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1、(本科）第7章 非线性规划教学ppt课件21世纪高等院校公共课精品教材管理运筹学管理运筹学董银红 付丽丽 编著东 北 财 经 大 学 出 版 社Dongbei University of Finance&Economics PressCONTENTS第7章 非线性规划经济管理与工程应用中相当多的问题很难用线性函数加以描述。为了解决这类问题和提高实际问题解的精度，人们提出了非线性规划的概念，也就是目标函数或约束条件中包含有非线性函数的规划问题。非线性规划自20世纪70年代以来得到了长足的发展；目前，已成为运筹学的一个重要分支，在管理科学、最优设计、系统控制等许多领域得到了广泛的应用。CONTEN
2、TS7.1 基本概念7.1.1 非线性规划的数学模型非线性规划的数学模型【例例7-17-1】 曲线的最优拟合问题在处理经济管理，工程设计方面的数据时，常常会遇到这样的问题：如何利用有关变量的实验数据资料去确定这些变量之间的函数关系。例如，已知某物体的温度 与时间t之间有如下的经验函数关系， ，其中的 是待定参数。通过测试可以得到一系列实验数据 ，现在要想确定最优的参数 使得理论上的结果与实际的结果比较接近。一般情形下，当 时，确定的温度理论值与实际值之间的平方偏差为： 。.312c tcc te123,c c citt3212()ic tiicc teCONTENTS7.1 基本概念由最小二乘
3、法原理，应该选择 ，求以下函数的最小值：.这就是关于温度曲线最优拟合问题的数学模型。在这个模型中，决策变量是 ，没有约束条件,目标是求上式的最小值。目标函数关于决策变量是二次，不再是线性函数，所以以上问题是一个非线性问题。在后面对非线性规划问题进行简单归类的时候，就可以知道，以上问题其实是一种无约束的非线性规划问题。123,c c c32121min()inc tiiicc te123,c c cCONTENTS7.1 基本概念【例例7-27-2】 市场选址问题设有n个市场，第j个市场的位置为 ，对某种货物的需求量为 ， 。现在计划建立m个货栈，第i个货栈的容量为 ， 。试确定货栈的位置，使各
4、货栈到各市场的运输量与路程的乘积之和最小。建立数学模型，设第i个货栈的位置为 ， 。第i个货栈供给第j个市场的货物量为 , , 。第i个货栈到第j个市场的货物量为 ，定义为：.(,)jja bjq1,jnic1,im( ,)iix y1,imijw1,im1,jnijd22()()ijijijdxaybCONTENTS7.1 基本概念目标是使运输量与路程乘积之和为最小，如果距离按照以上定义，就是使：最小。约束条件是：（1）每个货栈向各市场提供的货物量之和不能超过它的容量。（2）每个市场从各个货栈得到的货物量之和应等于它的需要。（3）运输量不能为负数。2211()()mnijijijijwxay
5、bCONTENTS7.1 基本概念于是数学模型如下：由于目标函数不是线性函数，所以以上问题也是非线性规划问题，是一种含约束的非线性规划问题。221111min()(),1,. .,1,0,1,1, .mnijijijijnijijmijjiijwxaybwc ims twqjnwim jnCONTENTS7.1 基本概念非线性规划和线性规划的结构类似，都是由关于决策变量的目标函数，约束条件构成。当以上的表达式中的目标函数 和约束函数 都是关于X的线性函数时，数学规划就是线性规划；若目标函数或者约束函数至少有一个是X的非线性函数，则以上问题为非线性规划。特别的，当 ，即数学规划问题的可行域 时，
6、它将简化为：称它为无约束非线性规划问题（UMP）或无约束最优化问题。若在以上问题 ，则对应的规划问题为约束非线性规划或约束最优化问题。例7-1是无约束非线性规划问题，而例7-2是约束非线性规划问题。()f X()jgX0ml nDRmin()f XnDRCONTENTS7.1 基本概念7.1.2 非线性规划问题的图解非线性规划问题的图解类似于线性规划，当非线性规划只有两个自变量时，可以借助图解法对其进行求解。【例例7-37-3】 求解下述非线性规划问题：22121212min()(2)(2)()60. ., 0f Xxxh XxxstxxCONTENTS7.1 基本概念在此例中，约束 对最优解
