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1、精品名师归纳总结2.1 极限概念第 2 章 导数与微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论函数是利用极限的方法来进行。极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例 1 圆的周长的求法 . 早在公元 263 年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，明显随着边数的增加，正多边形 的边长将无限趋近圆的周长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 争论当 x时，1 的变化趋势 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 争论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。“一尺之棰，日截其半，万世不
2、竭”庄子.天下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 2.3 设函数f x 在点x0 的邻域（点x0 可以除外）内有定义，假如当x无限趋于 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（但 xx0 ）时，f x 无限趋近于某个常数A ，就称 x 趋于x0 时，f x 以 A 为极限，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记为limf xA或 f xA xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如自变量
3、 x 趋于x0 时，函数f x 没有一个固定的变化趋势，就称函数f x 在 x0 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有极限 .在懂得极限定义时要留意两个细节：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. xx0 时，（ xx0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. xxxx0 0xx0 x0（包括这两种情形）x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 争论 yx2 时,lim x2 =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2解
4、：求极限时，可以利用极限的概念和直观的明白，我们可以借助几何图形来求函数的极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结限. 由几何图形可以看出，当x2 时， yx24 ，即lim x 2 =4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x21x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2争论函数y, 当 x1 时的极限 lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x 1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：此函数在xx 21 处没有定义，可以借助图形求极限. 由1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形得到lim2可编
5、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x12.1.3 左极限和右极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑函数 y处无定义 .x ，依照极限的定义，不能考虑x0 的极限 .由于 yx 在 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如函数f xxx01x0，假如争论 x0 是的极限，就函数分别在x0 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 时不是同一个表达式，必需分别考虑. 由此引出左右极限的概念.定义 2.4设函数 f x 在点 x0 的邻域（ x0 点可以除外）内有定义，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如当 xx0 且 x
6、 无限于 x0 （即 x 从 x0 的左侧趋于 x0 ，记为 xx0 ）时，函数 f x 无可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结限的趋近于常数 L，就称当 x 趋于 x0 时， f x 以 L 为左极限 ，记作= L 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如当 xx0 且 x 无限趋于 x0 （即 x 从 x0 的右侧趋于 x0 ，记为 xx0 ）时，函数 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结无限的趋近于常数R，就称当 x 趋于 x0 时， f x 以 R为右极限 ，记作= R .极限存在的充分必要条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
7、结极限 limf x 存在的充分必要条件是：函数f x 在 x0处的左，右极限都存在且相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即例 3f xxx0 ,求 limf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x0x0解：留意到此函数当x=0 的两侧表达式是不同，在0 点处分别求左、右极限 .limf xlim 11 ， limf xlim x0x0x0x0x0可见左右极限都存在但不相等。由几何图形易见, 由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0 点处极限不存在 .2.1.4
8、 无穷小量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf x0 称当 xx0 时，f x 为无穷小量，简称无穷小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0补充内容：无穷小量是一个特别的变量，它与有极限变量的关系是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变量 y 以为 A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成 A 与一个无穷小量的和，即lim yAyAlim0无穷小量的有以下性质：性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量。性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.无穷大量：在某个变化过程中，肯定值无限增大且可以大于任意
9、给定的正实数的变量称为无穷大量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如由于lim 2 x x，所以，当 x时，2 x 是无穷大量 . 无穷小量与无穷大量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有如下“倒数关系”：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理： 当 xx0 （或 x）时，如f x 是无穷小（而f x0 ），就1f x是无穷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大。反之，如f x是无穷大，就是无穷小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
10、总结22例 4yx ，当 x0 时， x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由图形可知，当 x2.2 极限的运算0 时， x20 ，当 x0 时，x 是无穷小量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2.1 极限的四就运算法就在某个变化过程中，变量u , v 分别以A, B 为极限，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim uv例 1 求 lim x2lim ulim vAB ， lim u vlim ulim vA B可编辑资料 - - - 欢
11、迎下载精品名师归纳总结x2解： lim x2lim x xlim xlim x224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x2x2x22例 2 求 lim x1x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 21解： lim xlim1 x1 x1lim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1x1x1x 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 求 limxx 213x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解： limx1limx 2 11 x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3xxxx2
12、31 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 求 limx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： limx11lim x11x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx11lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0 xx11x0x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.2.2 两个重要极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. limsin x1可编辑资料 - - - 欢
13、迎下载精品名师归纳总结x0x几何说明： 如图，设 x 为单位圆的圆心角，就x 对应的小三角形的面积为sin x ， x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应的扇形的面积为x ， x 对应的大三角形的面积为2tan x当 x20 时，它们的面积都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结趋于 0 的 ，即之比的极限是趋于1 的.sin 3 x例 1limx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： limsin 3 x= lim3sin 3 x3 limsin 3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x1 xx03x1x03x可编辑资料 -
14、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. lim 1e lim 1x xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx例 2求极限xlim 1x01 x3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: lim 1x1 x3x113xlim 13x3 xlim 1x111 3 x 3e33x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3求极限lim 112x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 lim 112
15、x xlim 12x1 22 x lim 12x12 x 2e 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x02.3 函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 设函数f x 在点x0 的邻域内有定义，如满意limf xf x0 ，就称函数f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在点 x0 处连续 . 点x0 是f x 的连续点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数间断、间断点的概念假如函数 f x 在点 x0 处不连续，就称 f x 在点 x0 处发生间断. 使 f x
