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1、统计与概率课程内容建议与调查摘要：在课程内容审视与一线调研的基础上，建议义务教育数学课程标准中增补下列内容：通过案例感受数据的类型，构成对数据的全面认识；通过案例感受简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等抽样方法，切实提高学生数据获取能力；通过案例从直观图形中获取数据，构成数据直觉；结合案例感受期望关键词：初中数学；统计与概率；数据分布；数据分析；数学期望2001年公布的（义务教育数学课程标准实验稿），在课程内容方面增加了“统计与概率这一学习领域，这无疑是中国数学课程内容的一个重大变革显然，这一变革顺应了国际课程发展的趋势，也贴合时展的潮流，毕竟人们生活在一个数据的时代（义务教育数学课程标准201
2、1版），对此内容稍作微调（课程标准实验稿）和（课程标准2011版），都强调让学生经历数据收集、处理的全经过，构成数据分析观念，注重概率统计知识的现实应用但在教科书编写和教学施行中发现，基于课程标准中现有的学习内容，学生还难能切实从事数据收集、表示与处理的全经过，为此，对课程内容进行了反思，并进行了一线老师的调研1课程内容再审视1.1关于数据及其类型聊到数据，很多人误以为数据就是数实际上，数据就是信息，现实生活中统计数据类型诸多有的数据没有好差之别，它们是定性的，如学生信息中的男、女这两个关于性别的数据数据类型如图1所示1；而有些数据能够排出一定的顺序，它们是定序的，如一些调查中调查的满意程度；
3、还有些数据是定量的，它们能够直接比拟大小，如学生身高、某次考试的成绩等通过一些约定，定序的数据和定量的数据能够互相转换例如，在关于食堂满意度的调查中，能够约定依次用4、3、2、1来代替满意、比拟满意、一般、不满意，这时，定序的数据就转化成定量的数据了，能够计算它们的平均数只要定量的数据才有平均数反过来，将定量的数据适当分段，能够转化为定序的数据例如，如约定90分及以上为优、90分下面80分及以上为良、80分下面70分及以上为中、70分下面60分及以上为及格、60分下面为不及格，这时原先为定量数据的成绩就转换成定序的数据了另外，定量的数据还可分为可比的数据和不可比的数据，如摄氏温度，就不是可比的
4、数据，20并不表示10的两倍但课程标准中没有提及数据类型，初中数学教科书中呈现的也都是能够计算的数值型数据，这无意中误导了学生，构成对数据的片面认识其实这样的认识，在老师中间同样存在在针对优秀老师关于教科书理解的一次调查中，设计了下面一道题：为了了解学生对食堂的满意程度，某人随机调查了100名学生，并将结果整理如下：在收集到的有效答卷中，选择A、B、C、D的比例依次是17.77%、3.72%、72.31%、6.2%应该讲，该次调查的老师群体比拟优秀，而且教材培训中已经屡次介绍过数据的概念，但仍有高达27.69%的教师选择了错误答案通过进一步访谈，发现老师多以为，众数首先得是一个数这再次讲明了，
5、老师对数据认识的不全面因而，建议课程标准中明确要求：通过案例，让学生感受不同类型的数据详细教学中，能够提供某个班级学生的信息表包括性别、年龄、身高、体重、体育测试以及有关文化测试成绩等，其中既有男、女这样表示类别的定性数据，也有优、良这样表示等级的定序数据，更有身高、体重等数值型的定量数据，要求学生阅读学生信息表，引导学生考虑：表格中有哪些数据，这些数据能够分为哪些不同的类型，各类数据各有什么特点，实际生活中能否能够进行不同类型数据的转化，结合这个例子给出详细转化的办法1.2关于数据收集的方法关于数据收集，（课程标准2011版）明确要求学生“经历数据收集的经过“体会抽样的必要性，通过实例了解简
6、单随机抽样2（普通高中数学课程标准实验）则要求：“在介入解决统计问题的经过中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样3这样的定位，默认了简单随机抽样相对简单，而分层抽样和系统抽样更为复杂当然，从逻辑上而言，似乎有些道理，系统抽样需要对总体中各个个体进行编号，分层抽样需要进行样本的分层但从操作层面看，未必如此当总体中个体不定或者个体数量无限时，无法采用简单随机抽样，个体数量有限但数量较大时，也很难进行简单随机抽样而实际生活中，有时分层抽样、系统抽样倒特别方便，如从全校10个班级中抽取50名学生开展某项调查，班级、年级就是自然的分层，能够采用分层抽样，详细
