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1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质第一页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第二页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第三页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第四页，编辑于星期五：二十二点 十六分。4.常用的数学方法与思想数形结合思想、转化与化归思想.第五页，编辑于星期五：二十二点 十六分。1.下列命题:若直线l垂直于平面内的两条直线,则l;若直线l垂直于平面内的无数条直线,则l;若直线l垂直于平面内的任意一条直线,则l;若l,则直线l垂直于平面内的无数条直线,其中真命题的个数是 ()A.4B.3C.2D.11.C【解析】都要求平面内的直线相交,所以均错误;由线面垂直的定义可知正确.2.如果一条直
2、线l与平面的一条垂线垂直,那么直线l与平面的位置关系是()A.lB.lC.lD.l或l2.D3.二面角是指()A.两个平面相交的图形B.一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D.以两个相交平面交线上任意一点为端点,在两个平面内分别引垂直于交线的射线,这两条射线所成的角3.C第六页，编辑于星期五：二十二点 十六分。4.不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ()A.两个平面相交,所成二面角是直二面角.B.一个平面经过另一个平面的一条垂线.C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线.D.平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的.4.D5.(2015浙江新阵地教育
3、研究联盟联考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.,m,n,则mnB.mn,m,n,则C.,m,n,则mnD.,m,n,则mn5.B【解析】若,m,n,则m,n可能平行、相交或异面,所以A不正确;由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知B正确;若,m,n,则mn,C不正确;若,m,n,则m,n可能平行、相交或异面,所以D不正确.第七页，编辑于星期五：二十二点 十六分。6.如图,P是正方形ABCD所在平面外的一点,PA=AB,且PA平面ABCD,则在PAB,PBC,PCD,PAD,PAC及PBD中,直角三角形有个.6.5【解析】因为PA平面ABCD,所以PAB
4、,PAD,PAC是直角三角形;又BCPAB,则PBC是直角三角形;CD平面PAD,则PCD是直角三角形;设BD,AC交于点O,则POAO=BO,则可证PBD不是直角三角形,故有5个直角三角形.第八页，编辑于星期五：二十二点 十六分。典例1(1)(2015安徽高考)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是 ()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解题思路】A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故A错误;B中,平行于同一个平面的两条直线可以
5、平行、相交或异面,故B错误;C中,两个平面相交时,其中的一个平面内的直线只要平行于交线时就一定和另外一个平面平行,故C错误;D中,反面思考可知,如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一平面,D正确.【参考答案】 D第九页，编辑于星期五：二十二点 十六分。(2)(2015福州质检)“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是 ()A.直线l与平面内的任意一条直线垂直B.过直线l的任意一个平面与平面垂直C.存在平行于直线l的直线与平面垂直D.经过直线l的某一个平面与平面垂直【解题思路】利用空间直线与平面位置关系的概念、判定定理和性质定理、结论等逐一判断
6、.A,B,C均为充要条件,因为“直线l垂直于平面”可以推出“经过直线l的某一个平面与平面垂直”,反之未必成立,故D选项正确.【参考答案】 D第十页，编辑于星期五：二十二点 十六分。【变式训练】(2015金华十校模拟)若m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是()A.若m,则mB.若=m,=n,mn,则C.若m,m,则D.若,则C【解析】若m,则m,位置关系不确定,可能平行、相交或m在平面上,A错误;若=m,=n,mn,则或,相交,B错误;由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可得C正确;若,则,可能平行或相交,D错误.第十一页，编辑于星期五：二十二点 十六分。典例2
7、(2016吉林实验中学四模)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,ABBB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CDDA1.(1)求证:BB1平面ABC;(2)求证:BC1平面CA1D;(3)求三棱锥B1-A1DC的体积.【解题思路】利用线面垂直的判定定理和平行线的性质证明.第十二页，编辑于星期五：二十二点 十六分。 第十三页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第十四页，编辑于星期五：二十二点 十六分。【变式训练】(2015常州监测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,平面PBD平面ABCD,PB=PD,PAPC,CDPC,O,M分别是BD,PC的中点,连接
