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1、复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结钱学森11陈海琪2110405004摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。关键词：积分，解析，函数，曲线1.利用定义求积分例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是xyixdz2cxyixdxiy201ixxixdxix2022011iixdx1i3.2.利用柯西积分定理求积分柯西积分定理：设fz在
2、单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则fzdzc0.柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，fz在闭域DDC上解析，则fzdz0.c例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，于是，coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，coszzidz0.故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC上连续，则fzdz0.c3.利用柯西积分公式求积分设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有fz12i
3、cfzdzD，即fczd2ifz.例3.求积分c921d，其中C为圆周2.解：c921didc925另外,若a为周线C内部一点，则dzdz2iczazacn0（n1，且n为整数）.4.应用留数定理求复积分fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域DDC上除a1,a2,an外连续，则fzdz2iResfz.ck1zakn设a为fz的n阶极点，fzzzan，其中z在点a解析，a0，则Resfzzaa.n1!5z2z2n1例4.计算积分zz12dz解：被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1，Resfzz05z2z22|z25z2Resfz|z12|
4、z12z1zz因此，由留数定理可得5z2z2zz12dz2i220.5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分02令ze，则cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，此时有例5.20zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.dacos0a112解：令zei，则cosI2izz，d1dziz，zzz1dz，其中aa21，aa21，1,1,1，应用留数定理得I2a12.若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值
5、亦可用上述方法求之，0因为此时Rcos,sind012Rcos,sind，仍然令zei.例6.计算taniad（a为实数且a0）0分析：因为tania1eie2iai2iai11，直接令e2iaiz，则dze2iai2id，于是tania解：I11z1iz1.iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理，当a0时，Ii当a0时，Ii.5.2计算PxQxdx型积分例7.计算xdx423x24.424解：函数fzz23z在上半平面内只有z23i一个四阶极点，令23ia，zat则fzz3444z4223z44zazata44443tt2a144a4at6at4att43223432233
6、43t16a32a24at8att211tt4423t168a32aResfzza1332a43i5766即Resfzz23i133242i33故xdx423x242ii57662886.6.级数法计算积分+连续性逐项积分定理:设在曲线C上连续(n=1,2,3)，=1在C上一致收敛于fz,则fz在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：+dz。将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积=1=分的有关问题。例8.计算积分(,C:|z|=.=121解：在|z|扩展阅读：求复变函数的积分方法哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目：求复变函数的积分方法院（系）理学院专业年级姓名指导教师2022年6月1日数学与
