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1、精选优质文档-倾情为你奉上通信工程学习资料2012年2月专心-专注-专业带通信号的数字传输摘 要远程数字传输通常需要用连续波调制来产生一个带通信号以适应不同的传输介质，例如无线电波、电缆、电话线（用于个人电脑的因特网连接）或者其它媒介。正如模拟信号有多种调制方式一样，数字信息也可以被多种方式添加到载波上。本课程将把基带数字传输和连续波调制的概念应用到带通数字信号传输的研究中去。课程首先研究二元和多元信号的连续波数字调制波形和频谱分析。然后重点研究含噪条件下的二元信号解调，并从中得出相干（同步）检波和非相干（包络）检波的区别。最后，课程进一步研究多元正交载波系统和多元恒定包络FSK系统。在综合考
2、虑频谱效率、硬件复杂度和系统性能等因素，对比了有噪声条件下各种调制方式。本课程具有内容详实，讲述由浅入深，简明透彻，概念清楚，重点较为突出等特点。为了更好地掌握本课程，读者需要高等数学，信号与系统及随机信号分析等相关课程的基础，讲解过程中涉及到的相关内容请查阅相关课程的参考书。通过本课程的学习，能够使读者理解二元及多元数字调制信号的基带脉冲波形及功率谱的数学表达式，熟悉相关发射机/接收机的原理框图，计算二元和多元调制系统的错误概率，最终达到掌握数字调制技术的目的。目 录不要删除行尾的分节符，此行不会被打印目 录千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目
3、录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行第1章 连续波数字调制数字信号能够调制正弦载波的幅度、频率或相位。如果调制波形包含不归零矩形脉冲信号，那么调制参数将被改变，或从一个离散值被键控到另一个。图1-1描述了二元幅移键控（ASK）、频移键控（FSK）和相移键控（PSK）。同时作为对比，图中画出了经过基带奈奎斯特（Nyquist）脉冲成形的双边带（DSB）调制信号波形。而其它调制技术则结合了幅度调制和相位调制，它们有的使用了基带脉冲成形，有的则没有使用。本章将以数学模型和/或发射机简图的形式来定义数字调制的具体类型。同时，本节将考察几种调制方式的功率谱，并对特定的数字信号
4、速率所需的传输带宽进行估计。为此，首先介绍一种带通数字信号的频谱分析方法。图1-1 二元调制波形：(a)ASK；(b)FSK；(c)PSK；(d)基带脉冲成形后的DSB1.1 带通数字信号的频谱分析任何已调制的带通信号可以表示成如下正交载波的形式(1-1)其中，载波频率、振幅和相位都是常量，调制信息包含在随时间变化的（同向）分量和（正交）分量中。当分量和分量均为统计独立信号且至少其中的一个具有零均值时，的频谱分析就变得相对简单。那么由叠加关系和调制关系可知，的功率谱为其中，和分别为分量和分量的功率谱。为了得到一个更加简洁的表达式，定义等效低通频谱 (1-2)从而有 (1-3)因此，带通信号频谱
5、可以由等效低通频谱通过简单的频谱转换得到。假设分量是一个多元数字信号，即(1-4a)其中，表示码率为的信源数字序列。假设信源码字都是等概、统计独立和非相关的。因此，即可得到(1-4b)当分量为另一个数字波形时，也可以得到相似的表达式。如果有基带滤波的话，公式(1-4a)中的冲击函数的波形由基带滤波决定，并且还要看具体的调制方式。键控调制包含非归零矩形脉冲，使用在时刻开始的脉冲比使用中间时刻在的脉冲更加方便。因此令(1-5a)上式经傅里叶变换得到(1-5b)如果在公式(1-4a)中有成立，那么公式(1-4b)中的连续谱项就正比于。既然是非带限的，由公式(1-2)和公式(1-3)可知键控调制需要满
