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1、q 1第第1111章章 半群与群半群与群离散数学离散数学q 2本章内容本章内容11.1 11.1 半群与独异点半群与独异点11.2 11.2 群的定义与性质群的定义与性质11.3 11.3 子群子群11.4 11.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理11.5 11.5 正规子群与商群正规子群与商群11.6 11.6 群的同态与同构群的同态与同构11.7 11.7 循环群与置换群循环群与置换群 本章总结本章总结 例题选讲例题选讲 作业作业q 311.1 11.1 半群与独异半群与独异点点q 半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。q 半群与独异
2、点的定义，及其子代数的说明。半群与独异点的定义，及其子代数的说明。q 半群与独异点的幂运算。半群与独异点的幂运算。q 半群与独异点的同态映射。半群与独异点的同态映射。q 4半群与独异点半群与独异点 定义定义11.111.1 (1)(1)设设V VS, 是代数系统，是代数系统， 为为二元运算二元运算，如果运算是如果运算是可结可结合的合的，则称则称V V为为半群半群（semigroup）。(2)(2)设设V VS, 是是半群半群, ,若若e eS S是关于是关于 运算的运算的单位元单位元, ,则称则称V V是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点（monoid）。有时也将独异点有时也将独异
3、点V V记作记作V VSe。 q 5半群与独异点的实例半群与独异点的实例q Z,+，都是半群都是半群,+,+是普通加法是普通加法。这些半群中除。这些半群中除Z,+外都是独异点。外都是独异点。q 设设n n是大于是大于1 1的正整数的正整数,M,(R),+和和M 都是半群都是半群, ,也都是也都是独异点独异点, ,其中其中+ +和和分别表示矩阵加法和矩阵乘法。分别表示矩阵加法和矩阵乘法。q P(B), 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中 为集合的对称差运算。为集合的对称差运算。q Zn, 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中ZnZn0,1,0,1,n-1,n-1
4、, 为模为模n n加加法法。q A 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中 为函数的复合运算。为函数的复合运算。q R 为半群为半群, ,其中其中R R 为非零实数集合为非零实数集合, , 运算定义如下：运算定义如下： x,yx,yR R , x, x y yy yq 6半群中元素的半群中元素的幂幂q 由于半群由于半群V VS, 中的运算是可结合的中的运算是可结合的, ,可以定义可以定义元素的元素的幂幂, ,对任意对任意x xS,S,规定：规定：x x1 1x xx xn+1n+1x xn n x x, , n nZ Z+ + 用数学归纳法不难证明用数学归纳法不难证明x x的幂遵
5、从以下运算规则：的幂遵从以下运算规则：x xn n x xm mx xn+mn+m(x(xn n) )m mx xnmnm m,nm,nZ Z+ +q 普通乘法的幂普通乘法的幂、关系的幂关系的幂、矩阵乘法的幂矩阵乘法的幂等都遵从这个等都遵从这个幂运算规则。幂运算规则。q 7独异点中的独异点中的幂幂独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。中去。由于独异点由于独异点V V中含有单位元中含有单位元e e，对于任意的对于任意的x xS,S,可以定义可以定义x x的零次幂的零次幂, ,即即 x x0 0e ex xn+1n+1x xn n
6、 x x n nN N不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不过过m m和和n n不一定限于正整数，不一定限于正整数，只要是自然数就成立。只要是自然数就成立。q 8子半群与子独异子半群与子独异点点q 半群的子代数叫做半群的子代数叫做子半群子半群。q 独异点的子代数叫做独异点的子代数叫做子独异点子独异点。q 根据子代数的定义不难看出：根据子代数的定义不难看出：如果如果V VS, 是半群是半群,T,T S S，要要T T对对V V中的运算中的运算 封闭封闭，那那么么T, 就是就是V V的子半群。的子半群。对独异点对独异点V VS,e来