7、应用数学2022级闫岩徐亚兰学号09031123职称副教授哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目录摘要.1Abstract.2前言.3第一章复积分的概念及其简单性质.41.1复变函数积分的定义.41.2复变函数积分的基本性质.5第二章复积分的计算.72.1函数沿非闭曲线的积分的计算.72.1.1定义法.72.1.2参数方程法.82.2函数沿闭曲线的积分的计算.112.2.1积分定理.112.2.2挖奇点法.132.2.3柯西积分公式.152.2.4高阶导数公式.15第三章用留数定理计算复积分.173.1留数定理及其应用.173.1.1留数的定义.173.1.2留数定理.173.2留数定理与其它解法的
8、联系.18参考文献.20致谢.21哈尔滨学院本科毕业论文（设计）摘要复积分即指复变函数积分。在复变函数的分析理论中，复变函数的积分是研究解析函数的重要工具。复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具，它也是学习后继课程积分变换的基础,因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的。柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用。本文介绍了计算复积分的几种方法，同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系，并且总结出利用柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等来计算复变函数积分的基本方法，通过实例说明每种方法使用的范围，从中揭示出他们的内在联系，本文对复积分的计
9、算方法进行了比较系统的归纳总结，从中概括出解题方法和技巧。关键词：复变函数的积分；柯西积分定理；高阶导数公式；留数定理哈尔滨学院本科毕业论文（设计）AbstractComplexintegrationrefersComplexintegration.Intheanalysisofcomplexfunctiontheory,complexfunctionofintegralanalyticfunctionsisanimportanttoolforresearch.Complexfunctionsintheintegralstudyofanalyticfunctionsnotonlyanimpor
10、tanttool,itisalsothesuccessorprogramtolearnthebasisofintegraltransformation,andthereforecomplexintegralcalculationmethodaresummarizedanddiscussedisverynecessary.Cauchysintegralformula,higherderivativeformulas,andtheresiduetheoremforcomplexintegralsplayabigrole.Thisarticledescribesseveralmethodsforca
11、lculatingcomplexintegration,alsodiscussedtheresiduetheoremandtheintrinsiclinkbetweencomplexintegration,andsummedupusingtheCauchyintegraltheorem,Cauchysintegralformula,higherderivativeformula,residuetheoremetc.Complexintegrationcalculationofthebasicmethod,byexamplesillustratethescopeofuseofeachmethod
12、,whichrevealstheirinternalrelations,thepapercomplexintegralcalculationmethodswerecomparedsystemsaresummarized,whichsummarizetheproblem-solvingmethodsandtechniques.Keywords:complexvariablefunctionintegration;Cauchysintegraltheorem;higherderivativeformula;residuetheorem哈尔滨学院本科毕业论文（设计）前言复变函数的积分是研究解析函数的
13、一个重要工具。解析函数中许多重要的性质都要利用复积分来证明。比如，想要证明“解析函数导函数连续性”以及“解析函数各阶导数存在性”这些表面上看起来只跟微分学有关的命题，一般都要使用复积分。其中柯西积分公式和柯西积分定理显得尤其重要，他们是复变函数论的基本定理和基本公式。复变函数论是数学中的一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论的历史悠久，内容丰富，理论也十分完美。它在数学中的许多分支、力学以及工程技术科学中有着相对广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。本文对不同类型的复变函数积分的计算方法进行了系统的归纳和总结，并且总结出了求解复积分的一些方法和技巧，这样在遇到求解复积分问题
