 例 1考向二利用余弦定懂得三角形1已知 a，b，c 是 ABC三边之长，如满意等式 abc abc ab，就角 C 的大小为 A60B90C120D150解析由 abc abc ab，得 ab 2c2ab， c2a2b2aba2b2 2abcos C，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cos

6、C答案C1C，120.2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（ 2021福建，10）在 ABC中, 角 A、B、C 的对边分别为a、b、c ，如（a就角 B 的值为 +c -b）tanB=3 ac，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. B.63C.或65D.或 2633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案D32021 咸宁月考 已知 a、b、c 分别是 ABC 中角 A、B、C 的对边，且a2 c2 b2 ac. 1 求 角 B 的 大 小 。 2如 c 3a，求 tan A 的值例 2解1 a2 c2 b2 ac，可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结 cos B2 c2 b2a1 .2ac2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 0B， B 32方法一将 c 3a 代入 a2 c2 b2 ac，得 b7a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理，得cos A 0Aa， BA， cos A1sin2A 57.14 tan A sin A 3cos A5 .方法三 c 3a，由正弦定理，得sin C 3sin A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 B， C AB 323 A，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sin 3 A 3sin A，2可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载sin223 cos A cos 3 sin A 3sin A，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 cos A1sin A 3sin A， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5sin A3cos A， tan A sin A 3cos A5 .24.在 ABC 中，

9、a、b、c 分别为 A、B、C 的对边， B 3 ， b13， a c 4，求 a.变式迁移 2解由余弦定理得，b2 a2 c2 2accos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2 c222accos 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2 c2 ac a c2ac.又 a c 4， b13， ac 3，a c 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立ac 3，解得 a 1， c3，或 a3， c 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 等于 1 或 3.5在 ABC中， sin 2 Asin 2 Bsin 2 CsinBs

10、inC，就 A 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 0， 6B.6 ，C.0，3 D.3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由已知及正弦定理有a2 b2 c2 bc，而由余弦定理可知a2 b2 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bccosA，于是可得 b2 c2 2bccosA b2 c2bc，可得 cos A ABC中， 0A ，故 A 0， 3.考向三面积问题1. 在 ABC中， A=60 ,AB=5,BC=7, 就 ABC的面积为.1，留意到在2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案10 32. （ 2

11、021广东五校联考）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c ，已知 a+b=5，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2c=7 ，且 4sinAB2-cos2C= 7 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求角 C的大小。（2）求 ABC的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 （ 1） A+B+C=180 , 由 4sin 2 AB -cos2C= 7 , 得 4cos 2 C -cos2C= 7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 1cosC -2c

12、os 2C-1= 7 , 整理 , 得 4cos 2C-4cosC+1=0, 解得 cosC= 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222 0 C180 , C=60 .222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由余弦定理得c=a +b -2abcosC, 即 7=a +b -ab, 7=a+b-3ab ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由条件 a+b=5, 得 7=25-3ab,ab=6, SABC= 1 absinC=21 623 = 3 3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精

13、品名师归纳总结2 A3. 已知 A，B， C 为 ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b， c，且 2cos2cosA0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求角 A的值。(2) 如 a 23， bc 4，求 ABC的面积3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

14、总结解1 由 2cos2 A2 cos A 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 1 cosA cosA 0，1即 cosA ，220 A ， A 3 .2 由余弦定理得，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba2 2222bccos A， A 2 ，c32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 a b c bc，2又 a 23， b c4， 有 12 4 bc，就 bc4，4.2007 上海文、理 在 ABC 中， a，b， c 分别是三个内角A，B，C 的对边如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 ,C ， cos B25 ，求AB

15、C 的面积 S 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结425可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 解：由题意，得cosB3 ， B 为锐角，5sin B4 ，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin BC sin3 B72 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理得c10 ，S1 ac4sin B10121048可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7227575 2021 全国卷文 设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为a， b，c ，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a cosB3，

16、b sin A4 （ ）求边长 a 。 （ ）如 ABC 的面积 S10 ，求 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的周长 l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 解：（ 1）由bsin A4 与 a cosB3两式相除，有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4b sin A3a cosBsin AabcosBsin BbbcosBsin B，又cosBsin 2 Bcos2 B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a cosB3 知： cosB0 ， 所以cos B3 ， sin B4 ，55可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品名师归纳总结3所以a53 ，解得 a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）由 S1 ac sin2B = 15c 24 =10，得到 c5 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理， 得 b 2a 2c 22ac cos B25252553520 ，解得： b25 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， ABC 的周长l1025可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考向四：三角形的外形判定1. 在 ABC中，如 2cosBsinA=sinC,就 ABC肯定是（）A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D. 等边三角形

18、答案B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在 ABC中，如acosbA coscB cos。就 ABC是 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析由正弦定理得a 2RsinA， b2RsinB，c 2Rs

19、inC R 为 ABC外接圆半径 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAsinBsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCA coscoscos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 tanAtanB tanC， A B C.答案B3. 已知 ABC 的三个内角A、 B、C 的对边分别为a、b、c ，如a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0, 求角 B 的大小并判定ABC的外形 .2解方法一 2cos2B-8cosB+5=0, 22cosB-1-8cosB+5=0.2 4cos B-8cosB+3=0,即 2cosB-12co

