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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何学问点归纳总结一对一授课教案学员姓名 :年级 :所授科目 :上课时间 :年月日时分至时分共小时老师签名同学签名教学主题上次作业检查空间向量与立体几何本次上课表现本次作业一.学问要点。1、 空间向量的 概念 :在空间 ,我们把具有大小与方向的量叫做向量。注:1 向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。2 向量具有 平移不变性2、 空间向量的 运算 。定义 : 与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
2、uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律 :加法交换律: abba加法结合律: ab cabc 数乘安排律: ab ab运算法就 :三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3、 共线向量。1 假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a / b 。2 共线向量定理:空间任意两个向量a 、 b b 0 , a / b 存在实数,使 a b 。3 三点共线 :A 、B 、C 三点共线 ABAC可编
3、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 与 a 共线的单位向量为aa OCxOAyOB其中xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 共面对量1 定义 :一般的 ,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明 : 空间任意的 两向量都就是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 共面对量定理:假如两个向量a , b 不共线 , p 与向量 a ,b共面的条件就是存在实数x, y 使 pxayb 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3四点共面 :如 A 、B、C、P 四点共面 A
4、Px ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OPxOAy OBzOC 其中 xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 空间向量基本定理:假如三个向量a, b ,c 不共面 ,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有序实数组x, y, z ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrpxaybzc 。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - -
5、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r r rr 空间向量与立体几何学问点归纳r总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面 ,我们把rr a , b, c 叫做空间的一个基底 ,rra, b, c 叫做基向量 ,空间任意三个不共面的向量都可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以构成空间的一个基底。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推 论 : 设 O, A, B, C 就
6、是 不 共 面 的 四 点 , 就 对 空 间 任 一 点 P , 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数x, y, z , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuur OPxOAyOBzOC 。6、 空间向量的直角坐标系:1 空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一点A ,存在唯独的有序实数组 x, y, z ,使 OAxiyizk ,有序实数组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x, y, z叫作向量A 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标 ,记作Ax, y, z, x 叫横坐标 , y 叫纵坐标 , z
7、叫竖坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注:点 Ax,y,z 关于 x 轴的 的对称点为 x,-y,-z, 关于 xoy 平面的对称点为x,y,-z 、即点关于什么轴/平面对称 ,什么坐标不变 ,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为0,y,0,在平面 yOz 中的点设为 0,yr,zrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位 正交基底 ,用 i ,j , k表示。空间中任一向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axiy jzk =x,y,zr3 空间向量的直 角坐标运算律:rrr可编辑
8、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 aa1, a2 ,a3 , bb1, b2 , b3 ,就 aba1b1, a2b2, a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrab a1rrb1, a2b2 , a3rb3 ,aa1,a2 ,a3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1 rra2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1rrb1, a2b2 ,a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 。uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
9、总结如 A x1,y1 , z1 , Bx2 , y2 , z2 ,就 AB x2x1 , y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定比分点公式:如A x1,y1, z1 ,B x2 , y2 , z2 ,APPB,就点P坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1x2 , y1y2 , z1z2 。推导 :设 Px,y,z 就 xx yy , zz xx, yy, zz,P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
10、总结111x1x2y1y2z1z21,11222明显 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 AB 中点时 , P,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中， A（x1, y1, z1）, B x2, y2, z2 ,C x3, y3, z3 ,三角形重心P坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1x23x3 , y1y22y3 , z1z22z3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC的五心 :内心 P: 内切圆的圆心 , 角平分线的交点。AP AB ABAC AC 单位向量 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
11、纳总结外心 P: 外接圆的圆心 , 中垂线的交点。PAPBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P: 高的交点 : PAPBPAPCPBPC 移项 , 内积为 0, 就垂直 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何学问点归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
12、品名师归纳总结重心 P: 中线的交点 , 三等分点 中位线比 AP中心 : 正三角形的全部心的合一。1 AB3AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r4 模长公式 :如 ar a1 , a2 , a3 , bb1 ,b2 , b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr222rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 | a |aaa1a2a3r r, | b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 夹角公式 :cosr ra ba brra1b1a2 b2a3b3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
13、纳总结| a | |b |222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC中AB . AC0 A为锐角 AB . AC0 A 为钝角 , 钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 两点间的距离公式:如 Ax1, y1 , z1 uuuruuur 2, B x2 , y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 | AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ,212121或 d xx 2 yy 2 zz 2A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
14、归纳总结7、 空间向量的数量积。rruuurruuurrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a, b ,在空间任取一点O ,作 OAa, OBb,就AOB 叫做向量a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2与 b 的夹角 ,记作a, b;且规定 0a , b,明显有a ,bb , a; 如a ,b, 就称 a 与 b相互垂直 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 : ab 。uuurru
15、uurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 向量的模 :设 OAa ,就有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模 ,记作 : | ar | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 向 量 的 数 量 积 : 已 知 向 量a, b, 就 | a | b| cosa,b叫 做 a , b的 数 量 积 , 记 作 a b, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrab| a | |b | cosa,b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 空间向量数量积的性质:
16、rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrr。abab0 。r2rr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ae| a | cosa, e| a |aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 空间向量数量积运算律:rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrr。 abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab a b ab 交换律 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrr abc a bac 安排律 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 不满意 乘法结合率 : a二.空间向量
