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1、8静电场第六章第六章 静电场静电场 本章的主要内容：本章的主要内容： 静电场的基本定律静电场的基本定律库仑定律库仑定律 (实验基础实验基础) 静电场的两条基本定理静电场的两条基本定理高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理 (理论基础理论基础)描述静电场的两个基本物理量描述静电场的两个基本物理量电场强度和电势电场强度和电势。难点难点:求电场强度求电场强度E和电势和电势U9-1 电荷和库仑定律电荷和库仑定律 1747年富兰克林发现了电。年富兰克林发现了电。物体所带的电荷有两种物体所带的电荷有两种，分，分别称为别称为正电荷、负电荷正电荷、负电荷。同号电荷相斥，异号电荷相吸同号电荷相斥，异号电荷相吸。电
2、荷可以由摩擦起电、静电感应产生。历史上约定：用丝电荷可以由摩擦起电、静电感应产生。历史上约定：用丝绸摩擦的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦的塑料棒带负电。绸摩擦的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦的塑料棒带负电。 粒子带电量是不连续的，它只能是基本电荷粒子带电量是不连续的，它只能是基本电荷e的整数倍，的整数倍，即粒子的带电量是量子化的。即粒子的带电量是量子化的。 基本电荷基本电荷e =-1.6021773310-19(C) q=ne 一一. 电荷电荷二二. 电荷电量量子化电荷电量量子化 在一个与外界没有电荷交换的系统内，正在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷的代数负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。
3、和在任何物理过程中保持不变。 电荷守恒定律电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程适用于一切宏观和微观过程( ( 例如核反应和例如核反应和基本粒子过程基本粒子过程 ) )，是物理学中普遍的基本定律之一，是物理学中普遍的基本定律之一。三三. 电荷守恒定律电荷守恒定律四四. 库仑定律库仑定律点电荷点电荷: :当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可将带电体看作点电荷。忽略时，可将带电体看作点电荷。库仑定律表述库仑定律表述: 在真空中两个在真空中两个静止点电荷静止点电荷之间的作用力与它们的电量的乘之间的作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距
4、离的平方成反比。方向沿两个点电积成正比，与它们之间距离的平方成反比。方向沿两个点电荷的连线荷的连线,同号电荷相斥同号电荷相斥,异号电荷相吸异号电荷相吸.12212212112 rrqqkFF 2212229/1085. 8/100 . 941mNccmNkoo SI制中制中:1221221211241rrqqFFo 则库仑定律可写作则库仑定律可写作:2. .静电场静电场 ( (电荷运动涉及场的传播电荷运动涉及场的传播). ). 2112FF 1.仅适用于真空中仅适用于真空中静止静止的的点电荷点电荷 (任何带电体都可以看成点电荷的集合任何带电体都可以看成点电荷的集合).3.叠加性叠加性:库仑定律
5、只适用库仑定律只适用两个点电荷两个点电荷的相互作用的相互作用,涉及两涉及两个以上点电荷的作用时个以上点电荷的作用时,其中每个点电荷所受的总的静电其中每个点电荷所受的总的静电力等于其它点电荷分别单独存在时作用在该点电荷上的静力等于其它点电荷分别单独存在时作用在该点电荷上的静电力的矢量和电力的矢量和.注意注意: iiFFFF219-2 电场电场 电场强度电场强度一、静电场一、静电场电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，在电场中的任何带电体，都受到电场的作用力：在有电场，在电场中的任何带电体，都受到电场的作用力：电场的外在表
6、现电场的外在表现: E电荷受力电荷受力电荷运动电荷运动导体导体 静电感应静电感应电介质电介质 极化极化作功作功 能量变化能量变化U电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性二、电场强度二、电场强度试验电荷试验电荷: 1.带电量少带电量少; 2.几何尺寸小几何尺寸小.1.定义定义:oqFE mvcNSI/,/: 电场中某点的试验电荷电场中某点的试验电荷q0 将受到场源电荷将受到场源电荷q作作用的电场力，而该力与试验电荷电量的比值则是与用的电场力，而该力与试验电荷电量的比值则是与试验电荷无关仅由场源电荷产生的电场决定的物理试验电荷无关仅由场源电荷产生的电场
