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1、精选优质文档-倾情为你奉上9-7 用向量方法证明平行与垂直(理) 1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心若zxy，则xyz的值为() A1B. C2D.答案C解析.xyz12.2(2011银川月考)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的可能是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析欲使l，应有na，na0，故选D.3二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A
2、. B. C2 D.答案C解析如下图二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，来源:K|2|2|2|2|222232cos604，|2.4(2011宁德模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)答案C解析设a(x，y，z)，由条件知(2，1,3)，(1，3,2)，a，a，|a|，将选项代入检验知选C.5平面经过三点A(1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A. B(6，2
3、，2)C(4,2,2) D(1,1,4)答案D解析设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.6将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|2的值为()A. B2C. D.来源:K答案D解析由题意，翻折后ACABBC，ABC60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2011南通模拟)设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_答案垂直解析ab1223(4)10，且a与b分别是平面、的法向量，.8(2011金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(
4、2，5,1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为_答案(，1，)解析C为线段AB上一点，存在实数0，使，又(2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，C(，1，)9.如下图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_答案1解析以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设DFt，CEk，则D1F1t，F(0,0,1t)，E(k,1,1)，要使B1E平面ABF，易知ABB1E，故只要B1EAF即可，(1,0，t)，(k1
5、,0,1)，1kt0，kt1，即CEDF1.10(2011绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)如上图，()，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面(2)()，且E、H、B、D四点不共线，EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COMBD平面EFGH.11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45
6、 C60 D120答案C解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.12在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点求证：BO1平面ACD1.证明建立如下图所示的空间直角坐标系，O为AC的中点，由于正方体的棱长为1，则B(1,0,0)，O1(，1)，D1(0,1,1)，O(，0)(，1)，(，1)，BO1OD1，又BO1平面ACD1，OD1平面ACD1，BO1平面ACD1.13.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点求证：CEAD.证明设a，b，c，根据题
7、意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，()()cba.c2b20.，即CEAD.14.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：平面C1E1F平面CEF.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，2)设平面C1E1F的法向量n(x，y，z)(1，0)，(1,0,1)，即，令x1，则y2，z1，n(1,2,1)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即.
8、令a1，则m(1,0,1)mn1(1)20110，平面C1E1F平面CEF.15(2011海口调研)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，E是AD的中点，F是PC的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)求证：EF平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值解析解法一：(1)E是AD中点，连接PE，AB2，AE1.BE2AB2AE22ABAEcosBAD41221cos603.AE2BE2134AB2，BEAE.又平面PAD平面ABCD，交线为AD，BE平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，AE綊BC，又
9、HF是PBC的中位线，HF綊BC，AE綊HF，AHFE是平行四边形，EFAH，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)由(1)知，BCBE，PEBC，又PE，BE是平面PBE内两相交直线，BC平面PBE，又由(2)知，HFBC，HF平面PBE，FEH是直线EF与平面PBE所成的角，易知BEPE，在RtPEB中，EH，tanFEH，cosFEH.故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系Exyz如下图易求BEPE，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，因为F是PC的中点，则F(1，)来源:高&考%资(源#网 wxc(1)010000，即EBEA，00000，即EBEP，EA，EP是平面PAD内的两相交直线，来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COMEB平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)y轴平面PBE，z轴平面PBE，平面PBE的法向量为n(1,0,0)，(1，)，设直线EF与平面PBE所成角为，sin，cos，故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为. 专心-专注-专业