7、说，来说，T T S S，不仅不仅T T要对要对V V中的运算中的运算 封闭封闭, ,而且而且e eT T，这时这时T,e才构成才构成V V的子独异点。的子独异点。 q 9例例11.211.2例例11.2 设半群设半群V1S, ，独异独异点点V2S,e。其中其中R Rd da a, ,d d0 00 0a aS S1 10 00 01 1R Ra a0 00 00 0a aT T 为矩阵乘法为矩阵乘法，e为为2阶单位矩阵阶单位矩阵 令令则则T S，且且T对矩阵乘法对矩阵乘法 是封闭的，是封闭的，所以所以 是是V1 的子半群。的子半群。但它不是但它不是V2= 的子独异点，因为的子独异点，因为V2
8、中的单位元中的单位元 e= T。1 10 00 01 10 00 00 01 1易见在易见在 中存在着自己的单位元中存在着自己的单位元 ，0 00 00 01 1所以所以 也构成一个独异点也构成一个独异点。q 10半群与独异点的直半群与独异点的直积积定义定义11.211.2 设设V V1 1S ，V V2 2S 是半群是半群( (或独异点或独异点),),令令S SS S1 1S S2 2, ,定义定义S S上的上的运算如下：运算如下： ,S, S, ad称称S, 为为V V1 1和和V V2 2的的直积直积，记作记作V V1 1V V2 2。可以可以证明证明V V1 1V V2 2是半群。是半
9、群。若若V V1 1和和V V2 2是独异点，其单位元分别为是独异点，其单位元分别为e e1 1和和e e2 2，则则e 是是V V1 1V V2 2中的单位元，因此中的单位元，因此V V1 1V V2 2也是独异点。也是独异点。 q 11半群与独异点的同态映射半群与独异点的同态映射定义定义11.311.3 (1)(1)设设V V1 1S,V,V2 2S 是半群是半群, , : S: S1 1S S2 2。 若对任意的若对任意的x,yx,yS S1 1有有 (x(x y)y) (x)(x)(y)(y) 则称则称 为半群为半群V V1 1到到V V2 2的的同态映射同态映射, ,简称简称同态同态
10、( (homomorphism) )。(2)(2)设设V V1 1S,V,V2 2S 是独异点是独异点, , : S: S1 1S S2 2. . 若对任意的若对任意的x,yx,yS S1 1有有 (x(x y)y) (x)(x)(y) (y) 且且 (e(e1 1) )e e2 2, , 则称则称 为独异点为独异点V V1 1到到V V2 2的的同态映射同态映射, ,简称简称同态同态。q 12省略表达省略表达q 为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符 和和 ，而简记为而简记为 (xy)(xy) (x)(x) (y)(y)q 应该记住，该表
11、达式中左边的应该记住，该表达式中左边的xyxy是在是在V V1 1中的运算，而右中的运算，而右边的边的 (x) (x) (y)(y)是在是在V V2 2中的运算。中的运算。q 13同态举例同态举例对于对于例例11.211.2中中的半群和独异点的半群和独异点, ,令令 : S : S S, S, S Sda,ada0000000则对任意的则对任意的Sda,da2221000022110000dada有有212100ddaa00021aa22110000dada00000021aa00021aa即即22110000dada22110000dadaq 14自同自同态态因此，因此， 是半群是半群V V
12、1 1到自身的同态，称为到自身的同态，称为V V1 1的的自同态自同态。但但 不是独异点不是独异点V V2 2的自同态的自同态, ,因为它没有将因为它没有将V V2 2的单位元的单位元映到映到V V2 2的单位元。的单位元。注意：注意： 00011001而而 不是不是V V2 2的单位元。的单位元。00011001, ,2SVq 15本节的主要内容本节的主要内容q 集合集合S S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。q 集合集合S S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。q 半群与独异点的两