7、决定的物理量量,称为电场强度称为电场强度.2.已知点电荷已知点电荷q在场强为在场强为E的电场中的电场中,其所受的力其所受的力:EqF qq0r* *规定规定: :正电荷受力正电荷受力的的方向方向为电场强度的方向为电场强度的方向. .1.1.点电荷点电荷q 的场强的场强rrqqFoo412 rrqqFEoo412 若产生场的电荷是由若干个电荷组成若产生场的电荷是由若干个电荷组成,则空间某点的场强则空间某点的场强等于各个电荷单独存在时在该处产生的电场强度的矢量和等于各个电荷单独存在时在该处产生的电场强度的矢量和: iinEEEEE21三三. 场强叠加原理场强叠加原理四四. 场强的计算场强的计算qq
8、0r2.点电荷系的场强点电荷系的场强 若干个点电荷组成的点电荷系中若干个点电荷组成的点电荷系中,各点电荷指向场点各点电荷指向场点P的矢径分别为的矢径分别为:nrrr,21nnonnoorrqErrqErrqE44422222212111 iniioinrrqEEEE41221 各点电荷在各点电荷在P点激发的场强分别为点激发的场强分别为:根据场强叠加原理根据场强叠加原理, ,P点的场强为点的场强为: :求矢量和求矢量和q1P1rq2qn2rnrqPrdq3.连续带电体的场强连续带电体的场强rrdqEdo42 rrdqEdEo42 zzyyxxdEEdEEdEE kEjEiEEzyx 在带电体上选
9、取电荷元在带电体上选取电荷元dq,则则dq在在P点产生的场强为点产生的场强为: 整个带电体在整个带电体在P点产生的场强为点产生的场强为:矢量积分要化成标量积分矢量积分要化成标量积分: :结果表达式结果表达式: :难点难点: :电荷元电荷元dq 的选取的选取根据带电体形状的不同根据带电体形状的不同, ,dqdq 的选取分三种情况的选取分三种情况: : 电荷体密度电荷体密度电荷面密度电荷面密度电荷线密度电荷线密度 dvdsdldq* *若带电体几何形状规则若带电体几何形状规则, ,通过通过分析场的对称性分析场的对称性可简化计算可简化计算VqSqlq ,其中带电体所带的总电量其中带电体所带的总电量:
10、q 带电体的长度、面积、体积分别为带电体的长度、面积、体积分别为:l 、S、V 例例1.求电偶极子产生的场强求电偶极子产生的场强 等量异号电荷等量异号电荷q、q，相距为，相距为 l ，该带电体系为电偶极，该带电体系为电偶极子。用子。用 l 表示从表示从q 到到q 的矢量，定义电偶极矩为：的矢量，定义电偶极矩为：l qp 求电偶极子延长线上距离中心较远处一点的场强求电偶极子延长线上距离中心较远处一点的场强如图所示，如图所示，r是从电偶极子中心到场点的矢量是从电偶极子中心到场点的矢量)(444333 rrrqEEErrqErrqEooo 3422242)4rPErlrlro ，所以，所以，有（，有
11、（因因ilrqlrqEEEoo)2(4)2(4(22 电偶极子中垂线上距离中心较电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强，如图所示远处一点的场强，如图所示2122)2(2coslrl 2322212222)2(41)2(2)2(412cos2lrpllrllrqEEoo 341rpErlo 例例2.电荷电荷Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的圆弧上的圆弧上,其圆心角为其圆心角为,试求试求圆心圆心O处的处的E?OR解解:取电荷元取电荷元 dq =dl , 其中其中=Q/l24RdqdEo RddldlRdEElox cos41cos2方向如图方向如图y轴具有对称性轴具有对称性,Ey=0dEdl
12、 220222sin22sincos42RQRdRREooox *若若=2,则则E=0 xy例例3.求均匀带电为求均匀带电为Q,长为长为l的直棒在距其一端为的直棒在距其一端为d的的P点的点的场强场强.ldP P解解: :在直棒上选取电荷元在直棒上选取电荷元dq,并建立坐标如图并建立坐标如图dqO OxlQdxdq lopoxdldxExdldqdE022)(41)(4 )(4dldQEop 方向水平向右方向水平向右各电荷元在各电荷元在P点产生的场强方向相同点产生的场强方向相同,大小为大小为:例例4.求均匀带电为求均匀带电为Q,长为长为l 的直棒距其为的直棒距其为d 的的P点的场强点的场强,已知
