2013年天津市高考数学试卷(理科)(共27页).doc-淘文阁

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年天津市高考数学试卷（理科）一选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A（，2B1，2C2，2D2，12（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A7B4C1D23（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D5854（5分）已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线x+y+1=0与圆相切其中真命题的

2、序号是（）ABCD5（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D36（5分）在ABC中，ABC=，AB=，BC=3，则sinBAC=（）ABCD7（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|1的零点个数为（）A1B2C3D48（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）设关于x的不等式f（x+a）f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）ABCD二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知a，bR，i是虚数单位若（a+i）（1+i）=bi

3、，则a+bi=10（5分）的二项展开式中的常数项为11（5分）已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=12（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若，则AB的长为13（5分）如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为14（5分）设a+b=2，b0，则当a=时，取得最小值三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2co

4、s2x+1，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率（）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设

5、点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长18（13分）设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值19（14分）已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn（nN*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn=Sn（nN*），求数列Tn的最大项的值与最小项的值20（14分）已知函数f（x）=x2lnx（）求函数f（x）的单调区间；（）证明：对任意的t

6、0，存在唯一的s，使t=f（s）（）设（）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当te2时，有2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013天津）已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A（，2B1，2C2，2D2，1【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出AB即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2AB=x|2x2x|x1，xR=x|2x1故选D2（5分）（2013天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为

7、（）A7B4C1D2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x=0经过点A（5，3）时，y2x最小，最小值为：7，则目标函数z=y2x的最小值为7故选A3（5分）（2013天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D585【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，

8、结束循环，得到所求【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73故选B4（5分）（2013天津）已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线x+y+1=0与圆相切其中真命题的序号是（）ABCD【分析】对于由球的体积公式V=可知正确；对于通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故错；对于利用圆的圆心到直线x+y

9、+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可【解答】解：由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故正确；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故错；圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d=半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，正确故选C5（5分）（2013天津）已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D3【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px

10、（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值【解答】解：双曲线，双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A，B两点的纵坐标分别是y=，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=，又，AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，得p=2故选C6（5分）（2013天津）在ABC中，ABC=，AB=，BC=3，则sinBAC=（）ABCD【分析】由AB，BC及cosABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sinBAC的值【解答】解：ABC=，AB=，BC=3，由余弦

12、分析】排除法：取a=，由f（x+a）f（x），得（x）|x|+1x|x|，分x0，0x，x讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）f（x），得（x+1）|x+1|+1x|x|，分x1，1x0，x0进行讨论，检验是否符合题意，排除C【解答】解：取a=时，f（x）=x|x|+x，f（x+a）f（x），（x）|x|+1x|x|，（1）x0时，解得x0；（2）0x时，解得0；（3）x时，解得，综上知，a=时，A=（，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，f（x+a）f（x），（x+1）|x+1|+1x|x|，（1）x1时，解得x0，矛盾；（2）1x

13、0，解得x0，矛盾；（3）x0时，解得x1，矛盾；综上，a=1，A=，不合题意，排除C，故选A二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2013天津）已知a，bR，i是虚数单位若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i故答案为：1+2i10（5分）（2013天津）的二项展开式中的常数项为15【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=（1）r中x的幂指数为0即可求得答案【

14、解答】解；设的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=（1）r，由6r=0得：r=4的二项展开式中的常数项为（1）4=15故答案为：1511（5分）（2013天津）已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可【解答】解：圆的极坐标方程为=4cos，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|=2故答案为：212（5分）（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若，则AB

15、的长为【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出【解答】解：，=+=1，化为，故答案为13（5分）（2013天津）如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可【解答】解：如图由切角弦定理得EAB=ACB，又因为，AB=AC，所以EAB=ABC，所以直线AE直线BC，又因为ACBE，所以是平行四边形因为AB=AC，AE=6，BD=5，AC=AB=4，BC=6AFCDF