8、OM.求证:(1)OM平面PAD;(2)OM平面PCD.【解析】(1)连接AC,因为ABCD是平行四边形,所以O为AC的中点.在PAC中,因为O,M分别是AC,PC的中点,所以OMPA.因为OM平面PAD,PA平面PAD,所以OM平面PAD.第十五页，编辑于星期五：二十二点 十六分。(2)连接PO,因为O是BD的中点,PB=PD,所以POBD.又因为平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,PO平面PBD,所以PO平面ABCD.从而POCD.又因为CDPC,PCPO=P,PC平面PAC,PO平面PAC,所以CD平面PAC.因为OM平面PAC,所以CDOM.因为PAPC,OMPA,所
9、以OMPC.又因为CD平面PCD,PC平面PCD,CDPC=C,所以OM平面PCD.第十六页，编辑于星期五：二十二点 十六分。命题角度2:直线与平面垂直的性质定理的应用典例3已知ADAB,ADAC,AEBC交BC于点E,D为FG的中点,AF=AG,EF=EG,求证:BCFG.【解题思路】证明BC,FG同时垂直于一个平面,利用线面垂直的性质定理证明. 【参考答案】因为ADAB,ADAC,ABAC=A, 所以AD平面ABC,又BC平面ABC,所以ADBC,又AEBC,ADAE=A,得BC平面ADE;连接DE,又因为D为FG的中点,AF=AG,EF=EG,所以FGAD,FGDE,ADDE=D,所以F
10、G平面ADE,所以BCFG.第十七页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第十八页，编辑于星期五：二十二点 十六分。【变式训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,求证:EFBD1.【解析】如图所示,连接AB1,B1C,BD,因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所以DD1AC,又因为BDAC,DD1BD=D,所以AC平面BDD1B1,所以ACBD1,同理可证BD1B1C,又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C.因为EFA1D,又A1DB1C,所以EFB1C,因为EFAC,ACB1C=C,所以EF平面AB1C,所以EFBD1.第十九页，编辑于星期五
11、：二十二点 十六分。典例4(2016哈尔滨六中月考)如图,已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且AA1平面ABCD,DAB=60,AD=AA1=1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点.(1)求证:平面D1FB平面BDD1B1;(2)求三棱锥D1-BDF的体积.【解题思路】(1)利用判定定理法证两平面垂直;(2)利用转换底面法求三棱锥D1-BDF的体积.第二十页，编辑于星期五：二十二点 十六分。 第二十一页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第二十二页，编辑于星期五：二十二点 十六分。典例5(2015广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC
12、=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题思路】(1)通过等腰三角形底边中线垂直底边可得;(2)由面面垂直得PDC即为二面角P-AD-C的平面角,求解即可;(3)连接AC,结合已知条件可知连线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角,应用勾股定理与余弦定理求解.第二十三页，编辑于星期五：二十二点 十六分。 第二十四页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第二十五页，编辑于星期五：二十二点 十六分。 第二十六页，编辑于星期
13、五：二十二点 十六分。 第二十七页，编辑于星期五：二十二点 十六分。位置关系中的转化思想典例空间四边形PABC中,PA,PB,PC两两相互垂直,PBA=45,PBC=60,M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角;(2)求证:AB平面PMC.【解题思路】先考虑数量关系及计算,发现解题思路.第二十八页，编辑于星期五：二十二点 十六分。 第二十九页，编辑于星期五：二十二点 十六分。第三十页，编辑于星期五：二十二点 十六分。【针对训练】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC,BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点.(1)求证:OD1A1C1;(2)求异面直线EF与A
14、1C1所成角的大小.第三十一页，编辑于星期五：二十二点 十六分。【解析】(1)A1C1AC,OD1与AC所成的锐角或直角就是OD1与A1C1所成的角,连接AD1,CD1,AA1=CC1,A1D1=C1D1,AA1D1=CC1D1=90,AA1D1CC1D1,AD1=CD1.AD1C是等腰三角形.O是底边AC的中点,OD1AC,故OD1与A1C1所成的角是90.OD1A1C1.(2)E,F分别是AB,AD的中点,EFBD,又A1C1AC,AC与BD所成的锐角或直角就是EF与A1C1所成的角.四边形ABCD是正方形,ACBD,EF与A1C1所成的角为90.第三十二页，编辑于星期五：二十二点 十六分。