7、发生了影响，若以 代替原来的约束 ，则新的非线性规划的最优解变为 ，即图6-1中的 点，此时 。由于此最优点位于可行域的内部，故事实上约束 并未发挥约束作用，问题相当于一个无约束极值问题。注意：注意：线性规划存在最优解，最优解只能在其可行域的边缘上（特别能在可行域的顶点上）得到；而非线性规划的最优解（如果存在）则可能在可行域的任意一点上得到，并非仅局限在边缘上。06)(21xxXh06)(21xxXh)2 , 2(XC0)(Xf06)(21xxXhCONTENTS7.2 极值问题7.2.1 最优解和极小值点最优解和极小值点【定义7.1】 对于非线性规划问题，若 ，并且有：则称 非线性规划问题的
8、整体最优解，称 为整体最优值。如果有：则称 非线性规划问题的严格整体最优解，称 为严格整体最优值。xR()( ),f xf xxD x()f x()( ),f xf xxDxx 且x()f xCONTENTS7.2 极值问题【定义7.2】 设 为定义在n维欧氏空间 的某一区域D上的n元实函数，记为 ： ，对于 ，存在某个 ，则：（1）对于 均有不等式 ，则称 为 在 上的局部极小点， 为局部极小值；（2）对于 均有不等式 ，则称 为 在 上的严格局部极小点， 为严格局部极小值；（3）对于 均有不等式 ，则称 为 在 上的全局极小点， 为全局极小值；（4）对于 均有不等式 ，则称 为 在 上的严
9、格全局极小点， 为严格全局极小值。 ()f XnE()f X1nREEXD0|XX()()f Xf XX()f XD()f X|XXX()f XD()f X,X XD()()f Xf XX()f XD()f X,X XD()()f Xf X()()f Xf XX()f XD()f XCONTENTS7.2 极值问题7.2.2 多元函数极值点存在的条件多元函数极值点存在的条件对于多元无约束函数 ，其极值点的存在条件如下：1.必要条件设 是n维欧氏空间 上的一个开集， 在 上有一阶连续偏导数，且在 取得局部极值，则必有： （7-1）或 （7-2）式（7-2）中 称为函数 在 点处的梯度。()f X
10、DnE()f XDXD12()()()0nfXfXfXxxx 1(),0,0TTXnffff XXxx ()f X()f XXCONTENTS7.2 极值问题由数学分析可知， 的方向为 点处等值面（等值线）的法线方向，沿这一方向函数值增加最快，见图7-2。 满足 或 的点称为平稳点或驻点。极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。()f XX0)()()(21nxXfxXfxXf0)(XfCONTENTS7.2 极值问题2. 充分条件设 是n维欧氏空间 上的一个开集， 在 上具有二阶连续偏导数， ，若 且 在 点的海赛矩阵正定，或者对任何非零向量 都存在： 则 为 的严格局部极小点。此外， 称为
11、 在点 处的海赛（Hesse）矩阵。RnE)(XfRRX 0)(Xf)(Xf*XnEZ 2*()0TZf XZ*X)(Xf2*()f X)(Xf*X2222121122222122222212()()()()()()2*()()()()nnnnnfXfXfXxxxxxfXfXfXxxxxxfXfXfXxxxxxf X CONTENTS7.2 极值问题由线性代数知识可知：矩阵正定的充要条件是其左上角各阶主子式大于零；矩阵负定的充要条件是左上角顺序各阶主子式负、正交替。如果矩阵不满足上述两种情况，则称矩阵不定。现以 代表矩阵中的元素，则矩阵正定的充要条件可表示为： ； ； 矩阵负定的充要条件可表示
12、为：； ； ； ijh011h022211211hhhh01111nnnnhhhh011h022211211hhhh0333231232221131211hhhhhhhhh0) 1(1111nnnnnhhhhCONTENTS7.2极值问题7.2.3 非线性规划方法概述非线性规划方法概述迭代法的基本思想是：由于各种原因，无法一下子找到函数的最优点，只能给定一个初始估计解 ，以这个初始解为起点，按照一定的规则（即算法）找出一个比 更好的解 ，如此递推即可得到一个解的序列 ，若这一解的序列有极限 ，即则称该序列收敛于 。在选择某一算法时，要求其产生的序列 中某一点或序列的极限值为问题的最优解。对于极
13、小化问题，只要选择的某种算法产生的解序列 能使目标函数 逐步减少，那么就称此算法为下降迭代算法。)0(X)0(X)1(X)(kXX( )lim0kkXXX)(kX)(kX)()(kXfCONTENTS7.2极值问题下降迭代算法的一般迭代步骤如下：(0)XCONTENTS7.2极值问题上述过程是一个算法模型，对每一步赋予具体内容，就可以得到一个具体算法。对无约束优化问题一般要求搜索方向 是下降方向，对约束优化问题，一般要求 是可行下降方向。在非线性规划中，对同一类问题已经发展了多种不同的算法。评价和比较这些算法也是有两方面的准则：一是从理论上能够证明一个算法是收敛的且具有良好的收敛速度；二是在实