16、B，即：，CF=，故答案为：14（5分）（2013天津）设a+b=2，b0，则当a=2时，取得最小值【分析】由于a+b=2，b0，从而=，（a2），设f（a）=，（a2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案【解答】解：a+b=2，b0，=，（a2）设f（a）=，（a2），画出此函数的图象，如图所示利用导数研究其单调性得，当a0时，f（a）=+，f（a）=，当a2时，f（a）0，当2a0时，f（a）0，故函数在（，2）上是减函数，在（2，0）上是增函数，当a=2时，取得最小值同样地，当0a2时，得到当a=时，取得最小值综合，则当a=2时，取得最小值故答案为：2三解答题：本大题共

17、6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）（2013天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x，得2x再由正弦函数在区间，上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值【解答】解：（I）sinxcosx=si

18、n2x，cos2x=（1+cos2x）f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1=sin2xcos2x+3sin2x（1+cos2x）+1=2sin2x2cos2x=2sin（2x）因此，f（x）的最小正周期T=；（II）0x，2x当x=0时，sin（2x）取得最小值；当x=时，sin（2x）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=216（13分）（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的

19、4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率（）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）=所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4

20、）=X的分布列为EX=x1234P17（13分）（2013天津）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长【分析】（）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1CE；（）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B

21、1CEC1的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出的值，则线段AM的长可求【解答】（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是

22、=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为18（13分）（2013天津）设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去

23、y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，再由韦达定理进行求解求得，利用=8，即可求得k的值【解答】解：（）根据椭圆方程为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，当x=c时，得y=，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1），=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得k=19（14分）（2013天津）已知首

24、项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn（nN*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn=Sn（nN*），求数列Tn的最大项的值与最小项的值【分析】（）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列an不是递减数列，求出q值，可得答案（）由（）可得Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（）设等比数列的公比为q，S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列S5+a5（S3+a3）=S4+a4（S5+a5）即4

25、a5=a3，故q2=又数列an不是递减数列，且等比数列的首项为q=数列an的通项公式an=（）n1=（1）n1（）由（）得Sn=1（）n=当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1=故0=当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1SnS2=故0=综上，对于nN*，总有故数列Tn的最大项的值为，最小项的值为20（14分）（2013天津）已知函数f（x）=x2lnx（）求函数f（x）的单调区间；（）证明：对任意的t0，存在唯一的s，使t=f（s）（）设（）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当te2时，有【分析】（）函数的定义域为（0，+），求导数令f（x）=0，可解得x=，由导

26、数在（0，），和（，+）的正负可得单调性；（）当0x1时，f（x）0，设t0，令h（x）=f（x）t，x1，+），由（）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（）令u=lns，原命题转化为0lnu，一方面由f（s）的单调性，可得u1，从而lnu0成立，另一方面，令F（u）=lnu，u1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证【解答】解：（）由题意可知函数的定义域为（0，+），求导数可得f（x）=2xlnx+x2=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f（x）=0，可解得x=，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表： x（0，）（，+） f（x） 0+ f（x）单调递减极小值单调递

27、增所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+）（）证明：当0x1时，f（x）0，设t0，令h（x）=f（x）t，x1，+），由（）可知，h（x）在区间（1，+）单调递增，h（1）=t0，h（et）=e2tlnett=t（e2t1）0，故存在唯一的s（1，+），使得t=f（s）成立；（）证明：因为s=g（t），由（）知，t=f（s），且s1，从而=，其中u=lns，要使成立，只需，即2，即22+，只需，变形可得只需0lnu，当te2时，若s=g（t）e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）f（e）=e2，矛盾，所以se，即u1，从而lnu0成立，另一方面，令F（u）=lnu，u1，F（u）=，令F（u）=0，可解得u=2，当1u2时，F（u）0，当u2时，F（u）0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln210，故有F（u）=lnu0，即lnu，综上可证：当te2时，有成立专心-专注-专业

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