7、到某个班级从50名学生中抽取5名学生，采用系统抽样特别方便，能够从09十个数字中随机抽取一个数字如3，则学号尾数是这个数字的学生即被抽中因而，（课程标准2011版）中仅让学生通过实例感受简单随机抽样，反而束缚了学生的手脚，使得很多调查活动无法展开，经历数据收集的经过，流于形式，成为一句空话建议课程标准中能增加“通过案例，感受简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等抽样方法，进而，确保实际调查研究活动中，学生能根据情况选择合适的抽样方法，开展调查活动，切实构成数据收集的能力详细教学中，能够呈现一个详细的情境，如，为了解全校学生对学校某项管理规定的认可程度，设计了调查问卷，要求学生给出详细的调查方式，并
8、讲明各自调查方式的特点，在学生沟通的基础上，点出普查、简单随机抽样、系统抽样和分层抽样教学经过中，学生并不一定都能自主提出这么多种类的方案，能够引导学生考虑已有方案的优点与缺乏，进而引出新的方式如已经出现了简单随机抽样的情况下，引导学生考虑，这样的抽样是将全校学生作为一个整体，但学校有7、8、9三个年级几十个班级，抽样时最好能兼顾到年级、班级，能否将名额分解到班级呢？这就引出了分层抽样；继续引导学生考虑，假如每个班级恰抽取5个学生，对这些含有50名学生的班级都要分别随机产生5个学号吗？能否愈加快速地得到5个学号？进而引出系统抽样1.3关于图表（课程标准2011版）中对统计图表的要求是“会制作扇
9、形统计图，能用统计图直观、有效地描绘数据“能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中的信息2兼之小学阶段的“认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图，能用条形统计图、折线统计图直观而有效地表示数据2，义务教育阶段对统计图的总体要求是“能读懂、会制作，统计图包括条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图等但，现实生活中的统计图表，往往更为灵敏多样，经常会基于这些统计图表做出一些变化，如两组数据直接比照的“复式的条形统计图、扇形统计图的变异形式“环形的统计图，还有根据实际背景问题设计的、愈加直观形象的、甚至“变异了的统计图，如图2现有教科书，基本上严格根据课程标准的要求，仅仅介绍了相对规范的条形
10、图、扇形图、折线图、直方图等，而很少介绍更为形式多样的统计图，这无疑与现实需要有所脱节建议，课程标准中增补适当的语言，鼓励教科书能与时俱进地介绍一些更为多样更为形象的统计图，以引导老师教学考虑到课程标准是一个全国性的标准文件，不可能对详细素材都给予具体的规定，此外，这些“变异了的统计图，本质上还是常见的统计图，因而，课程标准仍只关注这些图表的最基本形式及其本质的揭示，但能够引导教科书适度创新为此，建议课程标准中教科书编写建议中能指出：教科书选材时，能够结合现实需要，呈现一些变异的、愈加直观形象的统计图，让学生能读懂现实生活中更为丰富的统计图，同时也能发现这些统计图的本质还是常见的统计图，一方面
11、更好地认识常见统计图的本质，另一方面，可以以基于实际的需要进行统计图的创新设计各种变化的统计图如图2所示1.4关于数据分布与数据直觉“数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构成关于研究对象知识的素养4分析数据，虽然能够基于计算，如，计算平均数、中位数、众数等感受数据的平均水平，计算方差、标准差等感受数据的波动水平但，这些“数的结果，隐去了“形的直觉，学生反而未必能从这些“数的信息中感遭到数据分布的整体状况另外，上述“数的结果，如“数的平均数、标准差等，并不能反映分布的全貌，如分布能否具有峰值、单峰还是多峰的、峰值居中还是有偏的、能否具有极端值等，而分布的图形