13、条幂运算规则：半群与独异点的两条幂运算规则：x xn n x xm mx xn+mn+m ，(x(xn n) )m mx xnmnm 。q 半群半群S S的非空子集的非空子集A A构成子半群的条件（构成子半群的条件（A A对于对于S S中运算封闭）。中运算封闭）。q 独异点独异点S S的非空子集的非空子集A A构成子独异点的条件（构成子独异点的条件（A A对于对于S S中运算封闭，中运算封闭，单位元属于单位元属于A A）。）。q 通过笛卡尔积构造直积通过笛卡尔积构造直积 。q 同态映射的判别：同态映射的判别： (xy)(xy) (x)(x) (y)(y)对于独异点要加上对于独异点要加上 (e)
14、(e)e e。q 16定义定义11.211.2说明说明任取任取, S S ( ( ) = = ad = = (av = a = v ( ( ) = = ()v) = = av) = a = vq 1711.2 11.2 群的定义与性质群的定义与性质q 群是特殊的半群和独异点。群是特殊的半群和独异点。q 群论中常用的概念或术语：群论中常用的概念或术语：有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。q 群的运算规则。群的运算规则。q 18群的定义群的定义 定义定义11.411.4 设设G, 是代数系统，是代数系统， 为为二元运算二元运算。如果。如果 运
15、算是运算是可结可结合合的，的，存在单位元存在单位元e eG G，并且对并且对G G中的任何元素中的任何元素x x都都有有x x-1-1G,G,则则称称G G为为群群（group）。举例举例（考虑例（考虑例11.111.1），(1),(1),都是群都是群, ,而而Z,+和和不是群。不是群。(2)M(2),+是群是群, ,而而M 不是群。因为并非所有的不是群。因为并非所有的n n阶实矩阶实矩阵都有逆阵。阵都有逆阵。(3)P(B),(3) 是群，因为对任何是群，因为对任何B B的子集的子集A A，A A的逆元就是的逆元就是A A自身。自身。(4)Z(4) 是群。是群。0 0是是Z Zn n中的单位元
16、。中的单位元。x xZ Zn n，若若x x0 0，x x的逆元就的逆元就是是0 0，若若x x0 0，则则n-xn-x是是x x的逆元。的逆元。(5)(5)A ，当当|A|A|2 2时不是群。时不是群。q 19KleinKlein四元群四元群设设G Ga,b,c,da,b,c,d， 为为G G上的二元运算，见下表。上的二元运算，见下表。 e ea ab bc ce ee ea ab bc ca aa ae ec cb bb bb bc ce ea ac cc cb ba ae eG G是一个群：是一个群：e e为为G G中的单位元；中的单位元；运算是可结合的；运算是可结合的；运算是可交换的；
17、运算是可交换的；G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中, ,任何两个元素任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。运算的结果都等于另一个元素。称这个群为称这个群为KleinKlein四元群四元群, ,简称简称四元群四元群。q 20群的直积群的直积设设G, , 是群，在是群，在G G1 1 G G2 2上定义二元运算上定义二元运算 如下：如下： ,G G1 1G G2 2 , , ad称称 是是G G1 1与与G G2 2的的直积直积。上一节已经证明：上一节已经证明： 是独异点，是独异点，可以证明对任意的可以证明对任意的G G1
18、1 G G2 2 ,a , 是是的逆元，的逆元，因此因此G G1 1G G2 2关于关于 运算构成一个群。运算构成一个群。q 21群论中常用的概念或术语群论中常用的概念或术语定义定义11.511.5(1)(1)若群若群G G是是有穷集有穷集, ,则称则称G G是是有限群有限群，否则称为否则称为无限群无限群。 群群G G的基数的基数称为群称为群G G的的阶阶，有限有限群群G G的阶记作的阶记作|G|G|。(2)(2)只含单位元只含单位元的群称为的群称为平凡群平凡群。(3)(3)若群若群G G中的二元运算是中的二元运算是可交换可交换的，则称的，则称G G为为交换群交换群或或阿贝尔阿贝尔(Abel)
19、(Abel)群群。q 22例例q ,是无限群。是无限群。q Z 是有限群，也是是有限群，也是n n阶群。阶群。q KleinKlein四元群是四元群是4 4阶群。阶群。q 是平凡群。是平凡群。q 上述所有的群都是交换群。上述所有的群都是交换群。q 但但n n阶阶(n(n2)2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。 q 23群中元素的群中元素的n n次幂次幂定义定义11.611.6 设设G G是群，是群，a aG G，n nZ Z，则则a a的的n n次幂次幂q与半群和独异点不同的是：
