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1、精品名师归纳总结空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点。1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOAABab; BAOAOBab ; OPaR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律：加法交换律： ab
2、ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：ab cabc abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量。（1） 假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量, a 平行于 b ,记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a / b 存在实数 ,使 a b 。（3） 三点共线： A、B、C 三点共线 ABAC
3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 与 a 共线的单位向量为aaOCxOAyOB其中xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 共面对量（1）定义：一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）共面对量定理：假如两个向量a, b 不共线, p 与向量 a, b共面的条件是存在实数x, y 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pxayb 。（3）
4、四点共面：如 A、B、C、P 四点共面 APx ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBrzOC 其中 xr ryz1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序实数组x, y, z,使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r r rrr rr r r可编辑资料 - - - 欢
5、迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b, c叫做基向量,空间任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：设O, A, B, C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuur使OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 空间直角坐标系中的坐标：在空 间直 角坐
6、 标系 Oxyz 中, 对空间任一点 A , 存在唯独的有序实数组 x,y, z , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAxiyizk,有 序实 数组 x, y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系Oxyz 中的 坐标 , 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax, y, z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z ）关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴 / 平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设
7、为 0,y,0,在平面 yOz中的点设为 0,y,zr r r（2） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直, 且长为1,这个基底叫单位正交基底, 用 i , j , k 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示。空间中任一向量 axiy jzk=（x,y,z ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r如 ara1, a2 , a3 , brrb1,b2 ,b3 ,就 aba1b1 , a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rraba1r rb1, a2b2
8、 , a3rb3 , aa1,a2,a3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2a3b3 ,rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1rraba1b1b1 ,a2a2b2b2 , a3a3b30 。b3uuurR ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1,y1, z1 ,Bx2 ,y2 , z2 ,就 AB x2x1 , y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
9、师归纳总结 定 比 分 点 公 式 ： 如Ax1,y1, z1, B x2 ,y2, z2, APPB , 就 点P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 , y11y2 , z11z2 。推导：设 P（x,y,z ）就 xx1, yy1, zz1x2x, y2y, z2z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显,当 P为 AB中点时,P x1x2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
10、 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中, A（x1, y1, z1）, Bx2 , y2 , z2 ,C x3, y3, z3, 三 角 形 重 心P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1x2 3x3 , y1y2 2y3 , z1z2z3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC的五心：内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点。AP ABABAC AC（单位向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点。PAPBP
11、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P：高的交点： PA PBPA PCPB PC（移项,内积为 0,就垂直）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比） 中心：正三角形的全部心的合一。AP1 AB 3AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r（4） 模长公式：如 ar a1, a2 , a3 , bb1,b2, b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr222rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |a aa1a2r
12、ra3, | b |rrb bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ra ba1b1a2b2a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 夹角公式：cos a br。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222| a | |b |aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中AB . AC0 A为锐角AB . AC0 A为钝角,钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 两点间的距离公式：如 Ax1, y1, z1 , B x2 , y2,
13、z2 ,uuuruuur 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| AB |ABx2x1 y2y1 z2z1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 d xx 2 yy 2 zz 2A ,B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 空间向量的数量积。uuurrrr uuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量a, b,在空间任取一点 O ,作 OAa, OBb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr0rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就AOB
14、 叫 做 向 量 a 与 b的 夹 角 , 记 作a, b。 且 规 定a, b, 显 然 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a,bb , a。如 a,buuurr,就称 a 与b2uuur相互垂直,记作： ab 。rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作： | a |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 向量的数量积：已知向量
15、a,b,就 | a| | b| cosa, b叫做 a,b的数量积,记作 a b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrr r即a b|a | |b | cosa,b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 空间向量数量积的性质：rrrr rrrrrr 2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a | cosa, e。 aba b0 。 | a |a a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 空间向量数量积运算律：rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a ba ba b 。 a bb
16、 a（交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bca ba c（安排律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不满意乘法结合率： 二空间向量与立体几何a bcab c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2