6、足，这样才能产生一个带通信号。1.2 幅度调制如图1-1a所示的二元ASK波形可以简单地由控制载波的开与关而产生，这个过程被描述为开关键控（OOK）。一般地，一个元ASK波形有个离散“开”状态或者个“关”状态。由于没有相位翻转或者其它变化，可以令的分量为零且令分量为单极性非归零信号，即(1-6a)数字序列的均值和方差为(1-6b)因此，等效低通频谱为(1-7)上式可由公式(1-2)、公式(1-4b)和公式(1-5b)得到。图1-2表示当时带通谱的情况。大部分信号功率包含在的范围内，且频谱有一个正比于的二阶滚降偏离载频。这就意味着传输带宽。如果一个元ASK信号表示为比特速率是的二元数据，那么就有
7、或下式成立(1-8)比特速率和传输带宽的比值可以被认为是调制“速度”或者频谱效率的度量。当时，由于bps/Hz，二元OOK具有最差的频谱效率。借鉴正交载波复用的原理，正交载波幅度调制（QAM）的调制速度是二元ASK的两倍。图1-3a描述了输入码率为的二元极性码的二元QAM发射机的功能模块。串并转换器将输入轮流分配给两路码率为的码流。因此，分量和分量调制信号可以表示为图1-2 ASK的功率谱图1-3 二元QAM：(a)发射机；(b)信号星座图其中且。在任意区间内，调制波形的峰值为。在图1-3b中将这些信息表示为二维信号星座图。四个信号点被标记为信源比特的对应对，称为双比特。将已调载波相加最终得到
8、具有公式(1-1)形式的QAM信号。分量和分量相互独立，且具有相同的脉冲波形和统计值，即且。因此(1-9)这里利用了公式(1-4b)和公式(1-5b)并代入了。由于双比特的码率等于输入比特速率的一半，传输带宽减少为，因此二元QAM能够达到bps/Hz。然而， ASK和QAM的实际频谱超出了估计的传输带宽。当频谱溢出对其它信号通道造成干扰时，溢出带宽的频谱在广播传输和频分复用系统中变成了一个重要的关注点。调制器带通滤波能够控制溢出，但是，由于过度滤波会在已调信号中引入码间干扰（ISI），因此应该尽量避免过度滤波。无溢出的频谱效率可以通过如图1-4a所示的余迹边带（VSB）调制器实现。VSB方式对
9、极性输入信号应用奈奎斯特（Nyquist）脉冲成形，产生了一个带宽为的带限调制信号。然后，VSB滤波器在一个边带滤掉了除一个带宽为的余迹边带以外的所有频带，所以看起来就类似于如图1-4b所示的一个带宽为的带限频谱。因此，如果有成立，那么就有(1-10)当且时，上边带保持不变。图1-4 数字VSB：(A)发射机；(B)功率谱1.3 相位调制在图1-1c中，二元PSK的波形包含弧度的相移，二元PSK通常被描述为二元相移键控（BPSK）或倒相键控（PRK）。一个元PSK信号在时间区间内有的相位偏移，一般表示为(1-11)通过余弦函数的三角函数展开公式得到期望的正交子载波形式(1-12a)其中(1-1
10、2b)对于一个给定的，为了保证最大可能的相位调制，令和的关系为(1-13)此处是一个整数，通常为0或1。图1-5所示为PSK信号星座图的一个例子，其中包含了采用格雷码的二元码字。相邻信号点的二元码字仅差一个比特。在图1-5a中，且的PSK信号被定义为四元或四相PSK（QPSK）。如果令QPSK中的，那么信号点将等同于QAM（如图1-3b所示）。事实上，可以将二元QAM看作由两个采用正交载波的BPSK信号组成。当然，由于一个理想的PSK波形总是有恒定的包络，因此元PSK不同于元ASK。图1-5 PSK信号星座图：(a) ；(b) 其实，PSK的频谱分析可以变得非常容易，只需从公式(1-12b)和
11、公式(1-13)中注意到下面的结果因此，分量和分量统计独立且(1-14)对比公式(1-7)可以看出，在没有载频脉冲的情况下，具有和ASK相同的频谱形状（如图1-2所示）。不含离散载波分量意味着PSK有更好的功率利用率，但频谱效率与ASK相同。有些PSK发射机包括带通滤波器来控制频谱溢出。然而，带通滤波会产生包络变化，该变化是由FM-AM转换效应所引起（记住分步相移等价于调频脉冲）。在微波载波频段上使用的典型非线性放大器将会使包络变化平坦，并恢复频谱溢出，这将极大地削弱带通滤波器的作用。被称作交错或补偿键控QPSK（OQPSK）的一种QPSK的特殊形式已经被设计出用来解决这一问题。图1-6所示的