20、群中元素可以定义负整数次幂。与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。q在在Z 中有中有 2 2-3-3(2(2-1-1) )3 31 13 31 1 1 1 1 10 0q在在中有中有 3 3-5-5(3(3-1-1) )5 5(-3)(-3)5 5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15-15mnnaanaaneamnn,0)(0011q 24群中元素的阶群中元素的阶定义定义11.711.7 设设G G是群，是群，a aG G，使得等式使得等式 a ak ke e成立的成立的最小正整数最小正整数k k称为称为a a的阶
21、的阶，记作，记作|a|a|k k，这时也称这时也称a a为为k k阶元阶元。若不存在这样的正整数。若不存在这样的正整数k,k,则称则称a a为无限阶元为无限阶元。举例举例q 在在Z 中，中，2 2和和4 4是是3 3阶元，阶元，3 3是是2 2阶元，而阶元，而1 1和和5 5是是6 6阶元，阶元，0 0是是1 1阶元。阶元。q 在在中，中，0 0是是1 1阶元，其它的整数都是无限阶元。阶元，其它的整数都是无限阶元。q 在在KleinKlein四元群中，四元群中，e e为为1 1阶元，其它元素都是阶元，其它元素都是2 2阶元。阶元。q 25群的性质群的性质群的幂运算规则群的幂运算规则 定理定理1
22、1.111.1 设设G G为群为群, ,则则G G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1) a(1) aG,(aG,(a-1-1) )-1-1a a。(2) a,b(2) a,bG G，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(3) a(3) aG G，a an na am ma an+mn+m，n,mn,mZ Z。(4) a(4) aG G，(a(an n) )m ma anmnm，n,mn,mZ Z。(5) (5) 若若G G为交换群，则为交换群，则(ab)(ab)n na an nb bn n。分析：分析：(1)(1)和和(2)(2)可以根据定义证明。可以根据定义证明。(3)
23、(3)、(4)(4)、(5)(5)中的等式中的等式, ,先利用数学归纳法对于自然数先利用数学归纳法对于自然数n n和和m m证出相应的结果，然后讨论证出相应的结果，然后讨论n n或或m m为负数的情况。为负数的情况。q 26定理定理11.111.1的证明的证明(1) a(1) aG,(aG,(a-1-1) )-1-1a a。(a(a-1-1) )-1-1是是a a-1-1的逆元，的逆元，a a也是也是a a-1-1的逆元。的逆元。（或者：（或者：a a-1-1是是a a的逆元，的逆元，a a也是也是a a-1-1的逆元。）的逆元。）根据逆元的唯一性，根据逆元的唯一性， (a(a-1-1) )-
24、1-1a a。(2) a,b(2) a,bG G，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(b(b-1-1a a-1-1)(ab)(ab)b b-1-1(a(a-1-1a)ba)bb b-1-1b be e (ab)(b(ab)(b-1-1a a-1-1) )a(bba(bb-1-1)a)a-1-1aaaa-1-1e e故故 b b-1-1a a-1-1是是 abab 的逆元。的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。根据逆元的唯一性等式得证。q 27定理定理11.111.1的证明的证明(3) a(3) aG G，a an na am ma an+mn+m，n,mn,mZ Z。先考虑先考
25、虑n,mn,m都是自然数的情况。任意给定都是自然数的情况。任意给定n n，对，对m m进行归纳。进行归纳。m m0 0，有，有a an na a0 0a an ne ea an na an+0n+0成立。成立。假设对一切假设对一切mNmN有有a an na am ma an+mn+m成立，则有成立，则有a an na am+1m+1a an n(a(am ma)a)(a(an na am m)a)aa an+mn+ma aa an+m+1n+m+1由归纳法等式得证。由归纳法等式得证。下面考虑存在负整数次幂的情况。下面考虑存在负整数次幂的情况。设设n0n0，m0m0，令，令n n-t-t，tZt
