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1、15-1不定积分概念性质不定积分概念性质第十五章第十五章 不定积分不定积分15.115.1不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质15.215.2不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则15.3 15.3 换元积分法换元积分法15.415.4分部积分法分部积分法15.1 15.1 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质引例引例 已知曲线已知曲线 y=F(x) 在任意一点在任意一点 (x,y) 处的切线斜率为处的切线斜率为2x ，且曲线过点（且曲线过点（1，0），求该曲线的），求该曲线的 y=F(x)方程方程 . 分析分析 由导数的几何意义知，切线斜率由导数的几何意义知，切线斜
2、率. 由导数公式，不难想到：由导数公式，不难想到：（ C是任意常数）是任意常数）所以所以y=F(x)=x2+C ，于曲线过点（，于曲线过点（1,0），），即即x=1时时,y=0.得得 c=-1（x2）=2x (x2+C) =2xk=F (x)=2x故所求的曲线方程为故所求的曲线方程为 y=x2-1已知已知 f(x) ) 是是一个定义在区间一个定义在区间I I上的函数上的函数，如果存在函数如果存在函数则称则称 F (x) 为为 f (x) 在区间在区间 I 上上的一个的一个原函数原函数。如：如：所以所以x 2 是是 2 x 的原函数的原函数;(sin x) = cos x 所以所以sin x 是
3、是 cos x 的原函数的原函数;F (x), 使在使在 I 内的任一点都有内的任一点都有F (x)=f(x) 或或 df(x)=f(x)dx(x2) =2x1.1.如果如果 f(x)有有原函数，原函数，那么那么 f(x) 的原函数共有的原函数共有多少多少个个？若若 F(x)为为 f(x)的一个原函数的一个原函数，则则F (x)=f(x) ，从而有从而有这就说明这就说明f (x) 如有原函数如有原函数，则原函数就，则原函数就有无穷多个有无穷多个。,C C为任意常数为任意常数F(x)+C =F (x)=f(x)则则 F(x)+C中的任意一个函数都是中的任意一个函数都是 f(x) 的原函数的原函数
4、2.2.如果如果 f(x) 有有一个一个原函数原函数 F(x) , ,那么那么 F(x)+C是否包含了是否包含了 f(x) 的所有的所有原函数？原函数？事实上，设事实上，设 g(x)是是 f(x) 在区间在区间I I 上的任一原函数，即上的任一原函数，即从而从而已知在某区间上导数恒等于零的函数必为常数，由此得到已知在某区间上导数恒等于零的函数必为常数，由此得到即即 g(x)=F(x)+C 因此因此 F(x)+C 就是就是 f(x) 的全部原函数的全部原函数. .g(x)-F(x) =g (x)-F (x)=f(x)-f(x)=0g (x)=f(x)g(x)-F(x)=C设设 F(x)是是 f(
5、x) 的一个原函的一个原函概念概念数，数，那么那么函数函数 f (x) 的的全体全体原函数原函数F(x)+C就称为就称为f (x) 的的不定积分不定积分。记作记作 f(x)dx其中其中“” 叫做积分号，叫做积分号，f (x)叫做被积函数，叫做被积函数，f (x) d x叫做叫做 被积表被积表 式，式，x叫做积分变量，叫做积分变量，例：例：若若F (x) 为为 f (x) 的一个原函数，则的一个原函数，则 f(x)dx=F(x)+C 任意常数任意常数C C叫做积分常数。叫做积分常数。二二. . 2xdx=x2+C, Sinx dx= - cosxdx例例 求下列不定积分求下列不定积分(1) 3x
6、2dx; (2) secxdx (3) cosxdx解解 (1) 因为因为 (x3) =3x2 , 所以所以 3x2dx=x3+C (2) 因为因为 (tanx) =sec2x , 所以所以 sec2xdx=tanx+C (3) 因为因为 (sinx) =cosx , 所以所以 cosxdx=sinx+C(4) xdx解：因为当解：因为当xxx1)(ln, 0,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx先积分后微分的作用相互抵消。先积分后微分的作用相互抵消。由不定积分的定义由不定积分的定义，则有，则有(1)
7、f(x)dx =f(x) 或或 d f(x)dx=f(x)dx 先微分后积分的作用抵消后加任意常数先微分后积分的作用抵消后加任意常数C C。三三. .不定积分的性质不定积分的性质(2) F (x)dx=F(x)+C , 或或 dF(x)=F(x)+C 15.2 不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则依依基本导数公式与不定积分基本导数公式与不定积分的定义，即可得基本积分公式：的定义，即可得基本积分公式： 我们已经知道，积分运算是微分运算的逆运算我们已经知道，积分运算是微分运算的逆运算. 因此因此1. 不定积分的基本公式不定积分的基本公式 kCkxkdx()1(是常数是常数);)