17、与立体几何bcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直 共面与异面 两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO3 线 线夹角共面与异面 0,90两线的方向向量n1 , n 2的夹角或夹角的补角, coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-1 线面夹角 0 O ,90O :求线面夹角的步骤:先
18、求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角 ,如为锐角角即可,如为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO钝角 ,就取其补角 ;再求其余角 ,即就是线面的夹角、sincosAP, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 面面夹角 二面角 0,180 :如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量n1 , n 2的夹角 ; 法向量同进可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -
19、 - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何学问点归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同出 ,就二面角等于法向量的夹角的补角、coscosn1, n2uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.点面距离h:求点P x0 , y0到平面的距离 : 在平面上去一点Q x,y ,得向量 PQ ; 运算平面的法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
20、品名师归纳总结n ;、 hPQ. nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4-1 线面距离 线面平行 :转化为点面距离4-2 面面距离 面面平行 :转化为点面距离【典型例题】1.基本运算与基本学问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、 已知平行六面体ABCD AB C D,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur ABBCuuuruuuruuur; ABADAA ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur1 uuuur1uuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精
21、品名师归纳总结 ABADCC 2; ABADAA 。 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、 对空间任一点O 与不共线的三点uuuruuuruuuruuurA, B, C ,问满意向量式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC其中xyz1 的四点P, A, B ,C 就是否共面？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知空间三点A0,2,3,B 2,1,6,C1, 1,5。uuuruuur求以向量AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S;ruuuruuurrr如向量 a
22、 分别与向量AB, AC 垂直 ,且| a |3 ,求向量 a 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.基底法 如何找 ,转化为基底运算3.坐标法 如何建立空间直角坐标系,找坐标 4.几何法例 4、如图 ,在空间四边形OABC中, OA夹角的余弦值。8 , AB6 , AC4 , BCO5 ,OAC45o ,OAB60o ,求 OA 与 BC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明 : 由图形知向量的夹角易出错,如uuuruuur OA, AC135oB易错写成uuur uuur OA, AC45o,切记！
23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、 长方体ABCDA1B1C1D1 中, ABBC4 , E 为A1C 1 与 B1D1 的交点 , F 为 BC1 与B1C 的交点 ,又 AFBE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求长方体的高BB1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - -
24、- - - - -空间向量与立体几何学问点归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【模拟试题】1、 已知空间四边形ABCD ,连结uuuruuuruuurAC , BD ,设M , G 分别就是BC, CD 的中点 ,化简以下各表达式,并标出化简结果向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量:1 ABBCCD ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur21uuuruuuruuur;31 uuuruuur。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBDBC 2AG ABAC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 已知平行四边形
25、ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuur OEkOA,OFkOB,OGkOC, OHkOD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求证 :四点E, F ,G , H 共面 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 平面 AC / 平面 EG 。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 如图正方体ABCDA1 B1C1D1 中 , B1E1D1F1A1B1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 已知平行六面体ABCDA B
26、 C D 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB4, AD3, AA5,BAD90 o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAADAA60 o ,求 AC 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 解: 如图
27、 ,空间向量与立体几何学问点归纳总结 参考答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuuruuuruuur(1) ABBCCDACCDAD ;uuur1uuuruuuruuur1 uuur1 uuur(2) AB BDBC ABBCBD 。uuuuuur2 uruuuuruuur2 2ABBMMGAG ;uuur1 uuuruuuruuuruuuuruuuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) AG ABAC2AGAMMG 。uuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 解:1 证明 :四边形ABCD 就
28、是平行四边形, ACABAD ,uuuruuuruuur EGOGOE ,uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurkOCkOAkOCOAk ACk ABAD uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k OBOAODOAuuuruuurEFEH E , F ,G, H 共面 ;OFOEOHOE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2 解: EFOFOEkOBOAkAB ,又 EGkAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
29、结 EF /AB, EG /AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ,平面AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 解:不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系Oxyz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 B1,1,0 ,3E1 1,14, D 0,0,0,1F1 0,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuur1uuuur 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE10,1 , DF140,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur 17可编辑资料
30、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE1DF1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur1115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1DF10011。441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosuuuuruuuur BE1, DF11617174415 。17uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuurAB AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 分析 : Q AB2,1,3, ACuuuruuur1, 3,2,cosoBACuuuruuur| AB | AC |2
31、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BAC 60 ,Srr| AB uuur| AC| sin 6073可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a x,y,z, 就 aAB2 xy3z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ruuurr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaACx3y2 z0,| a |3xyz3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 x y z 1 或 x y z 1,uuuuruuuruuuruuurr 1,1,1或r 1, 1, 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 解: | A
32、C |2 ABADAA 2uuur 2uuur 2uuur 2uuuruuuruuuruuuruuuruuur| AB | AD | AA |2 AB AD2ABAA2 AD AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结345222uuuur2 43cos90o245cos60o235cos60o169250201585可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 , | AC |85 。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载