26、Z+ +，则，则a an na am ma a-t-ta am m(a(a-1-1) )t ta am ma a-(t-m)-(t-m)a am-tm-ta an+mn+mtmtma am-tm-ta an+mn+mtmtm对于对于n0,m0n0,m0以及以及n0,m0n0,m0的情况同理可证。的情况同理可证。q 28定理定理11.111.1的证明的证明(5) (5) 若若G G为交换群，则为交换群，则(ab)(ab)n na an nb bn n。当当n n为自然数时，对为自然数时，对n n进行归纳。进行归纳。(ab)(ab)n n(ba)(ba)n n(ba)(ba)-m-m(ba)(ba
27、)-1-1) )m m(a(a-1-1b b-1-1) )m m(a(a-1-1) )m m(b(b-1-1) )m ma a-m-mb b-m-ma an nb bn nn n0 0，有，有 (ab)(ab)0 0e e eeee a a0 0b b0 0。假设假设(ab)(ab)k ka ak kb bk k，则有，则有(ab)(ab)k+1k+1(ab)(ab)k k(ab(ab) ) (a(ak kb bk k)ab)aba ak k(b(bk ka)ba)ba ak k(ab(abk k)b)b(a(ak ka)(ba)(bk k)b)b(a(ak+1k+1)(b)(bk+1k+1)
28、 )由归纳法等式得证。由归纳法等式得证。设设n0n0m0，则，则q 29定理定理11.111.1说明说明q 定理定理11.1(2)11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况中的结果可以推广到有限多个元素的情况, ,即即11111121aaaaaarrr 个nnababababq 注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。q 如果如果G G是非交换群是非交换群, ,那么只有那么只有q 30群方程存在唯一解群方程存在唯一解 定理定理11.211.2 G G为群，为群， a,ba,bG G，方程方程axaxb b和和yayab b在在G G中有解
29、且仅中有解且仅有唯一解。有唯一解。证明：证明：先证先证a a-1-1b b是方程是方程axaxb b的解。的解。将将a a-1-1b b代入方程左边的代入方程左边的x x得得a(aa(a-1-1b)b)(aa(aa-1-1)b)bebeb b b所以所以a a-1-1b b是该方程的解。是该方程的解。下面证明唯一性。下面证明唯一性。假设假设c c是方程是方程axaxb b的解，必有的解，必有acacb b，从而有从而有c cecec(a(a-1-1a)ca)c a a-1-1(ac)(ac) a a-1-1b b同理可证同理可证baba-1-1是方程是方程yayab b的唯一解。的唯一解。q
30、31例例11.511.5例例11.5 11.5 设设群群G GP(a,b), ，其中其中 为集合的对称差运算。为集合的对称差运算。解下列群方程：解下列群方程：(1)(1)aa X X(2)Y(2)Y a,ba,bbb解答：解答：(1) X(1) Xaa-1 -1 aa aa(2) Y(2) Ybb a,ba,b-1-1bb a,ba,b aaq 32消去律消去律 定理定理11.311.3 G G为群为群, ,则则G G中适合消去律，即对任意中适合消去律，即对任意a,b,ca,b,cG G 有有(1)(1)若若ababacac，则则b bc c。(2)(2)若若babacaca，则则b bc c
31、。证明：证明：(1)ab(1)abacac a a-1-1(ab)(ab)a a-1-1(ac)(ac) (a (a-1-1a)ba)b(a(a-1-1a)ca)c eb ebecec b bc c(2)(2)略略q 33例例11.611.6例例11.611.6 设设G G为群，为群，a,ba,bG, kG, kZ Z+ +，证明，证明（a a-1-1ba)ba)k ka a-1-1ba ba b bk kb b证明：证明：充分性充分性（a a-1-1ba)ba)k k (a(a-1-1ba)(aba)(a-1-1ba)(aba)(a-1-1ba) ba) ( (a a-1-1ba) kba)
