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1、精选优质文档-倾情为你奉上第12讲：函数（线性目标函数和综合函数）模型及其应用【考纲要求】1、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。2、会利用导数解决某些实际问题。【基础知识】三、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系；（6）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义。（2）分析实际问题中各
2、量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；来源:学|科|网Z|X|X|K（3）解：求解数学模型，
3、得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果来源:Zxxk.Com例1 某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？ 设备产品ABCD甲2140乙2204解： 设计划期内生产甲x件，生产乙y件， 则 即 目标函数z=2
4、x+3y，作直线2x+3y=t如图所示，可见当直线2x+3y=t过A点时，它在y轴上的截距最大，从而t最大显然A点坐标为（4，2）当x=4，y=2时，可获得最大利润14元函数模型综合函数使用情景一般与复杂的综合函数有关解题步骤（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义。（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数，解方程；（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大
5、（小）值，但是要进行必要的单调性说明。例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。解：（）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得， 因此. 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
6、（），令，即. 解得 ，（舍去）. 当 时， 当时， ， 故是 的最小值点，对应的最小值为。 当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值为70万元。【高考精选传真】xOyPA1、（2012年高考真题上海理21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2
7、）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解析（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 【反馈训练】1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )A.5种 B.6种 C.7种 D.8种2.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A
8、产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万
9、元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元4.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( ) A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 . 5、一个高为H，水量为V的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个洞，满缸水从洞中流出，如果水深为
10、h时水的体积为v，则函数的大致图象是（ ）A B C DA B C x 7.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？8.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为
11、了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）9.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？来源:Zxxk.Com来源:学科网ZXXK10.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质
12、和54个单位的维生素。如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?(2) 因为p=100+3(5x)+2(8y),所以3x+2y=131p,设131p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 【变式演练2详细解析】（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时. 共耗油升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶
13、时耗油量最少，耗油量为S升. 则， ， 令，解得，. 列表：单调减极小值11.25单调增y0x70488070(15,55)所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.【反馈训练详细解析】1.C【解析】直接列举就可以得到选C.2.B【解析】：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y（3，4）（0，6）O（，0）913结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.所以选B 3, D【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：A原料B原料甲产品吨32乙产品吨3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的
14、坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得7. 【解析】 （）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小9. 【解析】：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。3x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC2.5x+4y=0O10. y【解析】：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件 即作直线，平移直线至，x当 经过C点时，可使达到最小值。由 即，此时，答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。专心-专注-专业