14、际计算中可靠性强效率高。关于这部分的知识在算法理论中有许多研究，在此就不赘述了。CONTENTS7.3 凸函数与凸规划7.3.1 凸函数及其性质凸函数及其性质1. 凸函数及其性质【定义7.3】 设 为定义在n维欧氏空间 中某一凸集D上的函数，若对于任何实数 （ ）以及D中的任意两点 和 ，恒有：则称 为定义在D上的凸函数，见图7-5；若上式为严格不等式，则称 为定义在D上的严格凸函数。改变不等号的方向，即可得到凹函数和严格凹函数的定义。)(XfnE01)1(X)2(X)()1 ()()1 ()2()1()2()1(XfXfXXf)(Xf)(XfCONTENTS7.3 凸函数与凸规划CONTEN
15、TS7.3 凸函数与凸规划7.3.2 凸规划及其性质凸规划及其性质给定一个非线性规划问题： 假定其中 为凸函数， 为凹函数（ 为凸函数），这样的非线性规划称为凸规划。min ( ) |( )0,1,2, nx Rjf xXERx gxjl)(xf)(Xgj)(XgjCONTENTS7.3 凸函数与凸规划凸规划的性质：（1）凸规划的可行域为凸集;（2）如果最优解存在，则最优解的集合是一个凸集;（3）其任何局部最优解即为全局最优解;（4）若凸规划的目标函数 为严格凸函数时，其最优解必定唯一（假定最优解存在）。由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。【例例7-67-6】 判断
16、下述非线性规划是否是凸规划:44)(min12221xxxXf02)(211xxXg01)(2212xxXg0,21xxCONTENTS7.4 一维搜索方法所谓一维搜索，又称线性搜索，就是指单变量函数的非线性规划问题，即沿某一已知方向求目标函数的极值点，它是多变量函数最优化的基础。当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索。一维搜索的方法很多，根据求解问题的不同原则，可以将算法分成两类：精确一维搜索和非精确一维搜索。本教材只介绍精确一维搜索方法：斐波那契和黄金分割两种方法。CONTENTS7.4 一维搜索方法7.4.1 斐波那契法（斐波那契法（Fibonacci）计算函数的次数越多，搜索区间
17、就缩得越小，就越接近于函数的极小点，即区间的缩短率（缩短后的区间长度与原区间长度之比）与函数的计算次数有关。那么经过 次计算函数值，能把区间缩减到什么程度呢？或者说经过 次计算函数值，能把原来多大的区间缩减成单位区间呢？通过上述讨论可知，计算n次函数值所能获得的最大缩短率为最大缩短率为 ，即计算n次函数值可把原长度为 的区间缩短为：若要想将区间长度缩短为原长度的（01）倍，只要 足够大一定能使： （7-3）这里的 称为区间缩减的相对精度。nF/10LnFL101nFCONTENTS7.4 一维搜索方法在上述介绍的基础上，现将法斐波那契法的相关概念及计算步骤总结如下：若序列 满足关系： 则称 为
18、Fibonacci数列， 称为第 个Fibonacci数，称相邻两个Fibonacci数之比 为Fibonacci分数。 如果要求经过一系列探索点搜索之后，使最后的探索点和最优解之间的距离不超过精度 ，这就要求最后区间的长度不超过 ，即 （4）据此，应按照预先给定的精度 ，确定使（4）成立的最小整数 作为搜索次数，直到进行到第 个探索点时停止。nF110 FF, 3 , 2,12nFFFnnnnFnFnnFF10nFabCONTENTS7.4 一维搜索方法 由上述分析可知，斐波那契法使用对称搜索的方法，逐步缩短所考察的区间，它能以尽量少的函数求值次数，达到预定的某一缩短率。【例【例7-67-6
19、】 试用斐波那契法求函数 的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于初始区间1,4 的0.05倍。10123)(2xxxfCONTENTS7.4 一维搜索方法7.4.2 黄金分割法（黄金分割法（0.618法）法）以0.618不变的区间缩减率，代替斐波那契法每次不同的缩减率，就得到了黄金分割法。黄金分割法是一种等速对称的搜索方法，每次试点均取在区间长度的0.618和0.382 处，见图7-10。 CONTENTS7.4 一维搜索方法用0.618法求解，从第2个探索点开始每增加一个探索点作一轮迭代以后，原单峰区间要缩短0.618倍。计算n个探索点的函数值可以把原区间 连续缩短n-1 次，因为每次