12、OQPSK发射机延迟了正交信号，使得调制后的相位偏移每隔秒发生，而又绝不超过弧度。最大相移减半将导致带通滤波输出的信号包络变化更小。图1-6 偏移四相相位键控发射机当包络变化在允许范围之内时，联合幅相键控（APK）是一种有吸引力的调制方式组合。实际上，APK有着和PSK相同的频谱效率，但考虑到噪声和差错的影响，APK的性能会更好一些。进一步的讨论将在第4章中给出。1.4 频率调制数字调频有两种基本方法。图1-7a从概念上表示了频移键控（FSK），其中，数字信号控制着一个开关，用来从个振荡器中选择调制频率。在每个转换时刻，调制信号是不连续的。除非每个振荡器的幅度、频率和相位都被仔细调整，不然由此
13、产生的输出频谱将包含相对较大的旁瓣，这些旁瓣不携带任何附加信息，因此浪费了带宽。图1-7b所示的连续相位FSK（CPFSK）调制能够避免不连续性，其中用调制单一振荡器产生的频率。由于对这两种数字调频形式的频谱分析有很大困难，因此，本节只考虑某些特定情况。首先考虑元FSK。令图1-7a中所有振荡器具有相同的振幅和相位，并令它们的频率与的关系为(1-15a)这里假设是偶数，那么有(1-15b)其中，。当时，参数等于离开载频的频偏，且相邻频率间隔为。如果，为整数，那么就可以保证在处的连续性。图1-7 数字调频：(a) FSK；(b) 连续相位FSK下面分析一个被称为桑德（Sunde，1959）FSK
14、3的二元FSK，其定义如前所述且、。进而，则有(1-16)在对进行三角函数展开后，利用得到因此分量化简为(1-17a)上式独立于。分量的形式包含(1-17b)其中(1-17c)代入过程作为启发练习留给读者。这样，又一次得到了分量和分量。作为一个正弦函数，分量在等效低通频谱中仅在处存在频率脉冲。因为而，分量的功率谱不包含脉冲。因此(1-18a)其中(1-18b)得到的带通频谱如图1-8所示。注意，脉冲对应在键控频率处，并且频谱有四阶滚降。快速滚降意味着桑德FSK3在当时有非常小的频谱溢出，因此取，尽管的主瓣比二元ASK或PSK频谱主瓣宽50%。图1-8 当时的二元FSK功率谱另一个特殊情况是元正
15、交FSK，其中个键控频率有相等的频率间隔。如若不经频谱分析，可以猜测有。因此(1-19)并且，当时调制速度小于元ASK或PSK。换句话说，正交FSK是一种宽带调制方式。CPFSK是宽带还是窄带取决于频偏。令图1-7b中的从开始，因此调频产生的CPFSK信号为了得出CPFSK和FSK的差异，考虑积分其中，除了当时外，其余情况。经分段积分得到现在可以用求和的形式表示(1-20a)其中且(1-20b)上式当时，。公式(1-20)表明，正如FSK一样，CPFSK在区间内有的频偏。但CPFSK也有一个由前面数据而决定的相移。这个相移由调频过程产生，并对所有均连续。遗憾的是，已经产生的会极大地增加CPFS
16、K频谱分析的复杂度。文献4给出了更多细节，并画出了当、取不同值时的图形。下面考察二元CPFSK的一个重要特殊情况作为本节的结尾，即最小键控（MSK）。1.5 最小键控（MSK）和高斯滤波最小键控最小键控也被称为快速FSK，它是满足下述条件的二元CPFSK(1-21)注意到的频率间隔是桑德FSK3的一半。这一事实以及连续相位的特性，就得到了一个不含脉冲且更紧凑的频谱。随后的分析将会证明和(1-22)图1-9所示带通频谱有很小超出主瓣宽度的溢出。快速滚降取，因此有上式的调制速度是桑德FSK3的两倍，这就解释了为什么它被称为快速“FSK”。图1-9 MSK的功率谱下面，根据三角函数展开，将写成正交载
17、波的形式其中本节也将利用图1-10中描述的和的网格关系。它清晰地揭示了，当为偶数时，以及当为奇数时，。图1-10 MSK的相位网格作为一个特殊的例子，令输入信息序列为。得到的相位路径如图1-11a所示。令代表输入比特1，代表代表输入比特0。对应的分量和分量波形可以由上面表达式计算得到，如图1-11b所示。通过观察可以发现，两个波形每隔都有零点，且交错分布。此时，的零点对应于的峰值，反之亦然。这些观察结果将有助于进一步分析。考虑一个分量相邻零点间的任意时间区间，例如其中为偶数，在区间内将上式两项合并成一项。因为为偶数，经三角函数运算得到同样，利用得到因此，对于问题区间，对所有区间求和，最终得到(