32、 k个个a a-1-1baba a a-1-1b(aab(aa-1-1)b(aa)b(aa-1-1)b)b(aa(aa-1-1)ba)ba a a-1-1b bk ka a a a-1-1ba (ba (因为因为 b bk kb)b)必要性必要性由（由（a a-1-1ba)ba)k ka a-1-1ba ba 得得(a(a-1-1ba)(aba)(a-1-1ba)ba)( (a a-1-1ba)ba)a a-1-1baba化简得化简得a a-1-1b bk ka aa a-1-1baba由消去律得由消去律得b bk kb b。q 34例例11.711.7例例11.711.7 设设G G为群，为
33、群，a,ba,bG G，且且 (ab)(ab)2 2a a2 2b b2 2 ，证明证明ababbaba。证明：证明： 由由(ab)(ab)2 2a a2 2b b2 2 得得ababababaabbaabb根据群中的消去律，得根据群中的消去律，得 babaabab，即即 ababbaba。q 35例例11.811.8例例11.8 11.8 设设G Gaa1 1,a,a2 2, ,a,an n 是是n n阶群，令阶群，令 a ai iG Gaai ia aj j|j=1,2,|j=1,2,n,n证明证明 a ai iG GG G。证明：证明：由群中运算的封闭性有由群中运算的封闭性有a ai i
34、G G G G。假设假设a ai iG G G G，即即|a|ai iG|nG|n。必有必有a aj j,a,ak kG G 使得使得a ai ia aj ja ai ia ak k （j jk k）由消去律得由消去律得 a aj j=a=ak k, ,与与|G|G|n n矛盾。矛盾。q 36群中元素的阶的性质群中元素的阶的性质定理定理11.411.4 G G为群，为群，a aG G且且|a|a|r r。设。设k k是整数是整数, ,则则(1) a(1) ak ke e当且仅当当且仅当 r|kr|k(2) |a|(2) |a|a|a-1-1| |证明：证明：(1)(1)充分性充分性。由于由于r
35、|kr|k，必存在整数必存在整数m m使得使得k kmrmr，所以有所以有a ak ka amrmr(a(ar r) )m me em me e。必要性必要性。根据除法，存在整数根据除法，存在整数m m和和i i使得使得k kmr+imr+i，0 0i ir-1r-1从而有从而有e ea ak ka amr+imr+i(a(ar r) )m ma ai ieaeai ia ai i因为因为|a|a|r,r,必有必有i i0 0。这就证明了。这就证明了r|kr|k。q 37定理定理11.4(2)11.4(2)证明证明(2) |a|(2) |a|a|a-1-1| |由由(a(a-1-1) )r r
36、(a(ar r) )-1-1e e-1-1e e，可知可知 a a-1 -1 的阶存在。的阶存在。令令|a|a-1-1| |t t，根据上面的证明有根据上面的证明有 t|rt|r。这说明这说明a a的逆元的阶是的逆元的阶是a a的阶的阶r r的因子。的因子。而而a a又是又是a a-1-1的逆元，的逆元，根据条件有根据条件有|a|a-1-1| |(a|(a-1-1) )-1-1| |a|a|，所以所以a a的阶也是的阶也是a a-1-1的阶的因子，故有的阶的因子，故有r|tr|t。从而证明了从而证明了r rt,t,即即|a|a|a|a-1-1| |。q 38证明元素的阶相等的方法证明元素的阶相
37、等的方法证明证明|x|x|y|y|的方法：的方法：令令|x|x|r r，|y|y|s s验证验证 (x)(x)s se e r|s r|s验证验证 (y)(y)r re e s|r s|r因此因此 r rs s，即，即 |x|x|y|y|。q 39例例11.911.9例例11.911.9 设设G G是群，是群，a,ba,bG G是有限阶元。证明是有限阶元。证明(1)|b(1)|b-1-1ab|ab|a|a|(2)|ab|(2)|ab|ba|ba|证明：证明：(1)(1)设设|a|a|r,|br,|b-1-1ab|ab|t t，则有则有 (b(b-1-1ab)ab)r r(b(b-1-1ab)(