20、的缩短率均为 ，故最后的区间长度为: 这就是说，当已知缩短的相对精度为 时，可用下式计算探索点个数n：当然，也可以不预先计算探索点的数目n，而在计算过程中逐次加以判断，看是否已满足了提出的精度要求。【例例7-77-7】 求函数 在区间1,20 上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的5% 。,00ba100)(nab1n1213)(2xxxfCONTENTS7.5 无约束极值问题无约束极值问题可表述为求解无约束极值问题通常采用迭代法，迭代法可大体分为两大类：一类要用到函数的一阶导数和（或）二阶导数，由于此种方法涉及函数的解析性质，故称为解析法；另一类在迭代过程中只用到函数的数值，而不
21、要求函数的解析性质，故称为直接法。一般来讲，直接法的收敛速度较慢，只有在变量较少时才能使用。当然，直接法也有其自身的长处，那就是它的迭代过程简单，并能处理导数难以求得或根本不存在的函数极值问题。下面主要介绍两种具有代表性的解析法。min ( ),nf xxECONTENTS7.5 无约束极值问题7.5.1 梯度法（最速下降法）梯度法（最速下降法）由于梯度法的迭代过程简单，使用方便，而且又是理解其它非线性最优化方法的基础，所以先对梯度法进行说明。梯度法的基本原理：假设无约束极值问题的目标函数有一阶连续偏导数，且具有极小点 ；以 表示极小点的第k次近似，为了求其第k+1 次近似点 ，在 点沿方向
22、作射线 + ，在此 称为步长并且 。现将 在 处作泰勒展开： 0（）X)(kX) 1( kX)(kX)(kP)(kXX )(kP0)(Xf)(kX)()(kXfXf)()()(kkXfP)()()(kTkPXfCONTENTS7.5 无约束极值问题【例【例7-87-8】 试用梯度法梯度法求 的极小点， =0.1。必须指出在 点处的梯度方向，仅在 点的一个小邻域内才具有最速下降或上升的性质，而对于整个优化过程来说，那就是另外一回事了。因此，不能认为梯度方向就是最理想的搜索方向。如果二次函数的等值线为同心椭圆时，采用梯度法其搜索路径呈直角锯齿状；最初几步函数值变化显著，但是越接近最优点，收敛的速度
23、越不够理想。因此，梯度法经常与其他方法联合使用，在前期使用梯度法，而在接近最优点时使用其他方法。2221) 1() 1()(xxXfXCONTENTS7.5 无约束极值问题7.5.2 牛顿法牛顿法 牛顿法是求解非线性联立方程的一种迭代方法，是前述解析法的一种。【例例7-97-9】 试用牛顿法求 的极小值。 Newton法的优点是收敛速度快，当目标函数的二阶导数及其海赛矩阵的逆矩阵便于计算时，这一方法快捷有效；缺点是有时进行不下去而需采取改进措施，此外，当维数较高时，计算 的工作量很大。)(2)(2)(2221221xxxxXf12)(kxfCONTENTS7.6 约束极值问题在解决实际问题的过
24、程中，绝大多数的最优化问题都要受到某些条件的限制，这种限制是通过约束条件来实现的。带有约束条件的极值问题称为约束极值问题。求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。对极小化问题来说，除了要使目标函数每次迭代都有所下降外，还必须要时刻注意解的可行性（某些算法除外），这就给优化工作带来了许多困难。下面首先说明解的最优性条件，CONTENTS7.6 约束极值问题7.6.1 最优性条件最优性条件 1.可行下降方向可行下降方向 非线性规划的某一可行点 ，对该点的任一方向p来说，若存在实数0 0使任意 0 均有 ，就称方向p是 点的一个下降方向下降方向。 如果方向p既是 点的一个可行方向又是一个下降
25、方向，就称p是 点的一个可行下降方向。显然，如果某点存在可行下降方向，那么该点就不会是极小点；另一方面，如果某点是极小点，则该点不存在可行下降方向。)0(X, 0)0(Xf(0)()Pf X)0(X)0(X)0(XCONTENTS7.6 约束极值问题【定理7.3】 设 是非线性规划的一个局部极小点，目标函数f(x) 在 处可微，而且 在 处可微，当 时 在 处连续，当 时（此处J代表在 处有效约束的下标集合）则在 点不存在可行下降方向，从而不存在p同时满足 ， （7-14）XX)(Xgj)(XgjXXJj Jj XX()0Tf XP()0TjgXPJj CONTENTS7.6 约束极值问题事实
26、上，若在 点存在P 满足式（6-21），则从 点出发沿方向P 搜索可找到比 点更好的点，这与 点是一个局部极小点的假设相矛盾；所以这个定理是显然成立的。 式（6-21）的几何意义是十分明显的，即 点处满足该条件的方向p与 点目标函数负梯度方向的夹角为锐角，与 点所有有效约束梯度方向的夹角也为锐角。XXXXXXXCONTENTS7.6 约束极值问题2.库恩-塔克条件库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，并在非线性规划的研究中有着广泛的应用，下面就来说明这个条件。（1）Gordan引理设 是 个n维向量，不存在向量p 使 成立的充要条件是，存在不全为零的非