18、1-23)其中(1-24)因为当为偶数时，这一结果也验证了图1-11b中的波形。现在，对于分量，考虑区间，其中为奇数。经和上文相似的推导得到因此，对于所有有(1-25)上式同样与图1-11b吻合。公式(1-22)可以由公式(1-23)公式(1-25)得出，由于分量和分量相互独立，有以及。图1-11 MSK示意图：(a)相位路径；(b) 分量和分量的波形MSK的进一步变化就得到了高斯滤波MSK（GMSK），它可以实现旁瓣更陡峭的滚降。回忆一下本章前面部分，数据脉冲有着矩形形状，其频谱旁瓣也相当大。为了减小这些旁瓣进而减小，需要对基带二元脉冲使用下面的高斯低通滤波器（LPF）函数进行预滤波。(1-
19、26)正如LPF一样，对应LPF的半功率（例如，3dB）带宽。在公式(1-24)和公式(1-25)的推导中使用的函数，变为下面形式(1-27)GMSK的一个重要设计参数是。文献5已经对于不同值给出了功率谱密度的特征。表 11 包含给定百分比功率的GMSK占有的带宽%功率909999.999.990.200.520.570.690.780.790.991.220.250.861.091.370.51.041.332.08（MSK）1.202.766.00第2章 相干二元系统相干带通数字系统在接收机端使用关于载波频率和相位的信息来检测消息，例如同步模拟检测。非相干系统不需要和载波相位同步，但它们无
20、法达到相干检测所能达到的最优性能。本章考察相干二元传输，在加性高斯白噪声（AWGN）存在的条件下，首先从最佳二元检测的一般处理入手。然后从所得结果来评估具体二元调制系统的性能。本节始终关注键控调制（OOK、PRK和FSK），这些键控调制不包含基带滤波或可能在调制信号中产生ISI的传输失真。2.1 最佳二元检测任何键控调制后的带通二元信号可以被表示成一般正交载波形式对于实际的相干系统，载波应和数字调制同步。因此，令并添加如下条件(2-1)其中，是整数，而且通常是较大的整数。因此考虑一个单比特区间(2-2)其中上式中，代表两信号波形和中的任意一个，和分别表示和的消息比特。现在考虑接收信号被高斯白噪
21、声污染。一个最佳基带接收机能够在与基带脉冲波形相匹配的滤波器的帮助下实现错误概率最小化。然而，二元连续波调制包含如公式(2-2)所示的两种不同信号波形，而不是两个不同幅度的同一种脉冲波形。因此，必须对和重新做先前的分析。图2-1给出了本章所提到的接收机结构图，图中标出了考虑区间内对应的信号和噪声。带通接收机与基带接收机十分相似，其不同之处是带通接收机使用带通滤波器而不是低通滤波器。经过滤波的信号和噪声一起，在位于比特间隔末尾的时刻被采样，并与门限值进行对比，重新生成最可能的消息比特。这里采用带通滤波器的冲击响应以及门限值进行最佳二元检测，从而获得最小平均重建错误概率。图2-1 带通二元接收机令
22、和分别代表和。接收机根据观察随机变量的值来决定还是。其中(2-3)噪声采样值是零均值且方差为的随机变量，因此当给定或时，的条件概率密度是一条对称中心位于或的高斯型曲线，如图2-2所示。对于通常情况下0和1概率均等的假设，最佳门限取在交叉点处，例如那么由概率密度函数的对称性得到，且其中，绝对值符号包括了的情况。图2-2 条件概率密度函数然而，什么样带的通滤波器的冲击响应能够使最大化，或者，等效于使最大化？为解决这个问题，由公式(2-3)得到(2-4a)其中，由于在区间外，因此无穷极限可以取到。同时也注意到(2-4b)应用施瓦茨不等式。得到(2-5)且当时比值最大，因此有(2-6)其中，为任意常数
23、。公式(2-6)表明，最佳二元检测的滤波器应该与两种信号波形的差值相匹配。或者，可以用图2-3a中平行排列的两个冲击响应分别为和的匹配滤波器；上面分支的输出减去下面分支的输出也会得到同样的最佳冲击响应。不论哪种情况，为防止在后续的比特间隔上发生ISI，任何滤波器中存储的能量必须在每个采样时刻后被释放。另一种选择，带有内置能量释放装置，是基于观察图2-3a上半支采样信号值为对于也是同样的。因此，最佳滤波器可以通过如图2-3b所示的系统图来实现，其中，需要两个乘法器、两个积分器以及和的存储副本。这种系统被称为相关检测器，因为它将接收到的含噪声信号与无噪信号波形副本进行关联处理。注意，相关检测是匹配