16、 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3间断的点 x0 ，称为 f x 的间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如 函数 yx2 , yx ， ysinx, ycos x ， yln x, yex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在定义域内都是连续的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 f xx1x12x3x1, 问 fx 在 x1处是否连续？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：此函数是分段函数，x1 是函数的分段点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
17、纳总结解: limf xlim 2 x31 ， lim f xlim x12x1x1x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf x 不存在，f x 在 x1 处是间断的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2yx sin 1x0x0x0, 问 f x 在 x0 处是否连续？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:lim f xlim xsin 10f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品名师归纳总结（无穷小量有界变量=无穷小量）f x 在 x0处是连续的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论 : （ 1）基本初等函数在其定义域内是连续的。（2） 连续函数的四就运算、复合运算在其有定义处连续。（3） 初等函数在其定义区间内是连续的.2x例 3 lim e1xx0cos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22202解:lim e1xe10112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0cos xex1x 2cos 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2留意：cos x是初等函数，在 x0 处有定义，利用可编辑资料
19、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论有极限值等于函数值.2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念.三个引例边际成本问题瞬时速率问题曲线切线问题引例 1：边际成本问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C总成本， q 总产量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 CC q,当q0q0q时 （当自变量产生转变量，相应的函数也产生转变量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CqCq0q ），C q0qC q0 q（成本平均变化率），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
20、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结limq0Cq 0qCq 0 q（边际成本）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引例 2:瞬时速率问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结路程 S 是时间 t 的函数St，当 t 从 t 0t 0t 时，St 从 St 0 St0t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结St0tSt 0 t（平均速率）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limSt0t) St 0 （在 t 0 时刻的瞬时速率）可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品名师归纳总结t0t引例 3： 曲线切线问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑曲线 yf x 在 xx0 处的切线斜率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0x0x 时，对应的 y0y0y，曲线上 x0 ,f x0 和 x0x, f x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两点间割线的斜率为tanf x0xfxx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当x0 时），tanlimta
22、nlimf x0xf x0 称为切线的斜率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C qlimq0C q 0qCq0 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Stlimt0St 0t St0 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xlimf x0xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x关于函数 yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0x ， f x0 f
23、x0x ，考虑极限limx0f x0xfxx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 设函数 yf x在点x0 的邻域内有定义，当自变量x 在点x0 处取得转变量x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，函数 y 取得相应的转变量 .yf x0yxf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如当x0 时，两个转变量之比的极限x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ylimlimf x0xf x0 存在，就称函数yf x 在点x0 处可导 ，并称此
24、极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值为 yf x 在点x 处的 导数 ， 记为 f x 或 y或dfdy00或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f x0 = limx000f x0xf x0 xx x0dx x xdx x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如极限不存在，就称函数yf x在点x0 处不行导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在懂得导数定义时要留意：导数也是逐点争论的.导数定义的意义 数量意义变化率 经济意义
25、边际成本 几何意义切线的斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 yf xx2 ，求 f1 , f3 , f 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：先求f x ，再求f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于f xx 2,f xxxx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0lim xxx 2x 2可编辑资
26、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x02 x xx x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x02x所以 f xx x2 2x ，f （1）2， f（3）6， f （ 2）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2gxln x ，求g 10, g0.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由于g xln x,g xxln xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limg xxgx可编辑
27、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0limx0xln xx xln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx0limx01 ln x xln xxxx1x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln lim（ x1 1xxx）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x0xln ex1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 g101 , g100.521可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数公式求导步骤ln xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、求f
28、 x 。 2 、求f x.xx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 微分的概念f x 是f x 的导函数，函数在x0 处的导数值f x0f x x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yfx，导数 dydxdf xy dxf x ，两边同乘dx ，得到函数的微分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分 dydf xy dxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数公式c0sin xcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x ln xx1 cos x 1a x xsin xa x ln ax可编辑资料
29、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分公式由导数公式可以得到微分公式xe e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x1dx x1dxln x1 xd ln x1 dx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xcos xdsin xcos xdxcos xsin xd cos xsinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax a x ln adax ax ln adx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.5 导数的运算可编辑资料 -
30、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数的加法法就设 ux, v x 在点 x处可导，就u xv x 在点 x 处可导亦可导，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uxv xu xv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cv xcv x （ c 为常数）加法公式证明u xv xu xv x证：设f xu xv x ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xxu xxv xx ，f xu xvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xuxv xlimx0f xxfx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limu xxv xxu xvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim uxxuxv xxv x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limu