38、bab)(b-1-1ab)ab)(b(b-1-1ab) (rab) (r个个b b-1-1ab)ab)b b-1-1a ar rb b b b-1-1ebeb e e根据定理根据定理11.411.4，可知，可知b b-1-1a ab b的阶是的阶是a a的阶的因子，即的阶的因子，即t|rt|r。另一方面，另一方面，a ab(bb(b-1-1ab)bab)b-1-1(b(b-1-1) )-1-1(b(b-1-1ab)bab)b-1-1 可知可知, ,(b(b-1-1) )-1-1( (b b-1-1abab) )b b-1-1的阶是的阶是b b-1-1abab的阶的因子，即的阶的因子，即r|tr
39、|t。从而有从而有|b|b-1-1ab|=|a|ab|=|a|。q 40例例11.9(2)11.9(2)证明证明(2)|ab|(2)|ab|ba|ba| |设设|ab|ab|r,|ba|r,|ba|t t，则有则有(ab)(ab)t+1t+1 (ab)(ab(ab)(ab) )(ab)(ab)t+1t+1个个abab a(ba)(baa(ba)(ba) )(ba)b(ba)bt t个个baba a(ba)a(ba)t tb b aebaeb abab由消去律得由消去律得(ab)(ab)t te e，从而可知，从而可知，r|t.r|t.同理可证同理可证 t|rt|r。因此，因此，|ab|ab|b
40、a|ba| |。q 41例例11.1011.10例例11.1011.10 设设G G为有限群，则为有限群，则G G中阶大于中阶大于2 2的元素有偶数个。的元素有偶数个。证明：证明：根据定理根据定理11.411.4可知，对于任意可知，对于任意a aG G，有有a a2 2e e |a| |a|1 1 或或 |a|a|2 2若若a a2 2e e，则有则有 a a-1-1a a2 2a a-1-1e e，即，即 a aa a-1-1。反之，若反之，若a aa a-1-1，则有则有 a a2 2aaaaaaaa-1-1e e，这就推出，这就推出a a2 2e e a aa a-1-1。综合上述可知，
41、对综合上述可知，对G G中阶大于中阶大于2 2的元素的元素a a，必有必有a aa a-1-1。又由于又由于|a|a|a|a-1-1| |，所以所以G G中阶大于中阶大于2 2的元素一定成对出现。的元素一定成对出现。G G中若含有阶大于中若含有阶大于2 2的元素，一定是偶数个。的元素，一定是偶数个。若若G G中不含阶大于中不含阶大于2 2的元素，而的元素，而0 0也是偶数。也是偶数。q 42例例11.1111.11例例11.1111.11 设设G G为群，为群，a,ba,bG G，且且ababbaba。如果。如果|a|=n,|b|=m,|a|=n,|b|=m,且且n n与与m m互质，证明互质
42、，证明|ab|ab|nmnm。证明证明: : 设设|ab|ab|d d。由由ababbaba 可知可知(ab)(ab)nmnm(a(an n) )m m(b(bm m) )n ne em me en ne e。 从而有从而有 d|nmd|nm。又由又由a ad db bd d(ab)(ab)d de e，可知可知 a ad db b-d -d ，即即|a|ad d| |b|b-d-d| |b|bd d| |。再根据再根据(a(ad d) )n n(a(an n) )d de ed de e得得|a|ad d| | |n n。同理有同理有|b|bd d| | |m m。 从而知道从而知道|a|a
43、d d| |是是n n和和m m的公因子。的公因子。因为因为n n与与m m互质，所以互质，所以|a|ad d| |1 1。这就证明了这就证明了 a ad de e，从而，从而 n|dn|d。同理可证同理可证 m|dm|d，即即d d是是n n和和m m的公倍数。的公倍数。由于由于n n与与m m互质，必有互质，必有 nm|dnm|d。综合前边的结果得综合前边的结果得 d dnmnm。即即|ab|ab| |nmnm。 q 43本节主要内容本节主要内容q 集合集合G G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）。元、每个元素有逆元
44、）。 q 特殊群的定义（有限与无限群、特殊群的定义（有限与无限群、AbelAbel群、平凡群）与群的群、平凡群）与群的阶。阶。 q 元素的幂与元素的阶元素的幂与元素的阶q 群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质。元素的阶的性质。 q 4411.3 11.3 子群子群q 子群就是群的子代数子群就是群的子代数q 子群的定义子群的定义q 子群的三个判定方法子群的三个判定方法q 重要子群的实例重要子群的实例生成群、中心生成群、中心q 找到有限群的全部子群的方法找到有限群的全部子群的方法q 45子群的定义子群的定义定义定义11.