24、滤波器的积分-清除技术的推广。同样也需要注意的是，只有在采样时刻时，匹配滤波器和相关检测器才等效。图2-3 最佳二元检测：(a)平行匹配滤波器；(b)相关检测器不考虑特殊的实现方式，最佳二元检测的差错概率依靠公式(2-5)中最大化的比值。这一比值反过来要靠每比特的信号能量以及信号波形的相似程度。为此，考虑下面的展开其中(2-7)这里定义和分别为和的能量，正比于两个信号的相关系数。定义该相关系数为(2-8)因为0和1的出现概率相等，所以每比特的平均信号能量为进而得到(2-9a)且(2-9b)或者，如果信号能量相等(2-9c)当和确定时，公式(2-9)说明了对于系统性能的重要性，以及系统性能如何依
25、靠两信号的相关系数。最后，将公式(2-6)代入公式(2-3)得到和，因此有(2-10)注意的是，最佳门限的表达式中不包含。2.2 相干OOK、BPSK和FSK尽管ASK自身特点几乎不能保证复杂系统设计，但是简要的分析相干开关键控将有助于阐明最佳检测的概念。OOK信号波形是(2-11)载波频率条件意味着，对于任意比特间隔，同时肯定有。因此，相干检测接收机可简化为图2-4的形式，其中一个与载波同步的本地振荡器提供的存储副本。位同步信号启动采样-保持单元并复位积分器。由于（假设的）和的谐波关系，两个同步信号可以来源于同一信号源。图2-4 OOK或BPSK的相干接收机现在利用公式(2-7)和公式(2-
26、11)得到且因此。令门限，并由公式(2-9)得到最小平均差错概率，即(2-12)显然，相干OOK的性能等同于单极性基带传输。更好的性能可以通过相干BPSK实现。令两键控相位分别为0弧度和弧度。因此(2-13)关系定义了双极性信号，类似于极性码基带传输。这样很快就能得到因此且(2-14)这样，在其它因素相同的情况下，BPSK比OOK就会节约3dB信号能量。因为，一个相干BPSK接收机仅需一个匹配滤波器或相关器，这和OOK是一样的。但是，现在并且由于，因此若接收信号经过衰减后，BPSK的门限无需重新调整。此外，BPSK近似恒定的包络，使得BPSK相对较难受到非线性失真影响。因此，BPSK的性能在几
27、个方面是优于OOK的，而它们的频谱效率却是相同的。下面将要看到BPSK的性能同样优于二元FSK。考虑频移为的二元FSK及其信号波形(2-15)其中，且(2-16)而上式与频移有关。如果，则相当于桑德FSK3，此时，且错误概率与OOK的相同。当存在相位不连续时可以进行一些改进，但无论如何选择，始终有。因此，二元FSK不能显著地实现宽带降低噪声，并且BPSK至少有dB的能量优势。另外，最佳FSK接收机远比图24所示的复杂。对于的MSK情况，其差错概率与BSPK相同，也就是说。文献5依据经验判定GMSK的差错概率为其中(2-17)注意，它们的一般MSK的经验结果不同于理论值。2.3 时间和同步最后，
28、考虑与最佳相干检测有关的定时和同步问题。为此，考虑带通信号波形及匹配滤波器将应用到其匹配滤波器上，得到的响应为(2-18)其中，。图25所示的标出了预期的最大值，且通过在采样时刻后滤波器放电，时的响应将会被清除。注意到图中画出包络的虚线就是相干接收机积分器的输出。在下一组练习23和24中，将明确看到这一结果。图25也证实了这一结论，即匹配滤波器输出和相干器输出仅在时刻相同。图25 带通匹配滤波器的响应但是，假设存在一个小的定时误差以至于采样实际发生在时刻，那么因此，定时误差通过因子降低了有效信号幅度。因为将以衰减，而保持不变，差错概率变为(2-19)上式由公式(2-9)得到。举个例子，BPSK