27、负实数 ，使 .12,lA AAl0 1,2,TjA Pjl12,l 10ljjjACONTENTS7.6 约束极值问题对此引理不做证明，通过图7-14对其进行说明。CONTENTS7.6 约束极值问题(2) Fritz John定理假设 是非线性规划的局部最优点，函数 和 在 点有一阶连续偏导数，则必存在不全为零的数 ，使 ， （7-15） ， X()f X1()(1,2)g XjlX012,l 01()()0ljjjf XgX()0jjgX1,2,jl0j1,2,jlCONTENTS7.6 约束极值问题Fritz John定理给出了非线性规划的局部最优点应该满足的必要条件。并将这个必要条件
28、称为Fritz John条件，满足这个条件的点称为Fritz John点。对于Fritz John条件，当 时， 就会从条件中消失，由此说明在点 处有效约束的梯度线性相关，此时Fritz John条件无效。针对这种情况，在Fritz John条件基础上，加上有效约束线性无关的条件，就可以确保 ，从而形成了的库恩-塔克条件（Kuhn-Tucker，简称K-T条件）。00()f XX00CONTENTS7.6 约束极值问题库恩-塔克条件是确定某点为极值点的必要条件；但一般来讲它并不是充分条件，因此满足这一条件的点并非一定就是极值点。对于凸规划，库恩-塔克条件是极值点存在的充分必要条件。【例例7-1
29、07-10】 求下列非线性规划问题的K-T点：s.t. 22112212min221010fXxx xxxx221212536xxxxCONTENTS7.6 约束极值问题7.6.2 二次规划二次规划若某非线性规划的目标函数为自变量 的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。二次规划是非线性规划中较为简单的一种，许多方面的问题都可以抽象为二次规划，而且它和线性规划有着非常直接的关系。因此单独进行简要说明。二次规划的数学模型可表示为： （7-15）xmin()Tf XCXX DX0, 0bXbAX CONTENTS7.6 约束极值问题【例例7-127-12】 求解二次规划问题222
30、1212122264)(maxxxxxxxXf2221 xx0,21xxCONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解7.7.1 数学规划的常用软件概述数学规划的常用软件概述MATLAB是美国Math Works公司开发的适合多学科、多种工作平台的功能强大的数学软件，它优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱顾而出。数学软件Maple是由加拿大Waterloo大学开发的，由于其无与伦比的符号计算能力，使其在符号计算的数学软件中得到广泛的应用。MINOS5.O程序系统使单纯形法、拟牛顿法、简约梯度法和序列线性约束求极小算法，相当合理地组织起来，从而不管问题的规模和约束的
31、有无，也不管问题是线性规划还是非线性规划，它都能十分有效的求解。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解LINDO软件主要是利用单纯形算法和分枝定界法来解决线性规划和整数规划问题. LINDO不需要任何程序语言，用户可以把标准的模型直接输入，即可迅速获得解答，并对结果进行灵敏度分析。Excel通过嵌入宏命令的方式可以完成线性规划，整数规划，目标规划，非线性规划等问题的求解。应用起来也十分简便。总之，随着新的、更好的优化软件的不断开发，随着最优化问题在解题环境上的不断改善，最优化的应用前景是非常广阔的。为了让大家能够真正的会利用这些软件，下面将详细的介绍利用Excel和LINGO软件来
32、求解非线性规划问题。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解7.7.2 利用利用Excel求解非线性规划问题求解非线性规划问题在实际常见的管理决策问题中，决策变量总是受到某些现实条件的限制，使其在有限域内变动。比如，产品产量就要受原材料供给、生产能力(包括机器设备、人员等)大小的约束。因此有“决策变量在有限域内变动的边际收益递减的二次规划问题存在最优解，且此最优解与初值无关，即局部最优解为全局最优解”。 实际上，二次规划是非线性规划中比较简单的一种，只要问题不是太大，利用Excel规划求解是比较容易解决的。 在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着销量的增加，单位营销成本也会增
