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1、精选优质文档-倾情为你奉上课时数量2课时（120分钟）适用的学生水平优秀 中等 基础较差教学目标（考试要求）理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数单调性根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性能讨论简单复合函数的单调性渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点、难点重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性难点：复合函数的单调性分析建议教学方法数形结合，讲练结合第3讲 函数的单调性资 料，同号，平均变化率0，增函数；，异号，平均变化率0，减函数教学内容一、知识梳理单调性定义设函数的定义域为A，区间.如果取区间上的任意两个值1 ,
2、 2，改变量0，则当0时，就称函数在区间上是增函数；当0时，就称函数在区间上是增函数如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数设，若有（1）0，则有上是增函数（2）0，则有上是减函数F 提 示 函数、公共定义域指的定义域与的定义域的交集在函数、公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小（2）利用函数的单调性
3、解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值 若函数在定义域上递增，则函数值域为(，)；F 提 示 这一连串的看似相同的结论，结合单调函数的图象不难理解若函数在定义域上递减,则函数值域为(，)；若函数在定义域 上递增，则函数值域为 ， ；若函数在定义域 上递减，则函数值域为 ，；若函数在定义域上递增，则函数的最大值为，最小值为 ；若函数在定义域上递减，则函数的最大值为，最小值为；三、典型例题精讲例1若与在上都是减函
4、数，对函数的单调性描述正确的是( ) A. 在上是增函数 B. 在上是增函数 C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数解析: 由函数 在上是减函数，得 0，又函数在上是减函数，得 0，于是，函数，在上都是减函数， 函数在上是减函数，故选C【技巧提示】熟悉函数，的单调性与、的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性 例2求函数的最大值解析：由，知函数在其定义域 3，+ )上是减函数所以的最大值是F 提 示 利用函数的单调性求函数的值域这是求函数的值域的又一种方法【技巧提示】显然由使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的又例已知，则函数的值域是 .解析：在上单调递增，函
5、数的值域是即F 提 示 关于复合函数及复合函数的单调性问题，可由学生先初步了解，待学习基本初等函数时，逐步积累，再总结再例 求函数的值域解析：在定义域上是增函数，函数的值域为例3函数在R上为增函数，求函数单调递减区间解析：令，则在(,1上递减，又函数在R上为增函数，F 提 示 讨论给定函数在指定区间上的单调性，通常利用单调性的定义。作差，变形，判别符号是常规步骤。 函数单调递减区间为(,1.【技巧提示】这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数只要知道函数的单调性，与的单调性和单调区间相同如果变函数在R上为减函数，那么函数的单调性与函数的单调性相反，即函数单调递增区间为(,1.又例设
6、函数在R上为减函数，求函数单调区间资 料被称为对号函数对号函数是奇函数，其图象是双曲线，轴和直线 是其渐近线再例设函数在R上为增函数，且0，求证函数在R上单调递减 例4试判断函数在上的单调性并给出证明.解析：设 ， 由于 故当 时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数.【技巧提示】 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视事实上，函数的增函数区间为和，减函数区间为和但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”又例：求函数的最小值解析：由,用单调性的定义法易证在上是增函数，易求函数的最小值为为所求再例：已知函数. 若对于,0
7、恒成立，试求的取值范围.解析：由 .当0时， 显然有0 在恒成立；0时，由知其为增函数，只需的最小值30,解之，3.当3时，0在上恒成立.例5已知是定义在R上的增函数，对xR有0，且1，设=，讨论的单调性，并证明你的结论解析：在R上任取、，设， 是R上的增函数，且1，当x10时01，而当x10时1； 若10，则0 1， 0 1，0，； 10，则1 ， 1，0， ；综上，在（，10）为减函数，在（10，）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键例6已知，若在区间1，3上的最大值为，最小值为，令（1）求函数的表达式；（2）判断函数在区间，1上的单调性，并求的
8、最小值解析：（1）函数的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为有最小值 . 当23时，有最大值；当12时，a(有最大值M（a）f(3)9a5；（2）设则 上是减函数设 则上是增函数当时，有最小值【技巧提示】当知道对称轴为后，要求在区间1，3上的最大值为，最小值为，就必须分类讨论本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性四、课后训练1、函数的单调性描述，正确的是（ ）A、在(，)上是增函数； B、在(，0)(0，)上是增函数；C、在(，1)(1，)上是增函数； D、在(，1)和(1，)上是增函数2、证明函数在0，）上是增函数3、证明函数 在
9、上是增函数4、对于任意，函数表示，中的较大者，则的最小值是_.5、已知函数、在R上是增函数，求证：在R上也是增函数.6、已知函数，那么（ ）A在区间上是增函数B在区间上是增函数 C在区间上是减函数 D在区间上是减函数7、函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间是 8、函数的递减区间是 ；函数的递减区间是 9、设是上的减函数，则的单调递减区间为 10、求函数在区间上的最值11、若函数当时的最小值为，求函数当时的最值12、讨论函数，在11上的单调性五、参考答案1D 2略 3解析：设，则 （）， ， 0 函数 在上是增函数425证明：设，则0，0， 即 于是 0在R上也是增函数.6C 7 8和 910解析：函数，当 时，在区间上的最小值为1 在区间上的最大值为；当 时，在区间上的最小值为 在区间上的最大值为；当 时，在区间上的最小值为 在区间上的最大值为1；当 时，在区间上的最小值为 在区间上的最大值为1；11解析：因为函数当0时，最小值；当01时，最小值1；当1时，最小值；，当时的最大值为10；最小值为512解析：函数作函数， 为奇函数且在和上都是增函数， 当0时，在和上都是增函数； 当0时，在和上都是减函数专心-专注-专业