13、已知P点与直棒两端连线的夹角为点与直棒两端连线的夹角为1, 2.dP P12解解: :在直棒上选取电荷元在直棒上选取电荷元dq,dq,电荷元电荷元在在P P点产生的场强方向如图点产生的场强方向如图, ,大小为大小为: :24rdqdEo lQdxdq cos42rdxdEox 将将dE分解成分解成x、y方向的分量方向的分量: sin42rdxdEoy dddxdctgx2csc)( 222cscdr )sin(sin44cos1221 dddEoxxyr rdEdEr rr rdq)cos(cos44sin2121 dddEoy2121coscossinsin 2242lddQEEoy 讨论讨
14、论:1.P点在中垂线上点在中垂线上 21, 0,. 2dll或或dEEoy 2 2142cos,. 3dQEEdldloy dEEoyx 2cos, 01 解：由对称性可知，解：由对称性可知，p点场强只有点场强只有X分量分量例例5、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。均匀带电圆环轴线上一点的场强。设正电荷设正电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆的圆环上。计算在环的轴线任一点环上。计算在环的轴线任一点p 的电场的电场强度。强度。 cosdEdEEqx2322020)(44cosxRqxrqE XREdr LdqP LLdqrrdq20204coscos4 讨论讨论: 1.x =0, E=
15、0,相当于圆环中心的场强相当于圆环中心的场强;2. xR 时时204xqE 相当于点电荷相当于点电荷例例6、设均匀圆盘带电量为、设均匀圆盘带电量为q，半径为，半径为R,求带电圆盘轴线上一求带电圆盘轴线上一点的场强。点的场强。解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为r，宽度为宽度为dr 的细圆环的细圆环,其带电量其带电量:drrdq 223220)(4xrxdqdE dER xprodrdqx RxxrrdrxpE023220)(2)( )(1221220 xRx 2020244xqxRE 在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。在远离带电圆
16、面处，相当于点电荷的场强。 相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。02 E讨论：讨论： 1.当当xR)(1221220 xRxE 9-3 高斯定理高斯定理一一. .电场线及其性质电场线及其性质1.1.电场线电场线: :形象描述电场空间分布的一系列曲线形象描述电场空间分布的一系列曲线. .2.性质性质:1)电场线起于正电电场线起于正电荷荷,止于负电荷止于负电荷,无电荷处无电荷处不中断不中断; 2)任意一条不能自成闭合任意一条不能自成闭合曲线曲线,任意两条不相交任意
17、两条不相交.规定规定:1):1)使曲线上每一点的切线方向都和该点的场强方向一致使曲线上每一点的切线方向都和该点的场强方向一致; ;2)垂直垂直E的单位面积的的单位面积的E线的线的条数等于该处条数等于该处E的大小的大小.二二. .电场强度通量电场强度通量1.定义定义:通过电场中任一给定面积的通过电场中任一给定面积的电场线的条数电场线的条数定义为通过定义为通过该面的电场强度通量该面的电场强度通量,简称为电通量简称为电通量.1)匀强场匀强场 E与截面垂直与截面垂直ESe E与截面成与截面成角角 cosESe E En2.计算计算:2) 非匀强电场，且非匀强电场，且S 是任意曲面是任意曲面. sedS
18、E cos seSdE cos dsEde2) 对于封闭曲面对于封闭曲面,规定外法线方向为正规定外法线方向为正;,02穿穿出出为为正正 e ;02 e ;,02穿穿入入为为负负 e 3. 注意注意: 1) e是标量是标量,只有正负只有正负;3). 关于关于e的叠加的叠加: 2121ssseSdESdESdE321321 sssseSdESdESdESdE三三.高斯定理高斯定理oiisqSdE 1.定理：任何静电场中通过场中任意闭合曲面的电通量定理：任何静电场中通过场中任意闭合曲面的电通量e ，等于在该闭合面内包围的自由电荷之代数和等于在该闭合面内包围的自由电荷之代数和 的的 倍倍. iiq01
19、 2.注意注意: 1)式中各量的意义式中各量的意义:闭合曲面闭合曲面S称高斯面称高斯面,ds为为S上的面上的面元元,E为为ds上的场强上的场强, qi为为S面内包围的自由电荷的代数和面内包围的自由电荷的代数和;2)高斯定理说明静电场是有源场高斯定理说明静电场是有源场,正电荷是静电场的源正电荷是静电场的源,负电负电荷是静电场的尾荷是静电场的尾;3) 通量通量e是由是由S面内包围的电荷决定的面内包围的电荷决定的,但但S面上各点的面上各点的E却是却是由所有在场电荷共同决定的由所有在场电荷共同决定的;4) qi=0仅指仅指S面内面内E的通量为零的通量为零,而而S上各点的上各点的E未必为零未必为零;5)