45、811.8 设设G G是群，是群，H H是是G G的的非空子集非空子集，如果，如果H H关于关于G G中的运算构成中的运算构成群群，则，则称称H H是是G G的的子群子群( (subgroup) )，记作记作 H HG G。若若H H是是G G的子群，且的子群，且H H G G，则称则称H H是是G G的的真子群真子群( (proper subgroup) )，记，记作作 H HG G。说明：说明：对任何群对任何群G G都存在子群。都存在子群。G G和和ee都是都是G G的子群，称为的子群，称为G G的的平凡子群平凡子群( (trivial subgroup) ) 。 举例：举例：nZnZ（n
46、 n是自然数）是整数加群是自然数）是整数加群Z,+Z,+的子群。的子群。当当n n1 1时时,nZ,nZ是是Z Z的真子群。的真子群。q 46子群的判定定理一子群的判定定理一定理定理11.511.5（判定定理一）（判定定理一）设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子的子群当且仅当下面的条件成立：群当且仅当下面的条件成立：(1) (1) a,ba,bH H，有有 ababH H。(2) (2) a aH H，有有 a a-1-1H H。证明：证明：必要性是显然的。必要性是显然的。为证明充分性，只需证明为证明充分性，只需证明e eH H。（。（为什么？为什
47、么？）因为因为H H非空非空，必存在必存在a aH H。由条件由条件( (2)2)可知，可知，a a-1-1H H，再使用条件再使用条件( (1)1)有有 aaaa-1-1H H，即即e eH H。q 47子群的判定定理二子群的判定定理二定理定理11.611.6（判定定理二）（判定定理二） 设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的的子群当且仅当子群当且仅当a,ba,bH H有有abab-1-1H H。证明：证明：必要性。必要性。任取任取a,ba,bH H，由于由于H H是是G G的子群，必有的子群，必有b b-1-1H H，由封闭性有由封闭性有 abab
48、-1-1H H。充分性。充分性。因为因为H H非空，必存在非空，必存在a aH H。根据给定条件得根据给定条件得 aaaa-1-1H H，即即e eH H。任取任取a aH H，由由e,ae,aH H 得得 eaea-1-1H H，即即a a-1-1H H。任取任取a,ba,bH H，由刚才的证明知由刚才的证明知 b b-1-1H H。再利用给定条件得再利用给定条件得a(ba(b-1-1) )-1-1H H，即即 ababH H。综合所述，根据判定定理一，可知综合所述，根据判定定理一，可知 H H是是G G的子群。的子群。q 48子群的判定定理三子群的判定定理三定理定理11.7(11.7(判定
49、定理三判定定理三) ) 设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。如果的非空子集。如果H H是是有穷集，则有穷集，则H H是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,ba,bH H有有ababH H。证明：证明：必要性必要性是显然的。是显然的。充分性充分性。只需证明。只需证明 a aH H有有a a-1-1H H。任取任取a aH H，若若a ae e，则则a a-1-1e e-1-1eHeH。若若a ae,e,令令 S Sa,aa,a2 2, , ，则，则S S H H。由于由于H H是有穷集，必有是有穷集，必有a ai ia aj j（iji1j-i1，由此得由此得a aj-i-1
50、j-i-1a ae e 和和 aaaaj-i-1j-i-1e e从而证明了从而证明了 a a-1-1a aj-i-1j-i-1H H。 q 49子群实例子群实例生成子群生成子群 例例11.1211.12 设设G G为群，为群，a aG G，令令H Haak k|k|kZZ，即，即a a的所有的幂构的所有的幂构成的集合，则成的集合，则H H是是G G的子群，称为由的子群，称为由a a生成的子群生成的子群，记作记作。证明：证明：由由a a知道，知道，。任取任取a am,a,al，则则a am(a(al) )-1-1a ama a- -la am- -l根据判定定理二可知根据判定定理二可知G G。举