14、时，我们可以先分析积分的特点，再根据特点来选择合适的方法，如果方法得当，便可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。哈尔滨学院本科毕业论文（设计）第一章复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义bz()为终点，f(z)定义1设有向曲线C：zzt,(t)，以az()为起点，沿着曲线C有定义。顺着C从a到b的方向在C上取分点：az0,z1,.,zn1,znb把曲线C分成了若干个弧段。在从zk1到zk(k1,2,.,n)的每一弧段上任意取一点k，做成和数snf(k)zk，其中zkzkzk1。当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋k1n于零时，假如和数sn的极限存在并且等于J，就称f(z)沿曲
15、线C（从a到b）可积，而称J是f(z)沿C（从a到b）的积分，并且用记号f(z)dz表示：cJf(z)dz。cC叫做积分路径。f(z)dz表示沿曲线C正方向的积分，f(z)dz表示沿曲线C负方向的积cc分。定理1如果函数f(z)u(x,y)iv(x,y)并且沿着曲线C连续，则f(z)沿C可积，并且f(z)dzudxvdyivdxudyccc例1如果C表示连接点a及b的任一曲线，试证：1（1）dzba（2）zdz(b2a2)2cc证明（1）因为f(z)1,sn(zkzk1)bak1n所以nmaxzk0limsnba即哈尔滨学院本科毕业论文（设计）dzbac（2）因为f(z)z，令kzk1于是就有
16、z1k1nk1(zkzk1)，但我们又可以令kzk，则可得到2zk(zkzk1)，再由定理1可知积分zdz存在，k1nc1因此sn的极限存在，并且应该跟1和2的极限相等，从而应该跟(12)的极限2相等。令11n2122(12)(zkzk)(ba2)122k12所以122zdz(ba)。2c1.2复变函数积分的基本性质设函数f(z),g(z)沿曲线C连续，则有以下的性质（1）af(z)dzaf(z)dz,a是复常数；cc（2）f(z)g(z)dzf(z)dzg(z)dz;ccc（3）f(z)dzf(z)dzf(z)dz,其中C由曲线C1和C2衔接而成；cc1c2（4）f(z)dzf(z)dzcc
17、（5）f(z)dzccf(z)dzf(z)dsc在这里dz表示弧长的微分，也就是dz(dx)2(dy)2ds定理2（积分估值）如果沿着曲线C，函数f(z)连续，并且有正数M使得f(z)ML，L是曲线C的长，则哈尔滨学院本科毕业论文（设计）f(z)MLc例2试计算Rezdz，其中C是从0到2+i的直线段。c解由题直线C可以由关系式y1x，0x22表达，于是所求积分得Rezdzxdxixdyxdxcc02i2xdx2i02哈尔滨学院本科毕业论文（设计）第二章复积分的计算2.1函数沿非闭曲线的积分的计算2.1.1定义法为终点的光滑曲线（yyx是有连续的导定义设l是复平面上以z0为起点，以z把l分成n
18、段，在每一小段zk1zk上任意取一数），在l上取一系列的分点z0,z1,zn1,znz点k做和数Snfkzkzk1fkzk,zkzkzk1k1k1nn当n时，并且每一小段的长度趋于零时，如果limSn存在，我们就称fz沿l是可积n的，limSn叫做fz沿l的路径积分。l是积分路径，记做fzdz【如果l是围线（闭的nl曲线），则记为f(z)dz】。fzdzmilllnmSilnnfzkkk1n（fz在l上取值，也就是z在l上变化）。例1计算积分1)dz；2)zdz，其中积分路径表示连接点a及点b的任一曲线。cc解对C进行分割，并且近似求和，以下符号与上述的复积分的定义一致。（1）当C是闭曲线的时
19、候，dz0。由于f(z)1，Sn(zkzk1)ba，所以Ck1max|Sk|0nmlimSnba即dzbac（2）当C是闭曲线的时候，dz0。f(z)z，沿曲线C连续，则积分zdz存在，CC令kzk1，则1zk1(zkzk1)，k1n又可以令kzk，则哈尔滨学院本科毕业论文（设计）2zk(zkzk1)，k1n由于Sn的极限是存在的，并且应该和1及2极限相等，所以11n1222Sn(12)zk(zkzk(ba2)，1)22k12所以zdzC12(ba2)22.1.2参数方程法在简单光滑的曲线上连续,想要计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y
20、(通常遇到的是圆弧或者直线段)；第二步:求出fzdz,把ux,y,vx,y代入到其中；第三步:把积分化成关于的定积分，并且l计算该定积分。zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y，于是ux,yivx,ydxidyfzdzllux,ydxvx,ydyivx,ydxux,ydy，ll所以复变函数的积分可以归纳总结成为两个实变函数的线积分，并且它们分别是复变函数积分的实部和虚部.复变函数积分的参数表示设曲线l的参数方程是zztxtiyt，或者表示成xxt，yyt，z，t，z0z，z记uxt,ytut，vxt,ytvt，于是dxxtdt，dyytdt，dzztdt，ztxtiyt则fzdzcu