8、;1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx(x0) dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 以上以上1515个个公式是求不定积分的基础，公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。称为基本积分表，必须熟练掌握。;12Cxxdx(14)Cx
9、dxx21(15)例例 求求下列不定积分下列不定积分：dxx211arctanx+C 2xdx= Cx2ln2CxCxdxxdxx112111222例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式根据积分公式(2)Cxdxx 11 函数函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。 被积函数被积函数中不为零的常数因子可提到积分中不为零的常数因子可提到积分号的前面。号的前面。)0(.)()(为为常常数数 kxdxfkxdxfk .)()()()( xdxgxdxfdxxgxf综合上述两条性质，可得不定
10、积分的线性性质：综合上述两条性质，可得不定积分的线性性质：dxxgbdxxfadxxbgxaf)()()()(其中其中a,b为不全为零的常数为不全为零的常数例例. .xdxex)sin3( 求下列不定积分求下列不定积分1. (2x3-3x+5)dx2. (2x+x2)dx3.解解:(1) (2x3-3x+5)dx =2 x3dx-3 xdx+5 dxCxxx521341224Cxxx5232124(2) (2x+x2)dx = 2xdx+ x2dxCxlnx33122xd)xsine(x3 xdxxdexsin3.cos3Cxex .lnCaaxdaxx ,cossinCxxdx (3)利用基
11、本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意积分。注意3 3点：点：1 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。2 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数导数3 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的 x 可用可用其它其它技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。可在积分号全部
12、不出现后简写为一个常数。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。是否等于被积函数即可。是否等于被积函数即可。变量变量 u u 替代，公式仍正确。替代，公式仍正确。例例. .将被积函数直接或进行适当恒等变形后将被积函数直接或进行适当恒等变形后,运用运用 基本积分公式基本积分公式和不定积分的运算法则求出结果，这种积分方法叫做直接积分法。和不定积分的运算法则求出结果，这种积分方法叫做直接积分法。3.3.直接积分法直接积分法(x-3)(x+2)dx = (x2-x-6) dx= x2dx - xdx - 6dxCxxx6213123例例. .xdxx221xdxx22111dxx)111 (2Cxx a
13、rctandxxxxx223123dxxxx)123(2dxxdxxdxxdx2123NoImageCxxxx1ln23212例例. .xdxxx )1()1(22xdxxxxxx )1(2)1(1222xdxx 2121xln .arctan2Cx 例例. .xdxx 241xdxx 24111 xdxxxx2222111)1( )1(xx 331.arctanCx 例例. .xdx 2cotxdx)1(csc2 xcot 同理，同理， xdx2tanxdx)1(sec2 .tanCxx .Cx 注注: :将被积函数通过三角恒等变形，化为将被积函数通过三角恒等变形，化为基本积分公式中基本积分公式中已知可积函数的代数和然后再逐项积分。已知可积函数的代数和然后再逐项积分。例例. .xdxx 22cossin1xdxxxx 2222cossincossin xdxx 22cscsecxtan 例例. .xdxx 2cos1cos12xdxx 22cos2cos1 xdx 1sec212 .tan21Cxx .cotCx xdxxxcossincos例：例：dxxxxxxx cossincossinsincos21xxxxxd21cossin)cos(sin21 .21cossinln21Cxxx 28