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1、( (专科）第六章专科）第六章 离散系统的离散系统的z z域分析教域分析教学学pptppt课件课件第六章第六章 离散系统的离散系统的z z域分析域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。差分方程转换为代数方程。 6.1 6.1 z z 变换变换 从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到z z变换变换 z z变换定义变换定义 收敛域收敛域一、从拉普
2、拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: kTSkTtkTfttftf)()()()()(取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT) f(k) ，得，得二、二、z变换定义变换定义kkzkfzF)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzF称为序列称为序列f( (k) )的的单单边边z z变换变换若若f(k)为为
3、因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)三、收敛域三、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即数收敛，即kkzkf)(时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。 收敛域的定义收敛域的定义： 对于序列对于序列f(
4、k)，满足，满足 kkzkf)(所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。 例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1解（解（1） 1)()()(1kkkkzkzF 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，无关，所以其收敛域为所以其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2) f2(k)的双边的双边z 变换为变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域收敛域为为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的
5、收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时，有时它在它在0或或/和和也收敛。也收敛。 例例2 求求因果序列因果序列解：根据定义解：根据定义 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z z变换变换1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见，仅当可见，仅当 az-1 a 时，其时，其z变换存在。变换存在。 azzzFy)(RezjImz|a|o收敛域收敛域为为|z|z|a|例例3 求求反因果序列反因果序列 解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkf的的z z变换变换zbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(
6、可见，可见， b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， bzzzFf)(收敛域收敛域为为|z|z| |b|b|RezjImzo例例4 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=解解 0,0,kakbkk的的z z变换变换bzzazzzFzFzFfy)()()(可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b （显然要求（显然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)F2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 ( k 1)6.2 z z变换的性质变换的性质 线性性质线性性质 移位特性移位特性 z z域尺度变换域尺度变换 卷积定理卷积定理 z z域
7、微分域微分 z z域积分域积分 k k域反转域反转 部分和部分和 初值定理初值定理 终值定理终值定理 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换。变换。 一、线性性质一、线性性质若若 f1(k)F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(z) 2 z 12 +二、移位特性二、移位特性单边、双边差别大！单边、双边差别大！双边双边z变换的移位：变换的移位： 若若 f(k) F(z) , z 0，则，则 f(k m) z mF(z), z ，且有整数，且有整数m0, 则则f(k-1) z-1F(z) + f(-1)
8、f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzFzmkf前向移位f(k+1) zF(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzFzmkf证明：证明：Zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二项令上式第二项令k m=n)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k m) z-mF(z)例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单
9、位序列 0)(mmNk 的的z变换。变换。 111)(00NNNmmNmzzzzmNk解解 z 1例例2：求求f(k)= k(k)的单边的单边z变换变换F(z). 解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) zF(z) zf(0) = F(z) + 1zzF(z)=2) 1( zz三、序列乘三、序列乘ak(z域尺度变换域尺度变换) 若若 f(k) F(z) , z ， 且有常数且有常数a 0 则则 akf(k) F(z/a) , a z a 证明：证明：Zakf(k)= )()()(azFazkfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：
10、cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e5 . 0zzzz四、卷积定理四、卷积定理 若若 f1(k) F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(z) 2 z 2 则则 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z) 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 例：例：求求f(k)= k(k)的的z变换变换F(z). 解：解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)21) 1(11zzzzzzz五、序列乘五、序列乘k（z域微分）