29、的参数选取为，kbps，kHz；正确定时得出的差错概率为，而比特间隔误差仅为0.3%将导致以及。这些数字说明了带通匹配滤波器不能作为相干检测实现方法的原因。由于积分器输出并不在载波频率振荡，图24所示的相干检测器对定时误差有更小的敏感度。相干检测因此被应用在大多数的相干二元系统中。然而，本地振荡器必须与载波精确同步，否则相位同步误差将会通过因子再次衰减有效信号幅度。对于BPSK，可以利用Costas锁相环系统，载波同步信号可由得到。下一节将会讨论被称为相位比较检测的另一种方法，以及OOK和FSK的非相干检测。2.4 干扰本节将讨论扩展到多址干扰（MAI）对带有相干检测的数字调制系统信号的影响。
30、MAI可能由多径、邻信道干扰、不理想的多路复用等因素引起，并导致检测器输入端在同一时间间隔内接收到两个或更多的“冲突信号”。这种信号间的冲突将污染期望获得的信号，并引发错误。对于信号共享相同频率和相同时隙的无线系统来说，信号间冲突尤其突出。如同SNR定义，MAI可以用信干比（SIR）衡量。在图23b中，假设相干检测器的输入端有干扰和噪声，在区间有一个二元信号1，因此，相关器的上半分支输入为(2-20)其中，是第个所需的二元信号1，为个干扰信号的和，为噪声。由于要传输的是0或是1，因此可以说和互斥；因此，在这一分支不被接收。积分器输出为 (2-21a) (2-21b)如果和对于所有互为正交，MA
31、I将被最小化。然而，由于包括多径以及设计正交信号十分困难，即其它用户可能使用相似的波形，将导致MAI的最小化通常是不可能的。事实上，MAI的影响经常超过随机噪声。同样，如果噪声和信号互为正交，那么公式(2-21b)中的第三项将被最小化。最后，类似于Aloha和CSMA系统，干扰是客观存在的，而且也必须在系统设计时加以考虑。第3章 非相干二元系统如果信号足够强，以至于复杂度较低的接收机就能保证系统足够可靠，那么最佳相干检测可能并非是必不可少的。这种情况最好的例子就是话音信道的数字传输，它具有相对较大的用模拟性能标准来衡量的信噪比。实现相干检测对于有些应用来说也许是非常困难的，或是非常昂贵的。例如
32、，一些广播信道的传播延迟变化太快而无法允许接收机对载波相位进行精确跟踪，因此，非同步或非相关检测成为唯一可行方案。这里考察利用包络检测来避开相干检测中的同步问题，从而得到次优性能的非相干OOK和FSK系统。这里还要考察含有相位比较检测的差分相干PSK系统。对于以上的三种情况，必须首先分析含有带通噪声的正弦曲线包络。3.1 含带通噪声的正弦曲线包络考虑正弦波加上均值为零、方差为的高斯带通噪声，使用正交载波形式求和可以写为其中，在任一时刻有(3-1)和噪声分量是相对独立且与同分布的随机变量。现在求包络的概率密度函数。在开始分析前，先在极端条件下推测的性质。如果，那么减小为瑞利分布的噪声包络(3-2
33、)在另一极端，如果，那么在大部分时间内，将大于噪声分量，因此有上式意味着为近似高斯分布。对于取任意值的情况，必须进行矩形-极化变换。和的联合概率密度函数变为(3-3)公式(3-3)对于和成立。指数中的，使公式(3-3)无法被因式分解为的乘积形式，这意味着和并非统计独立。因此通过在的区间对联合概率密度函数进行积分，就能得出概率密度函数的包络，因此现在引入修正的第一类零阶贝塞尔函数，定义为(3-4a)具有如下性质(3-4b)然后得到(3-5)上式被称为莱斯分布。尽管公式(3-5)看上去非常复杂，但在大信号条件下可以很容易化简为(3-6)上式由公式(3-4b)中取较大值时近似值得到。由于公式(3-6
34、)主要由指数项决定，因此可以确定包络概率密度函数本质上是一条中心在、方差为的高斯曲线。图31说明对比，当变大时包络概率密度函数由瑞利曲线变为高斯曲线。图31 含带通噪声的正弦波包络的概率密度函数3.2 非相干OOK非相干OOK一直被认为是一个简单系统。通常，载波和数据是不同步的，因此对于任意比特间隔，可以写为(3-7)信号能量为，且这里假设。由于此处继续假设1和0等概出现，每比特的平均信号能量为。图32所示的OOK接收机，由一个低通滤波器串联一个包络检波器和再生器构成。带通滤波器是一个冲激响应为如下形式的匹配滤波器(3-8)上式不考虑载波相位。通过跟踪上文图25中的虚线，包络检波器可以消除对相
