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1、精品名师归纳总结1、不等式的性质 :新课标 回来教材不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名称不等式名称不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称性abba 充要条件 传递性ab, bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abacbc 充要条件 同向不等式可加性 :ab, c0acbc ab, c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可加性ab, cdacbd异向不等式可减性 :ab, cdacbd可乘性同向正数不等式可乘性 :ab0, cd0acbd异向正数不等式可除性 :ab
2、0,0cdacb d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘方法就ab0anbn nN, n2开方法就ab0n an b nN, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒数法就ab0, ab11ab常用结论aba3b3 充要条件 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 表中是等价关系的是解、证明不等式的依据, 其它的仅仅是证明不等式的依据.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1对于实数a, b, c 中,给出以下命题 : abac2bc2 ;ac2bc2ab;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab0a2abb2 ; ab
3、011 ; ab ab0ba ;ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab0|a | | b | ; cab0ab cacb11; ab,aba0, b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中正确的命题是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 已知 1xy1,1xy3 ,就 3xy 的取值范畴是 1,7 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 已知 abc ,且 abc0, 就 c 的取值范畴是a1 2, .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、不等式大小比较的常
4、用方法:(1) 作差 :作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果;(2) 作商 常用于分数指数幂的代数式;(3) 分析法 ;4 平方法 ;5 分子 或分母 有理化 ;6 利用函数的单调性;7 查找中间量或放缩法 ;8图象法 .其中比较法 作差、作商 是最基本的方法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1 设 a0且a1,t0 ,比较 1 log t和 logtaa1 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案 :当 a1 时, 1 logtlogt1在 t1时取 “=”;可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品名师归纳总结aa22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a1 时, 1 logttlog1在 t1时取 “=”;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 已知 a0, a1 ,试比较paa31 ,qaa2的大小 . 答: pq 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 设 a2 , pa1, q a22 a 2 4 a2,试比较p, q 的大小 答: pq ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) 比较 1+ log x 3 与 2log x 2 x0且x1 的大小 .
6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答:当 0x1或 x4 时,1+ log 3 2log2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1x4 时,1+ log 3 2log2 ;当 x4 时,1+ log 3 2log2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5) 如3aa,b,cR ,且 2xlog 0.5xba,0.53clog 0.5 b,0.5xlog 2 c ,比较xa, b, c 的大小 . 答: cba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 利用重要不等式求函数最值:“一正二定三
7、相等 , 和定积最大 , 积定和最小 ”.典例 :1以下命题中正确选项 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. yx x2C. yx21的最小值是 2B. yx3 的最小值是 2D. y 223x23x4 x x4 xx0 的最大值是 24 30 的最小值是 24 3 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 如 x2 y1,就 2x4 y 的最小值是 2 2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 已知x, yR ,且 xy1 ,就 82 的最小值为18;xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 :已知 0x1,就 82的最小值
8、为18;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 : 已知x, yR ,且 419 ,就 xy 的最大值为1;y 的最小值为9;xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 :已知x, yR ,且xyx4y ,就 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 常用不等式 有:1a2b22ab22ab11a,bR, 当 ab时取 =号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(2) ab2ab2ab a, bR, 当 ab 时取 =号 2可编辑资料 - -
9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结上式从左至右的结构特点为:“平方和 ”不小于 “和平方之半 ”不小于 “积两倍 ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 真分数性质定理 : 如 ab0, m0 , 就 bbm 糖水的浓度问题 .aam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :如 a, bR ,满意abab3 ,就 ab 的取值范畴是9,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、证明不等式的方法 : 比较法、分析法、综合法和放缩法.比较法的步骤是 : 作差 商 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与1 的大小 , 然后作出结论 . 可编辑资料
10、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用的放缩技巧有:1111111nn1n n1n2nn1n1n 右边当 n2 时成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111k1kkk1k1k2kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 222典例 :1已知 abc ,求证: a2 bb2cc2aab2bc2ca2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 已知a,b, cR ,求证: a2 b2b cc aabc abc ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 已知a,b, x, yR ,且 11 , xy ,求证 :xy;可编辑资料 - -
11、- 欢迎下载精品名师归纳总结abxayb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) 如 a, b, c 是不全相等的正数 ,求证 : lg ab2lg bc 2lg ca 2lg alg blg c ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5) 如 nN*,求证 :n121n1n21n ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6) 求证 : 11112222 .23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 常系数一元二次不等式的解法:判别式图象法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤 :1化一般形式 : ax 2bxc00,其中 a0
12、;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(2) 求根的情形 : ax(3) 由图写解集 : 考虑bxc2yax能否因式分解0bxca00,0 ;0 图象得解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :解不等式26xx20 . 答: x21 , 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、 方程与不等式思维的转换过程 , 从中我们不难看出“三个二次”关系是核心 , 即一元二次不等式解集定值端点 非正负无穷大 是对应一元二次方程 函数 的根 零点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :如关于 x