20、sB-3=0.解得 cosB= 1 或 cosB= 3 （舍去） . cosB= 1 . 0 B, B=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222acba2c23 ac 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a， b， c 成等差数列，a+c=2b. cosB=2ac=，2ac2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得 a +c-2ac=0, 解得 a=c. 又 B=3， ABC是等边三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二 2cos2B-8cosB+5=0 ， 2（

21、 2cos 2B-1 ） -8cosB+5=0.2 4cos B-8cosB+3=0，即 2cosB-12cosB-3=0.解得 cosB= 1 或 cosB= 3 （舍去） . cosB= 1 , 0 B, B=,2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a,b,c成等差数列，a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinA+sin2A =3 ， sinA+sin32cos A -cos32 sin A =3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得3 sinA+23 c

22、osA=3 , sin2A=1.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A+=, A=, C=, ABC为等边三角形 .6233考向五：正弦余弦定理的综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在 ABC中，a : b : c3 : 5 : 7 ，就 ABC的最大角是 120 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 bsinA=3 acosB.（ 1）求角 B 的大小。（ 2）如 b=3，sinC=2sinA ，求 a，c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3在 ABC

23、中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知sinCcosA 2cos Ccos B2cab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A(1) 求sin的值。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，(2) 如 cosB14ABC的周长为 5，求 b 的长可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析1 由正弦定理，设abck，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAsinBsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ca就b2ksinCksinA ksinB2sinC sinAsinB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosA 2cos C所以cos B2sinCsinA sinB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即cosA2cos CsinB2sinCsinAcosB， 化简可得 sin AB 2sin BC 又 ABC，Asin所以 sinC2sinA，因此 sinC2.可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinCA2 由sin2 得 c 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得由余弦定理及 cosB14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2 a2 c22accosB a2 4a24a2 14a2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 b2a. 又 ab c 5. 从而 a1，因此 b2.4.在 ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为a， b， c，且满意cos A25 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1求 ABC 的面积。2如 b c 6，求 a 的值ABAC=3.25可编辑资

26、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 解1 由于A25，cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25所 以 cos A2cos2A 13sin A 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分又由 ，.4255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAC 3 得 bccos A 3，所以 bc 5，因此S ABC 1bcsin A 2.82分2由1 知， bc 5，又 b c 6，由余弦定理， 得 a2 b2 c2 2bccos A b c2 16bc20，所以 a 25.12 分5可编辑资料 - - -

27、欢迎下载精品名师归纳总结5. 设 ABC的内角 A， B， C 所对的边长分别为a， b， c，且 cos B(1) 当 A30时，求a 的值。(2) 当 ABC的面积为3 时，求 a c 的值4， b 2.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1 由于 cosB43，所以 sinB . 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理5asinbAsina10B，可得 sin 30 3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 a .36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6

28、 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载2 由于 ABC的面积 S 1acsinB，sinB32 ，53所以ac 3， ac 10.10222由余弦定理得b a c 2accosB，22822222得 4 a c 5ac a c 16，即 a c 20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a c22ac 20， a c 40.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a c210.第 10 讲正弦定理、余弦定

29、理应用举例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考向一测量距离问题【例 1】 人教 A 版教材习题改编 如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC的距离为50 m， ACB45， CAB105后，就可以运算出 A， B 两点的距离为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 502 m B 503 m C 252 m D.2522m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由正弦定理得ABsin AC sin，又 B30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACsin ACBACBB5022可编辑资料 - -

30、- 欢迎下载精品名师归纳总结AB答案AsinB1 502m 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. .如下列图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出 CD a 和 ACD60，BCD30， BDC105， ADC60，试求AB的长 审题视点 在 BCD中，求出BC，在 ABC中，求出AB.解在 ACD中，已知CD a， ACD60， ADC60，所以AC a. BCD30，BDC105 CBD45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BCD中，由正弦定理可得BCasin 105 sin 45 3 12a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

31、品名师归纳总结在 ABC中，已经求得AC和 BC，又由于 ACB30，所以利用余弦定理可以求得A， B 两222点之间的距离为ABACBC 2ACBCcos 30 2 a.3在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是 50，且到 A 的距离为 2，C 点的俯角为 70，且到 A 的距离为 3，就 B、C 间的距离为 A.16B.177可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

32、 - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载C.18D.19解析：因 BAC120， AB2，AC3. BC2 AB2 AC22AB ACcosBAC 4 9223cos 120 19. BC19.答案： D4如下列图，为了测量某障碍物两侧A，B 间的距离，给定以下四组数据，不能确定 A，B 间距离的是 A ，a，bB， ，aCa，b，D， ，b解析选项 B 中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB. 选项 C 中可由余弦定理确定 AB. 选项 D同 B 类似，应选 A.答案A考向二测量高度问题【例 2】.如图，山脚下有一小塔AB，在塔底 B 测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶 A 的俯角为 45，已知塔高AB 20 m，求山高CD. 审题视点 过点 C作 CE DB，延长 BA交 CE于点 E，在 AEC中建立关系解如图，设CD x m，就 AE x20 m，CDtan 60 ，BD可编辑资料 - -