12、能够最为直观地展现数据分布特征此外，数字时代，媒体中呈现的有关数据信息，多是基于直观图表的，需要人们从直观图表中感受数据分布特征，因此，基于图表的数据分析成为一个重要的能力，这里的数据分析，虽然需要能读取出完好的数据信息并进行精准的计算，还需要根据图表对数据特征做出快速的估算，构成一定的数据直觉正是基于此，建议，教学中能以图表的形式呈现数据的分布，并引导学生从图表中初步感受分布的特征，能对数据的平均水平、波动水平基于直觉进行估算或者能对两组数据的平均水平、波动水平基于直觉进行比拟当然，也能从图表中获取数据，通过计算获得有关数据平均水平、波动水平的准确度量这样，既能够整体感悟数据的分布，也很好地
13、发展了学生的数据直觉这方面，北师大版初中数学教科书做了一定的尝试5，单独设计了一节内容，以图表的形式呈现数据，要求学生直接估计这组数据的平均数等统计量，并讲明是怎么估计的，然后再通过严格的计算校验本人的估计应该讲，这样的做法得到了一线师生的欢迎为此，建议课程标准增补：“能从图表中感受数据分布的特点，能估算或计算数据的平均数、标准差等，发展学生的数据直觉较早通过图形感受数据分布，符合国际统计教育的趋势王建波在中美澳3国初中数学教材统计内容比拟研究中指出：“美国教材和澳大利亚教材出现较多的盒式图、异常值、四分位数、变异性等概念，中国教材中均未见涉及美国Connected教材中的分布，作为重要的内容
14、反复出现，而在中国两个版本的教材中均没有给予必要的重视6李俊以为：“固然关于分布的教学，在中国现行课程标准中主要安排在高中，但是在小学和初中学习条形统计图和折线统计图，就能够引导学生观察数据分布分布是统计知识网络中的重要节点，分布概念建立在中心、变异离散程度、形状、密度、偏度、频率、概率、比例关系和解释关系这9个概念之上；提早引导学生观察数据分布有助于学生逐步养成整体上研读数据的习惯，实现从局部到全局的认知飞跃；观察数据分布有利于概率和统计学习的融合71.5关于数学期望关于概率，（课程标准2011版）仅仅要求“列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率“知道通过大量的重复试验，能够用频率来
15、估计概率2但，一般而言，仅仅知道概率，并缺乏以做出行为判定人们做出判定，除了需要考虑各种状况出现的概率，还需要结合各种状况本身的价值，实际上，这就是数学期望的概念关于数学期望，美国等国家的初中数学教科书中都在正文中通过数学活动感受8建议将数学期望引进初中数学课程体系，当然，并不是严格给出数学期望的概念，而是基于一些简单的有关离散型随机变量的数学模型，通过实例感受数学期望此外，详细教学时，注重实验估算和理论计算相结合，并加强其与平均数的联络，进而促进学生的理解9北师大版初中数学教科书在这方面也做出了尝试10，设计了下面的活动：如图3所示详细教学时，能够先要求学生组成合作小组，用实验的方法分别估计
16、出获得100元、50元、20元奖券以及未能获得奖券的概率，并据此估计每转动一次转盘“平均收益；然后考虑将转盘中一样颜色的部分集中起来构成图4的转盘，结果能否发生变化，并将其与统计图表3进行比照，进而建立数学期望与平均数的联络2一线观点再调研上述建议是基于施行层面的观察、理性考虑以及文献研究得到的现阶段，一线老师直接影响着课程与教学的施行状况，因而，关于课程内容调整的建议，还需要得到一线老师的认同为此，在2018年910月间，借助北师大版初中教科书使用情况调查的契机，在问卷中除基本信息外，根据上述课程内容的讨论，设计了5道问题问题序号对应上述讨论问题，希望了解一线教师的观点2.1调查设计为了保证
17、调查的有效性，问卷初稿设计时，选择了部分教科书编者和专家型老师进行了专家咨询；2018年9月，借助老师研修活动的时机进行了初测，现场发放了60份问卷，收回有效问卷48份，根据现场答卷的情况，对部分试题进行了微调2018年10月，利用问卷星平台调查问卷，借助一些骨干老师研修群的传播，进行了为期半个月的匿名调查，介入调查人数为485人利用SPSS软件，对上述533份问卷中的第1题至5题进行可靠性分析，其内部一致性系数为0.633当项数小于6，内部一致性系数大于0.6，表明量表是有效的同时对现场测试与网络测试中这5道题的调查结果进行差异检验，结果如表1由表1可知，其中第1、3、5三道题的P值超过了0
