《电磁场数学方法总复习(共23页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场数学方法总复习(共23页).doc（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上电磁场数学方法第一章 场论1 方向导数定义：M0M方向导数是在一个点处沿方向的函数对距离的变化率。当时，函数沿方向增加。当时，函数沿方向减少。定理1. 函数在点处可微；，为方向的方向余弦，则函数在点处沿方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：其中是在点处的偏导数。2 梯度方向导数解决了函数在给定点处沿某个方向的变化率问题。梯度则解决了函数在给定点处沿哪个方向的变化率最大的问题。考察方向导数公式：式中，。梯度的定义：若在数量场中的一点处，存在这样一个矢量，其方向为函数在点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量为函数在点处的梯度，记作，即：3 矢量
2、场的通量及散度通量通量的定义：设有矢量场，沿有向曲面某一侧的曲面积分称为该矢量穿过曲面的通量。散度散度的定义：。物理意义：散度表示场中一点处通量对体积的变化率。计算公式：在直角坐标系中，矢量场在任一点处的散度为4 矢量场的环量及旋度环量环量的定义：设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的曲线积分叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线的环量。旋度旋度的定义：若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，矢量场在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度，记作，即。物理意义：旋度矢量在数值和方向上表示了最大的环量面密度。其在任一方向的投影就等于该方向上的环量面密度。
3、计算公式：在直角坐标系中旋度表示为：或5 几种重要的矢量场有势场定义：设有矢量场，若存在单值函数满足，则称此矢量场为有势场；令，并称为这个场的势函数。矢量。有势场，无旋场，保守场是等价的。管形场定义：设有矢量场，若其散度，则称此矢量场为管形场，也称无源场。为何将其称为管形场？调和场定义：如果在矢量场中恒有与，则称此矢量场为调和场，即既无源又无旋的矢量场。第二章、数学建模数学物理定解问题1、数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来，与定解条件无关。而物理规律反映的是某个物理量在邻近地点和邻近时刻之间的联系，因此数学物理方程的导出步骤为：(1) 首先确定所研究的物理量；(2)
4、从所研究系统中选定微元，根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量；(3) 用算式表达这种相互影响，经简化整理就是数学物理方程。波动方程输运方程恒定场方程的泊松方程拉普拉斯方程2、定解条件定解条件包括初始条件、边界条件，还有衔接条件。有时衔接条件也称为边界条件，只是与下面我们介绍的三类边界条件有些差别而已。初始条件所谓的初始条件某个物理量在“初始”时刻的状态，而这个“初始”时刻也是相对的。从数学角度看，对泛定方程中出现一阶导数，方程为一阶微分方程，只需要初始条件，比如输运方程；而对泛定方程中出现二阶导数，方程为二阶微分方程
5、，需要两个初始条件。边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。式中、和为已知函数，为常数系数。衔接条件电场强度和电位的边界条件：静电场中不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均必然连续(分界面上无源)式中、和和分别为介质1和介质2的切向和法向电场强度，为和分别为介质1和介质2的电位，和分别为介质1和介质2的介电常数。定解问题的提法定解条件：初始条件和边界条件(包括衔接条件)；定解问题：泛定方程(偏微分方程)和相
6、应的定解条件结合在一起为定解问题；初值问题：又称柯西问题，只有初始条件，没有边界条件的定解问题为初值问题；边值问题：只有边界条件，没有初始条件称为边值问题；混合问题：既有初始条件，又有边界条件，称为混合问题。定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。3、数学物理方程的分类两个自变量的方程的分类两个自变量的偏微分方程为式中和只是和的函数，且假设为实数。作自变量的代换根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型4、达朗贝尔公式泛定方程该方程的解为达朗贝尔公式第三章、分离变量(傅立叶级数)法基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程
