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1、第二章 张量分析,2.1 标量的张量值函数的导数,自变量是标量，函数是张量，如 T=T(t)，则,（设TS是有意义的）,2.1 标量的张量值函数的导数,（ 是标量）,（a 是矢量）,直接根据导数的定义证明上述公式，例如 ：,此外，在直角坐标系中,且,例题：设 为二阶正交张量，,证明 是一个反对称张量。,证：,，,即,（1）,（2）,比较(1)和(2)：,满足反对称张量定义，证毕,2.2 梯 度,2.2.1 标量场的梯度,2.2.1 标量场的梯度,2.2.1 标量场的梯度,2.2.2 矢量场的梯度,2.2.2 矢量场的梯度,矩阵形式,2.2.2 矢量场的梯度,2.2.2 矢量场的梯度,2.2.2
2、 矢量场的梯度,2.2.3 张量场的梯度,2.2.3 张量场的梯度,2.3散 度,2.3.1 矢量场的散度,2.3散 度,2.3.1 矢量场的散度,2.3散 度,2.2.2 张量场的散度,2.3散 度,2.2.2 张量场的散度,2.4旋 度,2.4.1 矢量场的旋度,2.4旋 度,2.4.1 矢量场的旋度,2.4旋 度,2.4.1 矢量场的旋度,2.4旋 度,2.4.1 矢量场的旋度,2.4旋 度,2.4.2 张量场的旋度,2.4旋 度,2.4.2 张量场的旋度,2.5 双重微分算子,2.6 张量函数的导数,2.6.1 张量函数,自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数，如,一般而言，这
3、些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的。如果它们对所有的正交基都是相同的，则称为各向同性张量函数。,2.6 张量函数的导数,2.6.2 张量函数的梯度,2.6 张量函数的导数,2.6.2 张量函数的梯度,注意：,2.6 张量函数的导数,2.6.2 张量函数的梯度,例如：,2.6 张量函数的导数,2.6.2 张量函数的梯度,2.6 张量函数的导数,2.6.2 张量函数的梯度,，,1.7.4 张量的并积,设 分别为m和n阶张量，它们的并积为 ，则,可见，其结果张量 是m+n阶的。,1.7.5张量的点积,矢量a, b的点积：,换指标,1.7.5张量的点积,张量 T, S （设为二阶）的点积：,矩阵形
4、式：,设 均为二阶张量，用基张量表示点积，并证明 （作业）,一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，即,张量的双重点积：,若A为三阶张量，B为二阶张量，则,结果为一阶张量。,张量的双重点积：,若 S，T 均为二阶张量，则,结果为零阶张量。,1.7.6 张量的叉积,两个矢量a，b 的叉积：,三个矢量 a，b，c 的叉积：,已知 ，则,三个矢量 a，b，c 的叉积：,即,试验证（作业）：,三个矢量 的混合积：,即,几何意义： 以 为边的棱柱体积，有向。,换指标,两个任意张量 的叉积：,1.7.7 二阶张量的迹,矢量 a,b 并矢 ab 的迹定义为：,任意二阶张量 T 的迹：,T的主对角线之和。,例：在直角坐标系下，各向同性牛顿流体的本构方程为：,应力张量 静水压力 粘性系数 变形速率张量,试写出它的不变式和迹。,