18、.5，第2道题的P值也到达0.41，均大于0.05，讲明现场测试与网络测试在这4题中无显著差异第4题关于数据分布与数据直觉，P值小于0.05，讲明现场测试与网络测试的结果存在差异，该题只要两个选项，也许是一个影响因素，但从后文中详细数据看，两个群体的观点总体还是相近的考虑到网络测试样本容量较大，故后继取用网络测试的调查结果2.2调查结果1调查对象分布485个网络调查对象，涵盖了重庆、贵州、山西、江西、山东、辽宁、广东等16省市，具有很好的代表性有关身份信息如表2所示2调查结果对于数据类型、数据收集方法、“变异的统计图在教科书中的处理，分别设计了13这3道单项选择题，它们的A、B、C、D四个选择
19、支依次是“教科书正文中，通过详细实例让学生感受“教科书设计读一读等拓展性栏目介绍，让学有余力的学生自主学习“教科书中不予介绍，在老师用书等教学辅助资源中，适当介绍，让老师根据班级学生的实际状况，确定能否进行相关内容的教学“课程标准中没有提出明确的要求，建议教科书和老师用书都不必介绍这3题的调查数据如表3.不难看出，这3道题目的答卷中，占比最高的选项是A，都超过50%，即超过一半的被调查者赞同在教科书正文中通过实例让学生学习这些知识对于数据分布与数据直觉，设计了第4题，介绍了某教材对于此内容的处理：以图表形式呈现数据，要求学生直接估计这组数据的平均数等统计量，并讲明是怎么估计的，然后再通过严格的
20、计算校验本人的估算，现场测试中，72.92%的被调查者赞同该教材处理方式，网络调研中，赞同的比例高达88.04%而对于数学期望，设计了第5题，调查数据如表4基于上述内容审视与一线调研，建议课程标准中增补这些内容，明确要求：通过案例感受数据的类型，构成对数据的全面认识；通过案例感受简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等抽样方法，切实提高学生数据获取能力；通过案例从直观图形中获取数据，构成数据直觉；结合案例感受期望另外，在课程标准的教科书编写建议中，明确要请教科书编写中能结合现实生活“与时俱进地介绍更丰富直观的统计图表提到增补课程内容，可能有人会提出反对意见，“这不又增加了学生负担了嘛实际上，增补上述
21、内容，并不会给学生增加多少负担首先，增补这些内容，大致只需增加4个课时的学习时间，对于整个初中学习而言，是微缺乏道的；其次，增补的内容更为贴近学生的生活实际，总体难度不大，而且学习经过也更为关注学生的介入性学习，因而，增补这样的内容会得到学生的喜欢的；再次，增补概率统计的内容，是国际通识王建波比照中美澳3国初中数学中统计内容，发现，中国统计内容的广度最小，深度也较低6实际上，课程改革不能仅仅有增无减，应综合评估学科发展、时代变迁、学生认知等各个方面的因素，在有关内容之间寻求一个平衡既要顺应时展增补一些更贴合学生生活实际、更顺应时代需求的内容，同时，也应重新审视学科内容的现时价值，做出适当的删减
22、实际上，中国初中数学的学习内容，还有一定的删减空间，如马迎秋、曹一鸣比拟了多个国家的初中几何内容发现，中国内地初中几何课程在新课改之后删减了一定的内容，但是与其他国家和地区的教科书相比却还是最注重呈现几何内容容量的11相信，这能够给课程内容调整一些启示.参考文献1章飞，凌晓牧初中数学研究与教学指引M北京：北京师范大学出版社，2012：1742中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准2011年版M北京：北京师范大学出版社，2012：40，253中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准实验M北京：人民教育出版社，2003：254中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准2017年版M北京：人民教育出版社，2018：75马复义务教育课程标准实验教科书数学8上M北京：北京师范大学出版社，2014：1451486王建波中美澳三国初中数学教材统计内容的比拟研究M上海：上海教育出版社，2016：7273，77，937李俊中小学概率统计教学研究M上海：华东师范大学出版社，2018：1291319章飞义务教育阶段概率有关知识的内容定位与教材施行J数学教育学报，2004，131：485110马复义务教育课程标准实验教科书数学9下M北京：北京师范大学出版社，2014：11411611马迎秋，曹一鸣初中数学教科书几何内容分布的国际比拟研究J数学教育学报，2018，274：1217