7、，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。本征函数：本征函数为三角函数，后面会用到本征函数为贝塞尔函数等特殊函数。1、齐次方程的分离变量法2、非齐次泛定方程此时讨论和研究非齐次泛定方程只考虑泛定方程为非齐次，而边界条件为齐次的，初始条件数值也为零。如果初始条件数值不是零，那么可以令，使得下式成立 = + 傅立叶级数法非齐次泛定方程的定解问题也可以傅立叶级数求解，也即把所求的解展开为傅立叶级数式中傅立叶级数的基本函数族为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数。冲量定理法冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力
8、引起的振动的叠加。格林函数法特解法3、齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理第四章、二阶常微分方程级数解法-本征值问题1、特殊函数常微分方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程的一般形式为。(1) 球坐标系若极轴为对称轴，则，那么连带勒让德方程变成(2) 柱坐标系波动方程三维波动方程为输运方程三维输运方程为亥姆霍兹方程(1) 球坐标系(2) 柱坐标系4.2、常点邻域上的级数解法常微分形式：线性二阶常微分方程式中为复变函数，为选定的点，、为复常数。方程的常点：常微分方程中系数和在选定的点的邻域中是解析的，则点称为方程的常点。方程的奇点：常微分方程中系数和在选定的点是或的奇点，则点称为方程的奇点。2、常点邻域上的
9、级数解常点邻域上的级数解法求解勒让德方程的解4.3、正则奇点邻域上的级数解法1、奇点邻域上的级数解求解标准形式的线性二阶常微分方程若选定的点是和的奇点，则点称为该方程的奇点。和不再能展开为以为中心的泰勒级数而是展开为含有负幂项的罗朗级数，2、确定判定方程4.4、斯特姆-刘维本征值问题1、斯特姆-刘维本征值问题对一般二阶常微分方程的本征值问题时，通常用适当的函数遍乘微分方程各项，表示为斯特姆-刘维型形式附以相应的边界条件(第一类、第二类或第三类边界条件或自然边界条件)，构成斯特姆-刘维本征值问题。2、斯特姆-刘维本征值问题的性质(1) 如果连续或最多以和为一阶极点，则存在无限多个本征值对应有无限
10、多个本征函数这些本征函数的排列次序正好使节点个数依次增多。(2) 所有本征值。(3) 对应于不同本征值和的本征函数和在区间上带权重正交，也即(4) 本征函数簇是完备的，也就是说，函数如具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数簇所满足的边界条件，就可以展开为绝对且一致收敛的级数第五章、球函数1、轴对称球函数所谓的轴对称，表明解与无关，也即，则阶勒让德方程勒让德多项式(1) 勒让德多项式的表达式式中表示不超过的最大整数，也即前几项勒让德多项式是(2) 勒让德多项式的微分表示称为罗德里格斯公式。(3) 勒让德多项式的积分表示基于科西公式，上述的微分公式可以表示为积分形式称为施列夫利积分。还
11、可以表示为另一种形式称为拉普拉斯积分。由该积分表达式可以得到若，则拉普拉斯积分形式可以表示为勒让德多项式的正交关系勒让德多项式为斯特姆-刘维本征值问题正交关系的特例，因此该正交关系也可以表示为广义傅立叶级数根据斯特姆-刘维本征值问题的性质，勒让德多项式是完备的，那么定义在区间上的函数或定义在的区间上的函数展开为广义傅立叶级数母函数递推公式2、连带勒让德函数连带勒让德方程为连带勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，本征值为而本征函数就是连带勒让德函数根据连带勒让德函数可以得到(2) 连带勒让德函数的微分表示(3) 连带勒让德函数的积分表示连带勒让德函数还可以写成积分的另一种形式为该方程称为拉普