33、加，也就是说，单位利润随着销量的增加而减少(边际收益递减)。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解【例例7-137-13】 某工厂要生产门和窗两种新产品。经测算，每生产一扇门需要在车间l加工1小时、在车间3加工3小时;每生产一扇窗需要在车间2和车间3 各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2 为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为 500元。门和窗的单位销售成本随着销量的增加而增加，设 为门的每周产量， 为窗的每周产量，而门的销售成本为 ，窗的销售成本为 ，问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，才能使总利润最大?CO
34、NTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解【例例7-137-13】 某工厂要生产门和窗两种新产品。经测算，每生产一扇门需要在车间l加工1小时、在车间3加工3小时;每生产一扇窗需要在车间2和车间3 各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2 为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为 500元。门和窗的单位销售成本随着销量的增加而增加，设 为门的每周产量， 为窗的每周产量，而门的销售成本为 ，窗的销售成本为 ，问该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，才能使总利润最大?1x2x130 x260 xCONTENTS7.7 非线性规划问题的
35、计算机求解利用Excel来求解上述问题。（1） 首先按照图7-15一样，输入数据。其中黄色表示给定的数据。深红色表示决策变量，粉红表示输出的结果。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解（2）录入非线性规划模型：车间1实际使用工时：E6：=SUMPRODUCT(C6:D6,C11:D11)；车间2实际使用工时：E7: =SUMPRODUCT(C7:D7,C11:D11)；车间3实际使用工时：E8: =SUMPRODUCT(C8:D8,C11:D11)；门的销售成本C12: =30*(C11)2；窗的销售成本D12: =60*(D11)2;总销售成本F12：=C12+D12；销售毛利润
36、C14: =300*C11+500*D11;总利润C15: =C14-F12;CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解 （3）求解： 点击工具后，选择solver,出现如图7-16所示的参数设置窗口。给定目标函数和决策变量，添加约束条件，取消掉options中的“assume linear model”，点击“solve”，就可以得出结果。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解（4）结果：对应方格中就可以得到需要的结果，也即是每周门的产量为3.55，窗的产量为3.68，获得的最大利润为1714.1，如图7-17所示。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解7.7
37、.3 利用利用LINGO求解非线性规划问题求解非线性规划问题前面已经对LINGO软件的基本语法规则有一些了解，下面着重介绍LINGO求解非线性规划，并先给出一般非线性规划模型的LINGO模型。CONTENTS7.7 非线性规划问题的计算机求解3. 应用案例分析【例例7-147-14】 某公司现有5千万元资金，拟全部用于下一年度A，B两个项目的投资，如果用 ， 分别表示用于A，B两个项日的投资额。根据历史资料分析，投资A，B两个项目的收益分别为20%和16%。同时，投资后可能的总风险损失为： 。试问该公司应如何分配投资金额，才能使期望收益最大，同时使风险损失最小? 1x2x22212122()xxxx