13、的不等式ax2bxc0 的解集为 x | xm, 或xn nm0 , 解关于 x 的不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 cx2bxa0 . 答: x | x1, 或x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm7. 简洁的一元高次不等式的解法:标根法 :其步骤是 :1 分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2) 将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线奇穿偶回 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 依据曲线显现f x 的符号变化规律 ,写出不等式的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
14、师归纳总结2典例 :1解不等式 x1x2 20 .答: x | x1 或 x2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 不等式 x2) x2x30 的解集是 x | x3,或x1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 设函数f x 、g x 的定义域都是 R ,且f x0 的解集为 x |1x2 , g x0 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为,就不等式f xg x0 的解集为 ,12, ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) 要
15、使满意关于x 的不等式2x29xa0 解集非空 的每一个x 的值至少满意不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x24 x30 和x26x80 中的一个 ,就实数 a 的取值范畴是7, 81 .8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 分式不等式的解法 :分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正, 最终用标根法求解 .解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1解不等式5xx22x31 答: 1,12,3 ;可编辑资料 -
16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2 关于 x 的不等式axb0 的解集为 1, ,就关于x 的不等式axb0 的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2,12, .注: 和一元二次不等式一样, 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值 .9. 肯定值不等式的解法 : 明白 1 分域争论法 最终结果应取各段的并集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :解不等式 | 23 x |2| x1 | ;答: xR ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42(3) 利用肯定值的定义;3数形结合 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
17、名师归纳总结典例 :解不等式 | x | x(4) 两边平方1|3 ;答: ,12, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :如不等式 |3x2| | 2xa |对 xR 恒成立 , 就实数 a 的取值范畴为43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键 ” 留意 :解完之后要写上:“综上 ,原不等式的解集是 ”.按参数争论 , 最终应按参数取值分别说明其解集; 但如按未知数争论 , 最终应求并集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2典例 :1如 log a31,就 a 的取值范
18、畴是 a1,或0a2 ;3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 解不等式ax2ax1xaR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答: a0 时, x | x0 ; a0 时, x | x1 或 x a0 ; a0 时, x | 1ax0, 或 x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结含参数的一元二次不等式的解法:三级争论法 .一般的 , 设关于 x 的含参数 a 的一元二次形式的不等式为:2f a xg a xr a00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 第一级争论 : 争论二次项系数f a 是否为零 ;(2) 其次级争论 :
19、如 f a0 时, 先观看其左边能否因式分解, 否就争论的符号 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 第三级争论 : 如f a0,0 时, 先观看两根x1, x2 大小是否确定 , 否就争论两根的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 : 每一级的争论中 , 都有三种情形可能显现 , 即“ ”, “ =” , “ ” , 应做到不重不漏 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1解关于 x 的不等式ax22xa0 aR .11a211a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答: 当 a1 时, x; 当 0a1 时, x,
20、 ;aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a211a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时, x0, ; 当1a0 时, x,aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 a1 时, xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 解关于 x 的不等式ax222xaxaR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答: 当 a0 时, x2 ,a; 当 a0 时, x,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 2a0 时,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x,1 ; 当 a a2 时, x1;
21、当 a2 时, x1,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 : 解不等式是求不等式的解集, 最终务必有集合的形式表示.11. 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题: 不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法 .1. 恒成立问题 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如不等式 fxA 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上如不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fx minAfx maxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1设
22、实数x, y 满意 x2 y121,当xyc0 时, c 的取值范畴是21,;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立 , 求实数 a 的取值范畴 a1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 如 2 x1m x21 对满意 m2 的全部 m 都成立 ,就 x 的取值范畴 71 ,31 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 1n 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) 如不等式 1n a22对于任意正整数 n 恒成立 , 就实数 a 的取值范畴是n12,2可编辑资料 - - - 欢迎下载
23、精品名师归纳总结5) 如不等式 x2mx2m10 对 0x1恒成立 ,就 m 的取值范畴 m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 能成立问题如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 就等价于在区间 D 上fx maxA ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxB 成立 , 就等价于在区间 D 上的fx minB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 : 如方程af x xD有解 , 就等价于 a y | yf x, xD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 :1已知 x4x
24、3a 在实数集 R上的解集不是空集, 求实数 a 的取值范畴 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 已知 P x | 12x2, 函数 y2log 2 ax2 x2的定义域为 Q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 PQ, 求实数 a 的取值范畴 . 答: a4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如方程2log 2 ax12x22 在 , 2 内有解 , 求实数的取值范畴. 答: a23,12 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.恰成立问题如不等式 fxA 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA 的解集为 D ;如不等式 fxB 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB 的解集为 D .12. 简洁的线性规划问题 :1 二元一次不等式 组 表示平面区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 一 般 的 , 二 元 一 次 不 等 式AxByC00在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByC0 某一侧的全部点组成的平面区域 半平面 不含边界线 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载