21、txtvtytdtivtxtutytdt8哈尔滨学院本科毕业论文（设计）utivtxtiytdtfztztdt.yi1iyi1iy=xy=xyx2图（2-1-2a）图（2-1-2b）o1xo1x例2试计算fzdz，其中f(x)z,l是：l（1）从原点到点1i上的直线段；（2）抛物线yx2上从原点到点的弧段；（3）从原点沿x轴到点1再到1i上的折线；解（1）积分路径的参数方程是z(t)(1i)t,(0t1)则dz(1i)dt,122=(1+i)tdtzdz(1i)iC021如图（2-1-2a）所示。（2）积分路径的参数方程是z(t)tit211(0t1),则dz(12ti)dt,1t214323
22、2tit（tit）(12it)dt(t-2t+3it)dtzdzi00C220如图（2-1-2b）所示。iy1iy=xyx2o1x哈尔滨学院本科毕业论文（设计）图（2-1-2c）图（2-1-2d）（3）如图（2-1-2c）所示.积分路径是由两段直线构成的，x轴上直线段的参数方程是z(t)t(0t1),则dzdt,1到1+i直线段的参数方程是z(t)1it(0t1),则dzidt,C1+it)idtzdztdt（011011ii22例3试证2i(n1)dz，l是以za为圆心，以为半径的圆周。l(za)n0(n为n1的整数)如图（2-1-2d）所示。证明l的参数方程是zaei在l上，dzieid。
23、当n1的时候，iieddzilzaeid2i当n1的时候，iieddzii(n1)dl(za)nneinn1e1in1en1n111n11n10.n1n1复变函数积分的简单性质（以下性质i、ii、iii、iv都可以从积分的定义式中直接得出）z0，z、z0分别是l的终、起点。dzL，dz是dz的长度，L是l的长度。i.dzzll.（可推广）a1f1za2f2zdza1f1zdza2f2zdz，a1、a2是复常数。lll.fzdzfzdzfzdz,其中l1、l2连接成l。（可推广）ll1l2.fzdzfzdz,l表示跟l方向相反的同一条曲线。ll不等式（估值公式）哈尔滨学院本科毕业论文（设计）a)
24、证明fzdzfzdzllfzdzlimfzlnkk1nnnk1nk1nklimfkznk1nlimfkzklimfkzkfzdz。l（此处运用了z1z2z1z2的推广，z1z2z3z1z2z3z1z2z3,z1z2znz1z2zn,多边形任意一边的长其他边长之和）b)如果M是fz上沿曲线l的最大值，L是l的长度，则证明：nfzdzML。lfzkk1nkfkzkMzkk1k1nnn两边取极限limfkzkMlimzk，即nk1nk1fzdzMLl或者fzdzfzdzMdzML.lll2.2函数沿闭曲线的积分的计算2.2.1积分定理柯西定理如果fz在单连通区域D上解析，l是D内的任意一条围线，则f
25、(z)dz0l其实只要fz在l所围的单连通区域内解析，则f(z)dz0。如图（2-2-2）所示。l哈尔滨学院本科毕业论文（设计）图(2-2-2)注单连通区域内的任意一条闭曲线可以连续收缩成一点，简言之区域内没洞。复连通区域内至少有一条闭曲线不能连续收缩成为一点，简言之区域内有洞。证明因为fz在D上是解析的，也就是fz在D上的各点均存在。为了简化证明，我们进一步要求fz在D上连续,uvuv、在D上连续。xxyyuvuvii，xxyyfzux,yivx,y，dzdxidy，fzf(z)dz(udxvdy)i(vdxudy)lll因为fz在D上是连续的，所以u、v有连续的偏导数，并且满足CR条件uv
26、,而根据实的线积分的格林定理yxuv，xyvu(udxvdy)lxydxdy0，D是l所围单连通区域（CR条件）Duv(vdxudy)lxydxdy0，D是l所围单连通区域（CR条件）D所以f(z)dz0l注意柯西定理中只要求fz在D上解析，对fz在D外是否解析并没有要求，证明中没有用fz在l以外的性质。因此只要fz在l所围的区域内解析。推论：如果fz在D上解析，l1、l2是D内有相同的端点的任意的两条曲线，则fzdzfzdzl1l2也就是在fz解析的单连通区域内，fz沿着任意一条曲线l的积分，只依赖于l的起点和终点，而和l的具体形状是没有关系的。证明由于l1、l2的端点是相同的，因此l1与l
27、2组成一围线。根据柯西定理l1l2fzdz0fzdzfzdzfzdzl1l2l2哈尔滨学院本科毕业论文（设计）2.2.2挖奇点法（1）闭复通区域情形所谓复通区域，就是函数在其中的某些点处并不解析，这些点叫做奇点，为了把这些点排除在外，通常做一些适当的闭合曲线把这些奇点挖去，形成带“孔”的区域，也就是复通区域。当fz在D内处处解析，并且围线l全部在D内的时候，则f(z)dz0。但当l所围区域l内有fz的奇点的时候，前面所说的柯西定理是针对单连通区域中的解析函数fz来说的，如果fz在l所围的区域里有奇点，可以做一围线把这个奇点围住，假如把所围的区域挖去，则区域就变成复连通区域D。如图(2-2-3a
