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1、第十六章第十六章 定积分及其应用定积分及其应用 16.1 16.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 16.2 16.2 微积分基本公式微积分基本公式 16.3 16.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法 16.4 16.4 定积分的简单应用定积分的简单应用16.1 16.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1. 1. 两个实例两个实例 2. 2. 定积分的定义定积分的定义 3. 3. 定积分的几何意义定积分的几何意义 4 4定积分的性质定积分的性质16.1.1 两个实例两个实例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 曲边梯形是指由曲边梯形是指由 y=0和一条连
2、续曲线和一条连续曲线y = f (x)( f (x) 0)所围所围成的平面图形成的平面图形( (如图如图).).求如图所示的曲边梯形的面积求如图所示的曲边梯形的面积 A . Oyxy=f (x)ab三条直线三条直线x=a , x=b , Ax y O a b xn-1 x1 x2 xi-1 xn-2 x3 xi（1）分割）分割将区间将区间 a , b 任意任意分成分成 n 个小区间，个小区间，其分点是其分点是a = x0 ， x1 ， x2 ， ， xn-1 ， xn = b ，即：，即：y=f (x)f(i)a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b每个小区间可以表示为每个小区间可以表
3、示为 xi-1 , xi ( i = 1,2,3,n), 每个小每个小区间区间的长度为的长度为 xi = xi- xi-1 ，过每个分点做，过每个分点做x轴垂线，轴垂线，把曲边梯形分为把曲边梯形分为n 个小个小曲边梯形，它们的面积记为曲边梯形，它们的面积记为 Ai ( i = 1,2,3,n) . ( (2) )近似近似在每个小区间上任取一点在每个小区间上任取一点 i xi-1 , xi ，以，以f(i )为高，为高， xi为底的小矩形面积为底的小矩形面积f(i )xi代替小曲边梯形的代替小曲边梯形的面积面积Ai ，即：，即：Ai f(i )xi ( i = 1,2,3,n) . （3）求和）
4、求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以梯形面积的近似值，所以n个个小矩形面积的和就是曲边小矩形面积的和就是曲边梯形面积梯形面积A的近似值，即的近似值，即niiiniixfAA11.)(（4）取极限）取极限把区间把区间 a , b 无限细分，无限细分，使每个小区间的长度都使每个小区间的长度都趋近于零，趋近于零，即当即当x0时，时，(x= maxx1, x2 , , xn)这时和式这时和式ni 1f(i )xi的极限就是所求曲边梯形的极限就是所求曲边梯形的面积的面积A 即即.)(10limnniixxfA2. .变速直线运
5、动的路程变速直线运动的路程设设某某物体物体作作直线运动，直线运动，已知已知速度速度 v=v (t) 是时间是时间间隔间隔时间时间间隔间隔 a , b 上上 t 的连续函数，且的连续函数，且v (t) 0 ，求物体在，求物体在这段时间内所经过的路程这段时间内所经过的路程 s .（1）分割）分割将时间区间将时间区间 a , b 任意插入任意插入 n-1 个个分点分点a = t0 t1 t2 tn-1 tn = b把区间把区间 a , b 分成分成n个小区间，每个小区间表示为个小区间，每个小区间表示为 ti-1 , ti ( i = 1,2,3,n) . 每个小每个小区间区间的长度为的长度为 ti
6、= ti- ti-1 ，在各段时间内物体，在各段时间内物体经过的路程记为经过的路程记为 si ( i = 1,2,3,n) . ( (2) )近似近似在时间间隔在时间间隔 ti-1 , ti 上任取一个时刻上任取一个时刻i ti-1 , ti ，以，以时的速度时的速度v(i )近似代替近似代替 ti-1 , ti 上各个时刻的速度，所经上各个时刻的速度，所经过的路程可以近似地表示为过的路程可以近似地表示为si v(i )ti ( i = 1,2,3,n) . （3）求和求和这这n段路程的近似值之和就是所求变速运动路程段路程的近似值之和就是所求变速运动路程s的近似值，即的近似值，即s v(1)t
7、1 + v(1)t1 + v(n)tn .)(1nniitv（4）取极限）取极限当分点的数目越来越多，且每个小区间的长度当分点的数目越来越多，且每个小区间的长度都趋近于零时，即当都趋近于零时，即当t0时，时，这时上述和式的极限就是变速直线运动这时上述和式的极限就是变速直线运动的路程，的路程，.)(10limnniittvs(t= maxt1, t2 , , tn ),16.1.2 16.1.2 定积分的定义定积分的定义定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在 a , b 上有定义且有界，在上有定义且有界，在 a , b 中任意地插入中任意地插入n 1个分点个分点 将将 a , b 分成分成 n