17、 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 线 线 夹 角（ 共 面 与 异 面 ） 0 O ,90O 两 线 的 方 向 向 量n1, n2的 夹 角 或 夹 角 的 补 角 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-1 线面夹角0 O ,90O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角,如为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结锐角角即可,如为钝角,就取其补角。再求其余角,即是线面的夹角.sincosAP, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 面面夹角（二面角） 0O ,180 O ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量n1 , n 2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结夹角。法向量同进同出,就二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1,n2uuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 点面距离 h ：求点P x0, y0到平
19、面的距离： 在平面上去一点Q x, y ,得向量 PQ ; 。 运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 的法向量 n ;.hPQ. nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】1. 基本运算与基本学问（）例 1.已知平行六面体 ABCD A B C D,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur ABBCuuu
20、ruuuruuur。 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur1 uuuur 。 1uuuruuuruuur。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABADCC 2 ABADAA 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满意向量式：uuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC （其中 xyz1 ）的四点P, A, B,
21、C 是否共面？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知空间三点 A（0,2,3）, B（ 2, 1, 6）,C（1, 1, 5）。uuur uuur求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S。ruuur uuurrr如向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且 | a| 3 ,求向量 a 的坐标。2. 基底法（如何找,转化为基底运算）3. 坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 几何法例 4.如图,在空间四边形 OABC中,OA求OA与 BC 的夹角的余弦值。8,AB6 ,AC4 ,BC5 , OAC45o
22、 ,OAB60o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：由图形知向量的夹角易出错,如Buuur uuur OA, AC135o 易错写成uuur uuur OA, AC45o,切记！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.长方体ABCDA1B1C1D1 中,ABBC4 , E 为A1C1 与B1D1 的交点, F 为BC1与B1C 的交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AFBE ,求长方体的高 BB1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【模拟试题】1. 已知空间四边形
23、ABCD ,连结AC , BD ,设M , G 分别是BC , CD 的中点,化简以下各表达式,并标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuur出化简结果向量：（ 1） ABBCCD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur（2）1 uuuruuuruuur。 （3）1 uuuruuur。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBDBC 2AGABAC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuur
24、 OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（1） 求证：四点 E, F ,G, H 共面。（2） 平面 AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图正方体ABCDA1B1C1D1 中,B1E1D1F1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.已知平行六面体 ABCDA B C D 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB4, AD3, AA5,BAD90 o ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 A B ,求
25、BE 与 DF 所成角的余弦。41111BAADAA60 o ,求 AC 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 参考答案 1. 解：如图,uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） ABBCCDACCDAD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur1 uuuruuuruuur1 uuur1 uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ABBDBC ABBCBD 。222uuuruuuuruuuuruuurABBMMGAG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur1 uuuruuuruuuruuuuruuuur
26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） AGABAC 2AGAMMG 。uuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形, ACABAD ,uuuruuuruuur EGOGOE ,uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurk OCk OAkOCOAk ACk ABAD uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kOBOAODOAuuuruuurEFEH E, F ,G, H 共面。OFOEOHOE可编辑资料 - -
27、- 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）解：EFOFOEk OBOAkAB ,又 EGkAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF/ AB, EG /AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,平面3.AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：不妨设正方体棱长为 1,建立空间直角坐标系 Oxyz,可编辑资料 - - - 欢迎
28、下载精品名师归纳总结就 B 1,1,0 , E131,1 , D 0,0,0 ,41F1 0,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuur1uuuur 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE10,1 , DF140,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE1DF1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur1115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1 DF10011。
29、441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosuuuur uuuur BE1, DF11617174415 。17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 分析：uuuruuurAB AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q AB 2, 1,3, ACuuuruuur1, 3,2,cosBACuuuruuur| AB | AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BAC60, S| AB | AC| sin 60o73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
30、结rruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a （ x,y,z）,就 aAB2 xy3z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ruuurr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aACx3 y2z0,| a |3xyz3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xyz1 或 xyz 1,ra （ 1, 1, 1）或ra （ 1, 1, 1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AC5. 解：uuuur 2uuuruuuruuur 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| ABADAA uuur 2uuur 2uuur 2uuur uuuruuur uuuruuur uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB| AD | AA|2AB AD2 AB AA2AD AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结423252uuuur2 43cos90o24 5cos60o23 5cos60o169250201585可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以, | AC |85 。可编辑资料 - - - 欢迎下载