11、域微分） 若若 f(k) F(z) , z 则则 )(dd)(zFzzkkf, z 例：例：求求f(k)= k(k)的的z变换变换F(z). 解：解：1)(zzk22) 1() 1() 1(1dd)(zzzzzzzzzzkk六、序列除六、序列除(k+m)(z域积分）域积分） 若若 f(k) F(z) , z 0， 则则zmmdFzmkkf1)()(, z 0，则，则 zdFkkf)()(例：例：求序列求序列 的的z变换。变换。 )(11kk解解1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzzz七、七、 k域反转域反转 (仅适用双边仅适用双边z变换）变换） 若
12、若 f(k) F(z) , z 则则 f( k) F(z-1) , 1/ z a求求a k ( k 1)的的z变换。变换。 解解11) 1(11zazzzkakazkak111) 1(，|z| a，|z| 1/a乘乘a得得 azakak1) 1(，|z| 1/a八、部分和八、部分和 若若 f(k) F(z) , z ，则，则)(1)(zFzzifki, max( ,1) z max(|a|,1)九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理适用于初值定理适用于右边序列右边序列，即适用于，即适用于kM(M为整数为整数)时时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值的序列。它用于由
13、象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。，而不必求得原序列。 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k)F(z) ， z 则序列的初值则序列的初值)(lim)(zFzMfmz对因果序列对因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz证明.)2() 1()()()()()2()1(MMMMkkkkzMfzMfzMfzkfzkfzF两边乘两边乘zM得得zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+)(lim)(zFzMfmz终值定理：终值定理：终值定理适用于右边序列，用于由
14、象函数直接求得序终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。列的终值，而不必求得原序列。 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ， z 且且01 则序列的终值则序列的终值 )() 1(lim)(1lim)(lim)(11zFzzFzzkffzzk含单位圆含单位圆6.3 逆逆z z变换变换求逆求逆z变换的常用方法有：幂级数展开法、部分分式展变换的常用方法有：幂级数展开法、部分分式展开法等。开法等。 一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反和反因果序列
15、因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相应地，其相应地，其z变换也分两部分变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| F2(z)=Zf(k) (k 1)= 1)(kkzkf，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 解解（1） 由于由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为2的圆外，故的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将为因果序列。用长除法将F(z)展开为展开为z-1的幂级数：的幂级数： z2/ /(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(
16、k)=1，1，3，5， k=0（2） 由于由于F(z)的收敛域为的收敛域为 z 1，故，故f(k)为反因果序为反因果序列。用长除法将列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为（按升幂排列）展开为z的幂级数的幂级数: z2/ /( 2 z z2)=5432165834121zzzz10,21,41,83,165, 0)(kkf(3) F(z)的收敛域为的收敛域为1 z 1 232)(2zzzF， z ) )和和F F2 2(z)(z)( z z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，故，故f(k)为因果序列为因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 当当 z 1，故，故f(k)
17、为反因果序列为反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)当当1 z 2， ) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk例例2：已知象函数已知象函数 )3)(2)(1)(21()1294()(23zzzzzzzzzzF,1 z 1，后两，后两项满足项满足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，则逆变换为，则逆变换为 razz)( 若若 z ,对应原序列为对应原序列为 )()!1()2).(1(1karrkkkrk以以 z 为例：为例：当当r=2时，为时，为 kak-1 (k)；当；当r=3时，为时，为 )() 1(212kakkk可这样可
18、这样推导记忆推导记忆： Zak (k)=azz两边对两边对a求导得求导得 Zkak-1 (k)= 2)(azz再对再对a求导得求导得Zk(k-1)ak-2 (k)=3)(2azz故故Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3)(azz例：例：已知象函数已知象函数323) 1()(zzzzF， z 1的原函数。的原函数。解解1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF2)() 1(1311zzzFzK3)() 1(dd1312zzzFzzK1)() 1(dd21132213zzzFzzK1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzFf(k)=k(k-1)+3k+1 (
19、k)三三. 信号的正反信号的正反z变换求解变换求解MATLAB提供提供ztans函数，计算离散时间信号的函数，计算离散时间信号的z变换，其逆变换，其逆变换可以通过调用变换可以通过调用iztrans函数来计算。函数来计算。解：解：syms k z % 定义符号变量定义符号变量F1 = ztrans(2k) % 计算计算z变换变换f1 = iztrans(f1) % 计算计算z逆变换逆变换F2 = ztrans(sin(k) f2 = iztrans(f2)运行结果为：运行结果为：F1 = z/(z - 2) f1 = 2k F2 =(z*sin(2)/(z2 - 2*cos(2)*z + 1)
20、f2 = sin(2*k)6.4 z z域分析域分析 单边单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。 一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 mjjmniinjkfbikya00)()(设设f(k)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。 取单边取单边z变换得变换得 mjjjminiikiinzFzbzikyzYza0010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()(