8、 个小区间，个小区间，每个小区间可以表示为每个小区间可以表示为 xi-1 , xi ( i = 1,2,3,n),记记xi = xi- xi-1 , ,x= maxxi 在每个小区间上任取一点在每个小区间上任取一点 i xi-1 , xi ，做乘积，做乘积f(i )xia = x0 x1 x2 xn-1 xn = b f(i )xi . 当当x0 时，若此和式的极限存在，时，若此和式的极限存在， ni 1的和式的和式 并称此极限值为并称此极限值为f(x)在区间在区间 a , b 上的定积分，记作上的定积分，记作,)(badxxf即即;)(lim)(0iixbaxfdxxf其中，其中， y =
9、f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，x叫做叫做积分变量积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，叫做被积表达式， a , b 称为积分区间，称为积分区间，a称为积分称为积分下限下限,b称为积分上限，称为积分上限，“ ”叫做积分号叫做积分号.的取法无关，就称函数的取法无关，就称函数y=f(x)在区间在区间 a , b 上是可积的，上是可积的，且极限值既与区间且极限值既与区间 a , b 的分割方法无关，也与点的分割方法无关，也与点i 16.1.3 三三.定积分的几何意义定积分的几何意义如果在区间如果在区间 a , b 上函数上函数 f(x) 0 时，时， 定积分定积分badxxf)(在几何上表示由曲
10、线在几何上表示由曲线 y = f(x) 和直线和直线x = a , x = b , y = 0 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积（如右图）（如右图） .即：即：.)(badxxfA Oxy=f(x)aby如果在区间如果在区间 a , b 上函数上函数f(x) 0时（如图），曲时（如图），曲边梯形的面积边梯形的面积为为baniiixniiixdxxfxfxfA)()(lim)(lim1010badxxf)(即：即：定积分定积分在几何上表示曲边梯形面积在几何上表示曲边梯形面积A的的相反数相反数. 如果在区间如果在区间 a , b 上函数上函数f (x)有正有负时，则定有正有负时，则定y
11、 = 0 所围成所围成的几个曲边梯形面积的代数和的几个曲边梯形面积的代数和. 如如下下图中图中所示函数所示函数 f (x)在区间在区间 a , b 上的定积分为上的定积分为,)(321AAAdxxfba f(x)dx 表示由曲线表示由曲线 y = f(x) ，直线，直线x = a , x = b , ba积分积分定积分的性质定积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号前面被积函数的常数因子可以提到积分号前面.即即babadxxfkdxxkf)()(k为常数为常数) ； 性质性质2 两个函数的代数和在两个函数的代数和在 a , b 上的定积分，等于上的定积分，等于这两个函数在这两个函
12、数在 a , b 上的定积分的代数和上的定积分的代数和.即即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(由性质由性质1,2可得可得bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121其中其中 k , k是常数，称之为定积分的线性性质是常数，称之为定积分的线性性质.性质性质3（积分区间的可加性）（积分区间的可加性） bccabadxxfdxxfdxxf)()()(（a , b ,c 是常数）是常数）性质性质4（积分中值定理）（积分中值定理）若函数若函数f(x)在在 a , b 上连续，则至少存在一点上连续，则至少存在一点 a , b 使使)()(abfdxxfba
13、积分中值定理的几何意义：曲边积分中值定理的几何意义：曲边 y = f(x) 在在 a , b 底上底上所围成的曲边梯形的面积，等于同一底边而高为所围成的曲边梯形的面积，等于同一底边而高为f()的的一一个矩形的面积个矩形的面积 .16.2 微积分基本公式引例引例 设一物体沿直线运动，它的速度设一物体沿直线运动，它的速度 v 是时间是时间 t的函数的函数v = v (t),求物体从时刻求物体从时刻 t = a 到到 t = b 这段时间这段时间所经过的路程所经过的路程 s .引例分析引例分析 由定积分的定义可知：由定积分的定义可知：.)(badttvs如果物体经过的路程如果物体经过的路程 s是时间
14、是时间 t 的函数的函数 s(t) ，那么，那么物体物体在这段时间所经过的路程应该是在这段时间所经过的路程应该是 s = s(b)s(a) .所以所以).()()(asbsdttvsba定理定理 (微积分基本定理）微积分基本定理）设设f(x)是区间是区间 a , b 上的连续函数，上的连续函数，F(x)是是 f(x)在区间在区间 a , b 上上的任一原函数，即的任一原函数，即 F(x)= f(x) ，则，则).()()(aFbFdxxfba这个公式叫做微积分基本公式，又叫做牛顿这个公式叫做微积分基本公式，又叫做牛顿莱布莱布尼兹尼兹公式公式.也可以写成如下形式：也可以写成如下形式：).()()()(aFbFxFdxxfbaba例例1 计算计算102dxx解解 因为因为,3132Cxdxx所以所以.310311313133103102xdxx即即331x是是2x的一个原函数的一个原函数 ，例例2 计算计算121dxx解解 因为因为,ln1Cxdxx所以所以.2ln2ln1lnln11212xdxx例例3 计算计算.sin0 xdx 解解 因为因为,cossinCxxdx所以所以. 211) 0cos()cos(cossin00 xxdx