35、位的依赖。因此，当时，包络信号成分的峰值为。为方便起见，令，因此。那么有(3-9)其中，为包络检波器输入端的带通噪声方差，它根据第2章中的公式(2-4b)由计算得到。图32 非相干OOK接收机现在考虑随机变量的条件概率密度函数。当时，仅得到噪声包络的采样值；因此，是瑞利函数。当时，得到正弦波加噪声信号的包络采样值；因此，是莱斯函数。图33给出了在条件下的上述两条曲线，因此，莱斯分布的概率密度函数具有近似高斯波形。两条曲线的交点定义了最佳门限，被证明为图33 非相干OOK的条件概率密度函数遗憾的是，考虑到门限值，以及随之得到的当最小时的情况，就无法得到前面的对称性。为实现合理性能，非相干OOK系
36、统需要满足，且门限通常被设定为。得到的差错概率为(3-10a) (3-10b)上式引入了的渐进逼近值，并说明当时。最终(3-11)上式以为横轴，和其它二元系统的曲线一起画在图34中。图34 二元差错概率曲线：(a) 相干BPSK；(b) DPSK；(c) 相干OOK或FSK；(d) 非相干FSK；(e) 非相干OOK3.3 非相干FSK尽管包络检测对于FSK似乎是一个不大可能的方法，然而回顾图11b中所示的波形可以看出，二元FSK可以等价地认为是由两个交叉的幅度均为但载波频率分别为和的OOK信号构成。因此，非相干检测可以利用如图35所示排列的那样一对带通滤波器和一对包络检波器来实现。其中(3-
37、12)令，注意到。那么(3-13)其中，为任一滤波器输出端的噪声方差。图35 二元FSK的非相干检测和桑德FSK3一样，这里也令频率间隔是的整数倍。这种状态保证了带通滤波器组能有效地分离两个频率，并且在采样时刻，两个带通噪声波形不相关。因此，当时，上半分支采样输出的信号成分为，并且满足莱斯分布，而下半分支的为瑞利分布，而反之，当时，也是如此。再生是基于两个包络之差，即。如果不采用条件概率密度函数，在不考虑的情况下，由接收机的对称性可以得出，门限应设定为。进而得出，且。因此有其中，方括号内的积分表示为，对于一个给定的值事件的概率。代入概率密度函数和，得出内部积分为相当令人惊奇的是，令且，这个积分
38、能够得到如下的闭合形式现在，被积函数与公式(3-5)中的莱斯分布概率密度函数完全相同。其中，莱斯分布概率密度函数在积分域下的总面积等于1。因此，最终结果简化为(3-14)上式应用了公式(3-13)。公式(3-14)也适用于非相干MSK。由图34中画出的非相干FSK和OOK的性能曲线对比情况可以看出，两条曲线除值很小外几乎没有差异。然而，FSK对比OOK确有三个优势：恒定调制信号包络、相等的数字差错概率以及固定门限。通常，这些优势解释了FSK接收机需要额外硬件的原因。3.4 差分相干PSK由于二元PSK信号的消息信息存在于相位中，因此无法使用非相干检测。而相位比较检测技术却十分高明，它绕开了相干
39、BPSK的相位同步问题，并得到了比非相干OOK或FSK更优越的性能。除了在一个大小为的延迟后本地振荡器信号被替换为BPSK信号本身之外，图36所示相位比较检测器看起来就像是一个相关检测器。置于前端的带通滤波器能够防止过多的噪声淹没检测器。图36 二元PSK的差分相干接收机正如相干BPSK一样，合理的操作需要满足是的整数倍。因此有(3-15)在不含噪声的条件下，第个比特间隔的相位比较乘积为这里利用了。低通滤波后，得到(3-16)因此得到了极化对称性且门限应被设定为。由于仅表明是否与相等，因此采用相位比较检测的二元BPSK系统被称为差分相干PSK（DPSK）。这类系统的发射机一般包含差分编码，这使
40、得直接由再生消息比特成为可能。差分编码从一个随机初始比特开始，比如。随后的比特由消息序列根据如下规则决定：如果，则；如果，则。因此，意味着，意味着。图37给出了差分编码的逻辑电路；这个电路实现了逻辑等式(3-17)其中，上划线代表逻辑取反。一个差分编码和相位比较检测（不含噪声）的例子在表31中给出。图37 差分编码的逻辑电路表31 差分编码和相位比较的示例输入消息10110100编码后的消息110001101传输相位0000相位比较符号+再生消息10110100为了分析含噪DPSK的性能，这里假设带通滤波器滤掉了大部分的噪声，类似于FSK接收机中的带通滤波器。因此，带通滤波器输出端的载波幅度和