20、高斯定理适用于任何静电场高斯定理适用于任何静电场,但只有对称形状的场才能应用但只有对称形状的场才能应用其求出其求出E.四四.高斯定理的应用高斯定理的应用1.求通量求通量nE1)一半径为一半径为R的半球面放在匀强的半球面放在匀强电场中如图所示电场中如图所示,求通过半球面求通过半球面的电通量的电通量.2)一电量一电量q为的点电荷放在立方体的中为的点电荷放在立方体的中心心,求通过立方体各面的电通量求通过立方体各面的电通量?若将该电荷放在立方体的一个顶点上若将该电荷放在立方体的一个顶点上,则则通过与其非共面的各面电通量是多少通过与其非共面的各面电通量是多少?2.求场强求场强方法方法:1)由电荷分布的对
21、称性分析形成场的对称性由电荷分布的对称性分析形成场的对称性; (球对称球对称、面对称、轴对称、面对称、轴对称) 2)根据场的对称性适当选取高斯面根据场的对称性适当选取高斯面,使其通过所求的使其通过所求的 点点,高高斯面上的法线方向或与斯面上的法线方向或与E平行且各点大小相等平行且各点大小相等,或其法线方或其法线方向与向与E垂直垂直;3)计算高斯面内包围的计算高斯面内包围的qi,根据高斯定理求出根据高斯定理求出E.q例例1.半径为半径为R的均匀带电球壳的电场强度的均匀带电球壳的电场强度解：由于电荷均匀分布，电场强度也解：由于电荷均匀分布，电场强度也将成球面对称，因此电场强度方向均将成球面对称，因
22、此电场强度方向均沿矢径。沿矢径。球壳内部：作高斯面球壳内部：作高斯面S1，根据高斯定理，根据高斯定理042 oiisqrESdE RrE 01球壳外部：作高斯面球壳外部：作高斯面S2，根据高斯定理，根据高斯定理ooiisQqrESdE 24RrrQEo 24 RQS2S1r例例2、有一半径为、有一半径为R、均匀带电为、均匀带电为Q的球体的球体,求球体内部和外部任意点的电场强度。求球体内部和外部任意点的电场强度。QRr解：由于是球对称场，在球体内解：由于是球对称场，在球体内部和外部各作一半径为部和外部各作一半径为r同心高斯同心高斯球面球面,根据高斯定理根据高斯定理ErdSESdESS2 4 当场
23、点在球体外时当场点在球体外时Qqii RrrQE 2014 当场点在球体内时当场点在球体内时33333434RQrrRQqii RrRQrE 3024例例3.线电荷密度为线电荷密度为,无限长均匀带电无限长均匀带电直线直线的电场强度的电场强度解：由于电荷均匀分布，因此电场强度方解：由于电荷均匀分布，因此电场强度方向均沿垂直于直线的矢径方向。向均沿垂直于直线的矢径方向。作底面半径为作底面半径为r，高为高为h的高斯面的高斯面S，根据高斯，根据高斯定理定理ooiishqSdE rShoorEhrhE 22 例例4.半径为半径为R、体密度为体密度为的无限长均匀带电的无限长均匀带电圆柱体圆柱体的电场分布的
24、电场分布.解：由于电荷均匀分布，因此电场强度方解：由于电荷均匀分布，因此电场强度方向均沿垂直于轴线的矢径方向。向均沿垂直于轴线的矢径方向。分别在圆柱体的内部和外部作底面半径分别在圆柱体的内部和外部作底面半径r、高高为为h的高斯面的高斯面S，根据高斯定理，根据高斯定理oiisqrhESdE 2RrrREhRqioi 222rShRrrEhrqoii 22R例例5.电荷面密度为电荷面密度为0的无限大均匀带电平面的电场强度的无限大均匀带电平面的电场强度解：由于电荷均匀分布，因此两侧的电场强度沿垂直于平解：由于电荷均匀分布，因此两侧的电场强度沿垂直于平面的方向。面的方向。作底面面积为作底面面积为S高斯
25、面，根据高斯定理高斯面，根据高斯定理ooiisSqESSdE 2oE 2 根据上例结果，带等量异号电荷的无限大平行平面的电场强度根据上例结果，带等量异号电荷的无限大平行平面的电场强度两板之间：两板之间：00022 BAEEE两板之外：两板之外：02200 BAEEE如图（如图（a a）如图（如图（b b）3.有一长为有一长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心的正方形平面，在其中垂线上距中心O点点a/2处，处，有一电量为有一电量为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为度通量为.aa/2aoqoS1qq2aaS2(A) 1 2, s=q/0
26、; (B) 12, s=2q/0;(C) 1=2, s=q/0; (D) 10,电场力做正功电场力做正功,电势能减小电势能减小. AabR时时rqdrrqVr02044 当当rR时时RqRrRqdrrqdrRqrVRRr03022203048)(44 例例2.已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球壳上，求空间各点的电势。的球壳上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布 RrRrrqE 0 420方向沿径向方向沿径向当当rR时时rqdrrqVr02044 当当rR时时RqdrrqdrVRRr020440 RrVR例例3.求电荷
