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1、精选优质文档-倾情为你奉上二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸克坚 （遵义师范学院贵州遵义）摘要：非数学专业常微分方程中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。但在一般非数学专业使用的高等数学教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文结合非数学专业学生的特点就特解的求法进行了分析和讨论。关键词： 常系数 线性 微分方程 特解 讨论中图分类号：O171 文献标识码：E 文章编号：1009-3583（2004）03-00 XING Ke-jian (Departent of Mathematics,Zunyi Normai Colle
2、ge,Zunyi ,China)Abstract: Key words: 一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的常微分方程教材中已得到完美的解决，但由于专业所限，非数学专业高等数学内容中常微分方程不可能系统介绍，往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：y+py+qy=f(x) （1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。这两个环节比较而言，难点在第二步求特解。虽然非数学专业的高等数学侧重于应用而不在于推导，但知识
3、点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而非数学专业使用的不少高等数学教材中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，让学生无法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。如笔者使用的这本教材中就仅从一个十分具体的例子：例1、求方程 y+y+y=x+2 (2)y+y =x+2 (3)y =x+2 (4)- 收稿日期：2004-03-作者简介：幸克坚（1954-），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学教育和数学史研究的特解来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特解： y*=+x；显然，一次式y*=+x不是方程（3）的解，设想它的特解为：y*=（+x）x；显然，（+x
4、）x不是方程（4）的解，设想它的特解为：y*=（+x）x2”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征方程无零根；方程（3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一具体例子，给 “二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。这样取材和讲解，很容易产生疑问：用一个系数这么简单的具体例子能得出可靠的普遍结论吗？方程的解的这三种形式是怎么得来的？除了这三种形式之外是否应该还有更多的其它形式？这三种形式与特征方程有无零根有何必然联系？产生疑问的结果，就是学生不能真正理解和熟练掌握，也无法形成清晰完整的印象。为了避免这种不良后果，笔者在
5、教学中针对非数学专业学生的数学基础，就特解的求法问题进行了如下的分析和讨论，就较为顺畅和易于理解： 二、特解的求法分析讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为： y+py+qy=f(x) (1)其中y项的系数为1，p、q为常数，f(x)为初等函数。因此， y 、y、y也只能是初等函数。而且能作为初等函数的微商或导函数出现的最常见的是多项式函数、三角函数和指数函数。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinx(或f(x)=acosx)、f(x)=aebx是最简单而常见的情况，我们就着重讨论f(x)的这三种形式。（一）首先考虑： y+py+qy=f(x) 中f(x)为一般的非零多项式的情形：
6、设非零多项式f(x)的次数为n，并设y*为（1）的解。因为（1）式右边为非零多项式，所以左边也必为非零多项式，而初等函数中有且仅有多项式函数的微商才为多项式，所以y*也必为非零多项式：不失一般，设y*=g(x)，并设g(x)的次数为m。下面分别根据（1）中系数情况来讨论m与n之间的关系：根据 y+py+qy=f(x) 中系数有下列三种不同情况：1） 当q0时(1)为： y+py+qy=f(x)。此时，方程右边f(x)的次数为n，将y*=g(x)代入左边，由于y*的次数为m，y*的次数为m1，y*的次数为m2，所以，方程左边的次数为maxm，m1，m2= m，应与方程右边f(x)的次数n相等。即
7、： m=n；2） 当q=0而p0时(1)为： y+py =f(x)。此时，方程右边f(x)的次数也为n，将y*=g(x)代入左边后方程左边的次数为maxm1，m2= m1，所以有： m1=n，即m=n+1；3） 当p=q=0时(1)为： y=f(x)。此时，方程右边f(x)的次数仍为n，将y*=g(x)代入左边后方程左边的次数为m2，此时即： m2=n，即m=n+2；这就是（1）中f(x)为一般的非零多项式时得出的特解y*与f(x)次数关系的一般性结论。现在来讨论f(x)为一次多项式时即f(x)=ax+b解的情况：仍设y*=g(x)为（1）的特解：1） 当q0时(1)为： y+py+qy=ax
8、+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n=1，故可设y*=g(x)为一次多项式g(x)=+x，将y*=g(x) =+x代入（1）式得： （+x）+p（+x）+q（+x）=ax+b即 ： p+q+qx=ax+b比较系数得： = ， = = 所以，（1）特解为： y*=+x2）当q=0而p0时(1)为： y+py = ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n+1=1+1=2， 故可设g(x)为二次多项式g(x)=（+x）x （注：为什么不设为一般的二次三项式ax2+bx+c？这种设法与设为一般的二次三项式ax2+bx+c有无本质上的区别？可留给学生自己思考和推算。）将y*=g(x)