21、)()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYzszi)()()()()(zAzBzFzYzHzs令令称为系统函数称为系统函数h(k)H(z) 例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解解方程取单边方程取单边z变换变换 Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 解得解得12224)(212121)2(2) 1
22、()21 ()(2222212211zzzzzzzzzzFzzzzzyyzzY)() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkzizi)(23) 1(212)(12312122)(1kkyzzzzzzzYkkzszs例例2： 某系统，已知当输入某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k (k)时，其零时，其零状态响应状态响应 )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkzs求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。 解解31221361612)()()(22zzzzzzzzzFzYzHzsh(k)=3
23、(1/2)k 2( 1/3)k (k) ) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky二、系统的二、系统的z域框图域框图f (k)Df (k -1)F(z)z1)(1zFz另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图域框图相同。相同。例例3： 某系统的某系统的k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。(1) 求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yzs(k)。(2) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应，求零输入响应yzi(k)DDf (k)y(k)1332解解:(1
24、)画画z域框图域框图z-1z-1F(z)Yzs(z)设中间变量设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)(2311)(21zFzzzXYzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)(23131)(211zFzzzzYzs21223323131)(22211zzzzzzzzzzzzHh(k) = 2 (2)k (k)当当f(k)= (k)时，时，F(z)= z/(z-1)2213) 1(2)2() 1() 3(1233)(22222zzzzzzzzzzzzzzzzzYzsyzs(k) = 2k + 3 2
25、 (2)k (k)yzi(k) = Czi1 + Czi2 (2)k由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有Czi1 + Czi2 (2)-1= 0Czi1 + Czi2 (2)-2= 0.5Czi1 =1, Czi2 = - 2yzi(k) = 1 2 (2)k(2)由由H(z)可知，差分方程的特征根为可知，差分方程的特征根为 1=1， 2=2三、利用三、利用z变换求卷积和变换求卷积和例：求例：求2k (k)*2-k (k)解：解：5 . 0| ,5 . 0)(2zzzkk2| ,225 . 0)(211zzzzkk原式象函数为原式象函数为2345 . 034)2)(5 . 0(2zz
26、zzzzz原式原式=) 1()2(34)()5 . 0(34kkkk1* 2-k (k)？四、四、s域与域与z域的关系域的关系 z=esT zTsln1式中式中T为取样周期为取样周期如果将如果将s表示为直角坐标形式表示为直角坐标形式 s = +j ，将将z表示为表示为极坐标形式极坐标形式 z = ej = e T ， = T由上式可看出：由上式可看出： s平面的左半平面（平面的左半平面（ z平面的单平面的单位圆内部（位圆内部（ z = 0)-z平面的单位圆外部平面的单位圆外部（ z = 1) s平面的平面的j 轴（轴（ =0)-z平面中的单位圆上（平面中的单位圆上（ z = =1) s平面上实
27、轴（平面上实轴（ =0)-z平面的正实轴（平面的正实轴（ =0)s平面上的原点（平面上的原点（ =0， =0）-z平面上平面上z=1的点的点（ =1， =0） 五、离散系统的频率响应五、离散系统的频率响应 由于由于z = esT ， s= +j ，若离散系统，若离散系统H(z)收敛域含单收敛域含单位园，则位园，则若连续系统的若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应收敛域含虚轴，则连续系统频率响应j)()(jssHHTzzHje)(离散系统频率响应定义为离散系统频率响应定义为存在。存在。令令 T = ，称为数字角频率。，称为数字角频率。jej)()(ezzHH)(jjje)(e)(e
28、HH式中式中 H(ej ) 称为称为幅频响应幅频响应,偶函数；偶函数； ( )称为称为相频响应相频响应,奇函数。奇函数。 只有只有H(z)收敛域收敛域含单位园才存在含单位园才存在频率响应频率响应设设LTI离散系统的单位序列响应为离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应 yzs(k)=h(k)*f(k) )()(ikfihi当当f(k)=ej k时时iikikizsihihky)(e)(ee)()(jj)(j)(eejjHk若输入若输入f(k)=Acos( k+ )则其正弦稳态响应为则其正弦稳态响应
29、为ys(k)= 0.5A ej ej k H(ej ) + + 0.5A e-j e-j k H(e-j )= 0.5A ej ej k |H(ej )|ej ( ) + + 0.5A e-j e-j k |H(e-j )| e-j ( ) =A |H(ej )| cos k + + + ( ) = 0.5Aej k ej + + 0.5Ae-j k e-j 由由z z变换定义、变换定义、DTFTDTFT定义，有定义，有jejj)(e)()()(ezkkzHkhkhDTFTH例例 图示为一横向数字滤波器。图示为一横向数字滤波器。（1）求滤波器的频率响应；）求滤波器的频率响应；（2）若输入信号为
30、连续信号）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos( 0t)+3cos(2 0t)经取样经取样得到的离散序列得到的离散序列f(k)，已知信号频，已知信号频率率f0=100Hz，取样，取样fs=600Hz，求滤，求滤波器的稳态输出波器的稳态输出yss(k) 1z1z1z1122F(z)Y(z)解解 （1）求系统函数）求系统函数Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0令令 = TS，z取取e j H(ej ) =1+ 2e-j +2e-j2 + e-j3 =e-j1.5 2cos(1.5 ) )+ 4cos(0.
31、5 )(2)连续信号连续信号f(t) =1+2cos( 0t)+3cos(2 0t) 经取样后的离散信号为经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz ) f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k 0Ts)+3cosk(2 0Ts) 令令 1=0 , 2= 0Ts= /3 , 3=2 0Ts= 2 /3 所以所以 H(ej 1)=6 ，H(ej 2)=3.46e-j /2 , H(ej 3)= 0 稳态响应为稳态响应为 yss(t)= H(ej 1)+2 H(ej 2) cosk 0Ts+ ( 2) +3 H(ej 3) cos2k 0Ts+ ( 3) = 6 + 6.92cos(k /3- /2) 可见消除了输入序列的二次谐波。可见消除了输入序列的二次谐波。