41、噪声方差的关系为这里仍然利用对称性，并关注的情况，因此当时，有错误发生。现在令和表示延迟的和噪声分量。在第个比特间隔输入乘法器的是和。低通滤波器除去乘积中的高频项，留下(3-18)其中，所有四个噪声分量都是均值为零、方差为的独立高斯随机变量。公式(3-18)的二次形式可以通过对角化过程化简得到(3-19a)其中(3-19b)且(3-19c)注意，为零均值高斯随机变量，它的方差为；其它和的和分量有相同的结论。因此，满足莱斯分布，将公式(3-5)中的替换为得到其概率密度函数，而满足瑞利分布，将公式(3-2)中的替换为得到其概率密度函数。最后，由于和非负，因此平均差错概率可以写为这样，就得到了等价于
42、前面处理过的非相干FSK的一个表达式。将公式(3-14)中的替换为，得到DPSK的结果(3-20)图34所示的性能曲线表明，DPSK比非相干二元系统有3dB能量增益，与误码性能为的相干BPSK相比，有小于1dB的损失。DPSK不需要相干BPSK必需的载波相位同步，但它的确比OOK或FSK略需更多的硬件，包括差分编码和载频与发射机的同步。一个需要考虑的问题是，DPSK差错一般发生在两组中（试分析一下原因）。第4章 正交载波与M元信号本章考察采用相干或相位比较检测的元调制系统性能，通常以正交载波的形式。此处主要是为了提高调制速度，例如QAM和相关的正交载波方法，以及元PSK和元QAM调制方式。这些
43、是最适合于在电话线和带限信道上进行数字传输的调制类型。正如前面几章所述，本章继续假设独立等概符号和AWGN信道。同时假设为2的正整数幂，这与二元到元数据转换一致。这个假设允许将二元系统和元系统进行实际比较。4.1 正交载波信号正如第1章指出的，四相PSK和键控极性QAM（也被称为4QAM）均等价于两个调制在相互正交的载波上的BPSK信号。此处采用这个观点来分析使用相干检测的QPSK/QAM性能。因此，将信源信息按双比特分组，表示为。每一个双比特对应于四元（）信源的一个符号或一个二元信源的两个连续比特。而后一种情况，在实际中发生的更多，双比特码速率为，且。正如第2章所讨论的那样，相干正交载波检测
44、需要同步调制。因此，对于第个双比特间隔，可以写为(4-1a)其中(4-1b)由于被假设为与谐波相关联，信号能量为并且得到(4-2)其中，为每个双比特或四元符号的能量。由公式(4-1)和前面关于相干BPSK的研究可知，最佳正交载波接收机可以由两个如图41所示排列的相关检测器实现。每个相关器独立于另一个，执行相关二元检测。因此，每比特平均差错概率为(4-3)其中，函数表示高斯拖尾下的面积，这里不要和相混淆，表示正交调制。图41采用相关检测器的正交载波接收机由公式(4-3)可以得出，相干QPSK/QAM可以得到与相干BPSK相同的误比特速率。现在回忆QPSK/QAM的传输带宽为然而，BPSK需要。这
45、就意味着，额外的正交载波硬件，对于一个给定的比特速率，可以将传输带宽减半，或者，对于给定的传输带宽，可以将比特速率加倍。而在任一情况下，差错概率都将保持不变。公式(4-3)以及带宽/硬件的权衡，同样适用于最小键控，其分量和分量使用的是正交载波检测，如前面图111b所示。MSK接收机可以看成，是将图41根据分量和分量的脉冲成形和交错而修改的结构。MSK和QPSK间仅有的两个显著差异是：(1)在相同比特速率的情况下，MSK频谱比QPSK频谱主瓣更宽，但旁瓣更小；(2)MSK是固有的二元频率调制，而QPSK可被看作二元或者四元相位（或幅度）调制。当QPSK/QAM被用来传输四元数据，图41中的输出转换器从再生的双比特中重建四元符号。由于比特错误相互独立，因此得到一个正确符号的概率为每个符号平均差错概率变为(4-4)其中，表示平均符号能量。目前，已经设计出各种方法用于在正交载波接收机中产生进行相干检测所必需的载波