9、 =（+x）x即y*=x+x2代入（1）式得： （x+x2）+p（x+x2）=ax+b即： 2+ p+ 2px=ax+b比较系数得： =， = = 所以，（1）特解为： y*=（+x）x 3）p=q=0时(1)为： y= ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n+2=1+2=3，故可设g(x)为三次多项式g(x)=（+x）x2，（注：为什么不设为一般的三次四项式ax3+bx2+cx+d？这种设法与设为一般的三次四项式ax3+bx2+cx+d有无本质上的区别？仍可留给学生自己思考和推算。）将y*=g(x) =（+x）x2即y*=x2+x3代入（1）式得： （x2+x3）=ax+b即：
10、2+ 6x=ax+b比较系数得： =， = 所以，（1）特解为： y*=（+x）x2以上就是y+py+qy=f(x) 中f(x)=ax+b即f(x)为一次多项式时，根据特征方程的“零”根的三种情况，有如下结论：1） 当q0时方程为 y+py+qy= ax+b，=0不是特征方程的根， 特解为一次多项式：+x；2） 当q=0而p0时方程为 y+py = ax+b，=0是特征方程的单根，特解为二次多项式：（+x）x；3） 当p=q=0时方程为 y= ax+b， =0是特征方程的重根， 特解为三次多项式：（+x）x2；并且，特解中待定系数、可以由原方程的系数p、q、a、b唯一确定。（二）其次考虑： y
11、+py+qy=f(x) 中f(x)=asinx(或f(x)=acosx)的情形： 即： y+py+qy= asinx （不失一般，取f(x)=asinx即可）因为复角“x”的正、余弦函数的微商（或导数）仍然是复角“x”的正、余弦函数，并且y、y与y中sinx与cosx总是交替出现的。因此，要使方程y+py+qy= asinx的特解y*代入原方程后等式成立，y*应该形如：y*= cosx+sinx 将y*= cosx+sinx代入原方程得：（cosx+sinx）+p（cosx+sinx）+q（cosx+sinx）= asinx 求导整理得：2cosx2sinxpsinx+ pcosx+ qcos
12、x+ qsinx= asinx 比较系数得： （q2）+ p=0 （q2）p= a所以当p0且q20时，特解中待定系数、可以由原方程的系数p、q、a、通过关系式： = =唯一确定。而p=0与q2=0正好与：（i）2+p（i）+q=0 等价，即 i 是特征方程：2+p+q=0 的根所以，当i 不是特征方程 2+p+q=0 的根时，原方程的特解由原方程的系数p、q、a、通过上式唯一确定。但当i 是特征方程： 2+p+q=0 的根时，p=0与q2=0，此时，若再设： y*= cosx+sinx将无法确定 、之值。考虑到这一结果正好是由 “cosx+sinx”及其微商导致的，故可参照f(x)为一次多项
13、式时的情形，考虑设： y*= （cosx+sinx）x则： （y*）= （cosx+sinx）x）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）（y*）=（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）=（2cosx 2sinx）x+2（sinx+cosx）代入原方程得： y*+ p y*+ q y*=（2cosx 2sinx）x+2（sinx+cosx）+ p（sinx+cosx）x+（cosx+sinx）+ q（cosx+sinx）x） = asinx比较系数得：（2cosx 2sinx）+ p（sinx+cosx）+ q（cosx+sinx）=02+ p = ap+2=0因i是特征方
14、程2+p+q=0 的根，所以p=0与q2=0，于是前面一式中的、可以为任意值，而由后二式解得： = = 所以，当i 是特征方程：2+p+q=0 的根时，、可由原方程的系数通过上式得出。综上所述，对于：y+py+qy= asinx 形式的非齐次方程，其特解为：1） 当i 不是特征方程 2+p+q=0 的根时，则原方程的特解是：y*= cosx+sinx，其中、由原方程的系数p、q、a、通过 ： = = 唯一确定。2） 当i 是特征方程：2+p+q=0 的根时，原方程的特解是：y*= （cosx+sinx）x，其中、可由原方程的系数通过： = = 唯一确定。而对于： y+py+qy= bcosx
15、形式的方程，可以类似地讨论，这里就不赘述了。（三）最后考虑： y+py+qy=f(x) 中f(x)=aebx 即 y+py+qy=aebx的情形： 由于ebx的各阶微商及其原函数均为ebx的常数倍，所以，方程y+py+qy=aebx 的特解也应该形如： y*=ebx将其代入原方程求导整理得： b2ebx+ pbebx+ qebx= aebx因为 ebx0，所以由上式得： （b2+ pb + q）= a所以，当 b2+ pb + q0，即 b 不是特征方程： 2+p+q=0 的根时， =方程的特解为： y*=ebx=ebx而当b2+ pb + q=0，即b是特征方程2+p+q=0的根时，由此式不
16、能确定的值，但若仍参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑设： y*=xebx 代入原方程求导整理得： （b2+ pb + q）xebx+(2b+ p)ebx= aebx两边约去（ ebx0）并比较系数得： b2+ pb + q=0 且 (2b+ p)=a前一式说明b是特征方程： 2+p+q=0 的根，于是，在2b+ p0，即b只是特征方程 2+p+q=0的单根，而不是重根的情况下有： = 即原方程的特解为：y*=xebx = xebx在2b+ p=0，即b是特征方程2+p+q=0的重根的情况下，由上式无法确定之值，但也参照f(x)为多项式时的情形，可考虑设 y*=x2ebx 代入原方程求导整理
17、得：y*+p y*+q y*=2ebx+（4b+2p）xebx+（ b2+ pb + q）x2ebx=a ebx 即：2=a ， = 即原方程的特解为：y*=x2ebx = x2ebx综上所述，在f(x)=aebx的情况下：1） 若b 不是特征方程 2+p+q=0 的根，则特解为： y*=ebx=ebx2） 若b 是特征方程 2+p+q=0 的单根，则特解为： y*=xebx = xebx3） 若b 是特征方程 2+p+q=0 的重根，则特解为： y*=x2ebx = x2ebx笔者认为，鉴于非数学专业学生数学基础特别是数学思维习惯较之数学专业的学生要差一些，不在理论推导上严格要求是合理的，但正因为如此，更由必要让他们对所学数学内容产生兴趣，对所学的知识正确理解和掌握，才能够基本学好、会用。所以，对每一个知识点一定要循序渐进，介绍得自然、流畅、完整，才有可能达到这门课程预期的目的。参考文献：上海师范大学数学系高等数学Z北京高等教育出版社1978185-186专心-专注-专业