28、)所示。图(2-2-3a)对于复连通区域D，做辅助线c1、c2、c3，使D分成两个单连通区域D1和D2。D1的边界是1，D2的边界是2，选取如此的方向当作路径的正方向，也就是当沿着路径行进的时候，区域始终保持在左边，所以D的边界是ll1l2。12ll1l2c1c2c3c1c2c3因为fz在D上，从而在D1、D2上解析，根据柯西定理：所以1f(z)dz0，f(z)dz02又12f(z)dzf(z)dzf(z)dz012哈尔滨学院本科毕业论文（设计）12f(z)dzlll1l2c1c2c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl1l2f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)d
29、zf(z)dzf(z)dzc1c2c3c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzll1l2所以f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz0l2从而f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzl2很容易把上面的情形推广到内部有n个洞的复连通的区域，于是f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl2lnk1lkn上述积分都沿着逆时针的方向，所以在复连通的情形下，在复连通区域内解析的函数，他沿着外边界线逆时针方向的积分就等于他沿着所有内边界线逆时针方向的积分的和。例4试计算图(2-2-3b)dz，l是不通过za的点的围线。l(za)n解如图（2-2-3b）所示，za是fz
30、1zan上的一个奇点，如果l没有包围点dz0（l不包围l(za)nza，则fz1zan在l所包围的区域上是解析的。进而。如果l包围za【za是za）则根据上面的公式就有：1zan上的奇点】，作以za为圆心的圆周l1包围a，哈尔滨学院本科毕业论文（设计）dzdzl(za)nl1(za)n据前面的例子可以得到:2i,n1dzl1(za)n0,n为n1的整数因此2i,当l包围za,且n1dzl1(za)n0,当n为n1的整数，或l不包围za2.2.3柯西积分公式柯西积分公式设区域D的边界是周线或者复周线C，函数f(z)在D内是解析的，在DDC上是连续的，则有f(z)1f()d(zD)，即2iC(z)
31、f()d2if(z)C(z)2z2z1dz的值，其中C:|z|2。例5试计算积分Cz1解由于f(z)2z2z1在|z|2上是解析的，z1z:|z|2。根据柯西积分公式就有2z2z12z|2z1dz2i(2zz1)2.2.4高阶导数公式高阶导数公式设f(z)在D内是解析的，在D上是连续的，C是D的边界，z0D有f(z)2i(n)dzf(z0),n1,2,（1.11）(zz0)n1n!例6试求coszdz，C是包含在圆周|z|1上的任何正向简单闭曲线，z2i。z10，Cz311取C1是|z|，C2是|zi|。33解f(z)cosz,z00在C的内部，由等式（1.11）cosz2idz(cosz)z
32、0Cz32!哈尔滨学院本科毕业论文（设计）=i(2cosz)z03i高阶导数公式的作用不在于通过积分来进行求导,而在于通过求导来求解积分。例7试求积分1dz.其中C:(1)z32;(2)z1323(z2)zC解函数1有两个奇点，分别是z2和z0,(z2)2z3111z3dzdz(1)z32,仅包含奇点z2,取f(z)3,(z2)2zC(z2)2z3C2i11!z3z23i;8(2)z13的两个奇点z2和z0都包含在C以内，作简单的闭曲线C1和C2分别包含0和2，其中C1和C2互不包含并且互不相交，由复合闭路定理和高阶导数公式,1123111(z2)zdzdzdzdzdz23232332(z2)
33、z(z2)z(z2)zz(z2)CC1C2C1C22i12!(z2)2z02i131!zz23i3i0.88哈尔滨学院本科毕业论文（设计）第三章用留数定理计算复积分3.1留数定理及其应用3.1.1留数的定义设0是f(z)的孤立奇点，f(z)在0的去心邻域内有洛朗展式f(z)na(zz)n0n称a1是f(z)在0点的留数，记作Resf(z0)。即留数是(洛朗展式中)负一次幂的系数。3.1.2留数定理设f(z)在复周线或者周线C所围的区域D内，除a1,a2,an以外解析，在闭区域DDC上除a1,a2,an以外连续，则f(z)dz2iResf(z)（1.14）Ck1zakn设a是f(z)的n阶极点，
34、f(z)Resf(z)za(z)(za)n，其中(z)在点a上解析，(a)0，则(n1)(a)(n1)!。在这里符号(0)(a)代表(a)，并且有(n1)(a)lim(n1)(z)。za5z2dz。例1试计算积分|z|22z(z1)解被积函数f(z)5z2在圆周|z|2的内部只有一阶极点z0和二阶级点z(z1)2z1。Resf(z)z05z2(z1)2z022Resf(z)(z15z22)z12zzz1所以，根据留数定理可以得到5z2sf(z)Resf(z)2i(22)0|z|2z(z1)2dz2i(Rez1z0哈尔滨学院本科毕业论文（设计）例2试计算积分cosz|z|1z3dz。解f(z)c