27、线密度为求电荷线密度为无限长均匀带无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。电直线的电场中的电势分布。rE02 解：根据高斯定理解：根据高斯定理 baapbpl dEl dEl dEV选取场内距带电直导线为选取场内距带电直导线为rb的的b点为电势零点为电势零点，则距带电直线为点，则距带电直线为r 的的p点的电势：点的电势：bbr方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线arrdrrl dEVborrobaBln22 Pr2.已知电荷的分布已知电荷的分布rqdrrql dEUoror 442 iioiooorqrqrqrqU 4444332211 rdqV041)点电荷的电势点电荷的电势qrq1r1q2r
28、2q3r32)点电荷系的电势点电荷系的电势电场由几个点电荷电场由几个点电荷q1q2，qn产生产生3)连续带电体的电势连续带电体的电势rdq dvdsdldq 其其中中例例1.将将q0由由 a经半圆经半圆acb移到移到b电场力作功电场力作功?解解:RRacbO-q+qRqRqRqVVba0006412, 0 RqqVVqAoobaoab6)( rqrqVooo )123(4rrr-q2q3qo例例2.求点电荷在求点电荷在O点的电势点的电势?若将若将q0由由 无穷远经移到无穷远经移到O点点电场力作功电场力作功?W=?rqqVVqAoooo )(rqqAWoo 解解:例例3.已知电荷已知电荷q 均匀
29、地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆环上，的圆环上，求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势，的点的电势，解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一电荷元dlRqdq 2 它在场点的电势为它在场点的电势为dlRqrrdqdV 241400 场点的电势为场点的电势为rqdlRqrVolo 4241 xRrPqdx2241xRqVo OxU例例4.已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆盘上，的圆盘上，求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距x的点的电势。的点的电势。解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为r，宽度为，宽度为dr的圆环，其电量为的
30、圆环，其电量为dq=2rdr，在场点，在场点P的电势为的电势为:22022022141rxrdrrdrrxdV 得得P点的电势为点的电势为 xRxrxrdrVoRo2202222 当当xR时时)2/(222xRxRx xqxRqxRVooo 42122222 圆盘可看作圆盘可看作一个点电荷一个点电荷RxPxrqd练习练习1.质量均为质量均为m,相距为相距为r1的两电子的两电子,由静止开始在电场力作由静止开始在电场力作用下用下(忽略重力作用忽略重力作用)运动至相距为运动至相距为r2,此时每个电子的速率为此时每个电子的速率为:);11(2)(21rrmkeA ; )11(2)(21rrmkeB ;
31、 )11(2)(21rrmkeC . )11()(21rrmkeD R Rq qd da a+Q+Q练习练习2.电量为电量为q的试验电荷在电量为的试验电荷在电量为+Q的点电荷的电场中的点电荷的电场中沿半径为沿半径为R繁荣整个圆弧的繁荣整个圆弧的3/4圆轨道由圆轨道由a点移到点移到d点的整个点的整个过程中电场力做功为过程中电场力做功为 ;从从d移到无穷远的过程中移到无穷远的过程中,电场电场力做功为力做功为.练习练习3.如图所示如图所示,在半径为在半径为R的球壳上均匀带有电量的球壳上均匀带有电量Q,将一个点将一个点电荷电荷q (qQ)从球内从球内a点经球壳上一小孔移到球外一点点经球壳上一小孔移到球外一点b,则此则此过程中电场力所作的功过程中电场力所作的功A=.)11(420rRQqA r1r2QaboR练习练习4.如图所示如图所示,在点电在点电荷荷+q和和-q产生的电场中产生的电场中,将一点电荷将一点电荷q0沿箭头所沿箭头所示的路径由示的路径由a点移到点移到b点点,则外力作功则外力作功A=.bacl/2l/2l+qol-q+qlqqoo8