35、osz只以z0为三阶极点，3zResf(z)z011(cosz)z02!2所以根据留数定理就有cosz1dz2i()i|z|1z323.2留数定理与其它解法的联系1.参数方程法只适用于积分曲线式的特殊类型的曲线。但有一些题目可以用参数方法解题，但是计算要复杂得多，而用柯西定理会很简单。2.（1）柯西积分定理可以推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个比较有利工具，即复函数沿区域的外边界曲线的积分等于沿着区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。（2）如果积分与路径无关的条件下也可以直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算。（3）利用柯西积分定理也有一定的局限性，主要体现在被积函
36、数上，只有某些特殊的函数或者能够拆成若干个特殊的函数的函数计算起来较方便。3.（1）柯西积分公式解决的是形如f()f()d,(zD)的积分，形如d,(zD)的czc(z)n积分就要利用解析函数的无穷可微性f(n)(z)此类问题。n!f()d,(zD)(n1,2,)可解决n1c2i(z)（2）柯西积分公式跟解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数，二者在计算的时候都常常与柯西积分定理相结合。4.（1）柯西积分定理、柯西积分公式以及解析函数的高阶导数公式都是留数定理的特殊情况。（2）凡是能用柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能够用留数定理来计
37、算。哈尔滨学院本科毕业论文（设计）1)高阶导数公式可以计算某种特定形式的复积分。利用高阶导数公式计算积分的时候，如果被积函数的阶数太高，会太过于繁琐，这时要运用留数定理以及他的计算规则来计算复积分，就简便的多。注意：通过柯西积分公式和高阶导数公式解决了一类复积分的计算的问题，但是在练习的过程中我们往往会发现应用这两种计算方法往往不能有效的解决复积分问题，而是把这两种方法综合起来。总之，在求解有关复积分的问题时，对方法的选择要因题而异。首先从积分路径和被积的函数入手，确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线，然后再对被积函数在已给的区域C内的解析性加以分析判断，再决定采取什么样的方式方法来解决所面对
38、的积分问题。按照这样的基本步骤来寻求复积分的计算方法，处理有关复积分的问题就得心应手了。哈尔滨学院本科毕业论文（设计）参考文献1钟玉泉,复变函数论（第三版）M.北京：高等教育出版社,2022,2.(书籍)2潘永亮,复变函数M.北京：科学出版社,2022.(书籍)3龚冬宝,复变函数典型题M.西安：西安交通大学出版社,2022.(书籍)4刚家泰,复变函数全程学习指导与解题能力训练M.大连：大连理工大学出版社,2022.(书籍)5余家荣,复变函数M.北京人民大学出版社,1979.(书籍)6严镇军,数学物理方法M.合肥：中国科技大学出版社,1999.(书籍)7钟玉泉,复变函数学习指导书M.北京：高等教
39、育出版社,1995.(书籍)8西安交通大学高等数学教研室.工程数学复变函数M.北京:高教出版社,1996.(书籍)9严之山.关于复积分的计算J.青海师专学报,2022(5):3436.(书籍)10王文鹏.复变函数积分的求解策略J.重庆科技学院学报,2022.9(12):145147.(书籍)11上海交通大学出版社出版发行.复变函数与积分变换,2022.(书籍)12谭欣欣.复变函数全程学习指导.西安交通大学,复变函数第四版,2022.(书籍)13菲赫金,哥尔茨.微积分学教程M.第二卷第二分册（P225290）.(书籍)14Ur,P.TeachingListeningComprehension.C
40、ambridge:CambridgeUniversityPress,1984（期刊）15Stern,H.H.FundamentalConceptsofLanguageTeaching.Oxford:OxfordUniversityPress,1983（期刊）哈尔滨学院本科毕业论文（设计）致谢大学四年来,各位老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向各位老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.老师们以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响，渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.通过这段时间的努力我的毕业论文终于完成了，这也意味着我的大学生活即将束，大学阶段，我在学习上和思想上都受益匪浅，这与同学老师和亲人的鼓励与支持是分不开的，感谢数学与应用数学系的各位老师、同学们，与他们的交流让我学到了很多.感谢和我一起生活了4年的舍友们，严谨的解决问题的态度，灵活的思考问题的方式，扎实的专业知识，认真的学习态度都给了我很大的启发.写毕业论文是一次系统学习的过程，我要感谢在这一过程中给我建议，指导我写作论文的徐老师，从选题到开题，从提纲到正文，严格把关，循循善诱，耐心指导，是我以后工作学习的榜样。第 20 页 共 20 页