12、拉斯积分。连带勒让德函数的正交性作为斯特姆-刘维本征值问题的正交关系的特例，对同一而不同阶的连带勒让德函数在区间上正交，因此广义傅立叶级数由于同一的连带勒让德函数是完备的，因此可作为广义傅立叶级数的基，也即定义在的区间上的函数可以展开为广义傅立叶级数。也即连带勒让德函数的递推公式3、一般的球函数球函数的表达式球函数方程的解称为球函数，表示为由此可知，球函数有一个为，而，则分别对应两个球函数为和。因此球函数的复数形式为因此阶球函数有个。球函数的正交性任意两个球函数在球面上正交式中由于因此由于复数形式因此复数形式的球函数模的平方为因此复数形式球函数的模为3、球面上函数的广义傅立叶级数定义在球面(上
13、的函数可用球函数展开为二重广义傅立叶级数。下面我们分两步展开。首先把对展开为傅立叶级数系数和分别为又可把和在区间上展开成式中从开始是因为若，因此函数在球面上展开为二重广义傅立叶级数的形式为若把函数在球面上展开为复数形式的二重广义傅立叶级数的形式为式中系数为4、加法公式把勒让德多项式用球函数展开为广义傅立叶级数该式称为球函数的加法公式，为和之间的夹角。因此存在下列关系如果能改成复数形式，那么球函数的加法公式就变成第六章、柱函数1、柱函数1、三类柱函数在柱坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量法得到贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程在球坐标系中对亥姆霍兹方程进行分离变量法得到球贝塞尔方程对应于贝塞尔方程的通
14、解为或上述第一种解的表达式只对为非整数情况是成立的，因为当为整数阶时，两个解不是独立的解；第二种解的表达式对任意均成立。还可以把贝塞尔方程通解也可以表示为式中和分别称为第一种汉克尔函数和第二种汉克尔函数，表示为我们把贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数或分别称为第一类、第二类和第三类柱函数。2、渐近特性因此当时当时3、递推公式根据贝塞尔函数的级数表达式可以得到令，则同理可以得到由于诺伊曼函数是正、负阶贝塞尔函数的线性组合，而汉克尔函数和是贝塞尔函数和诺伊曼函数的线性组合，因此贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数或均满足上述递推关系。对两个递推关系式的右端求导项展开得到由这对关系式分别消去和，得到6
15、.2、贝塞尔方程1、贝塞尔函数和本征值在柱坐标系下，拉普拉斯方程经过分离变量法得到而由的自然周期性条件得到本征值和本征函数分别为那么剩下的第二个方程变成也即变成两个常微分方程式中为待定的本征值，是由齐次边界条件确定。下面按照、和给出的解为的解为由于圆柱轴上的自然边界条件，也即当，为有限的，因此的解应该写成对圆柱内部问题，若圆柱侧面有齐次的边界条件，则；若圆柱上下底面为齐次边界条件，则，也即问题的本征值是由齐次边界条件决定的。现在讨论圆柱侧有齐次边界条件情况，也即情况。柱侧的齐次边界条件决定了本征值，对应的就是本征函数。(1) 第一类齐次边界条件，其中为圆柱半径，因此，因此本征值为式中为的第个零
16、点。(2) 第二类其次边界条件，也即，则，因此本征值为式中为的第个零点。贝塞尔函数的正交关系作为斯特姆-刘维本征值问题的正交关系的特例，对应于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间上带权重正交，也即贝塞尔函数的模贝塞尔函数的模为对第一类边界条件，贝塞尔函数模的平方为若把递推关系代入上式，那么对第二类边界条件，则贝塞尔函数模的平方为对第三类边界条件，则贝塞尔函数模的平方为傅立叶-贝塞尔级数根据斯特姆-刘维本征值问题的特性，本征函数族是完备的，也即可以作为广义傅立叶级数展开的基函数。在区间上函数的傅立叶-贝塞尔函数为母函数把和分别展开为绝对收敛级数，然后逐项相乘而得到因此称为整数阶贝塞尔函数的母函数。积
17、分表示令，则又令，则再令从上述展开式可以看到，可以看作是的傅立叶级数的系数，因此由于中虚部是的奇函数，其在上积分为零，因此同理可以得到7、加法公式根据整数阶贝塞尔函数的母函数关系式来推导加法公式。比较两边的系数即可得到加法公式为2、虚宗量贝塞尔方程拉普拉斯方程定解问题的柱侧面有齐次边界条件，对应的解是贝塞尔函数；而柱上下底面有齐次边界条件，对应的解是虚宗量贝塞尔函数，此时。虚宗量贝塞尔方程为其解为解虚宗量贝塞尔函数另外一个独立解为因此和分别为虚宗量贝塞尔方程的两个独立解。其渐近公式为当时当时和差别：的级数展开式中各项交替取正负号，而的级数展开式中各项只取正号，因此没有零点，而有零点。我们还可以验证下列关系式成立3、球贝塞尔函数在球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量得到球贝塞尔方程为若令，那么这是阶贝塞尔方程。附件1、以勒让德多项式为基，在区间上把下列函数展开为广义傅立叶级数。(1) 解：把展开为广义傅立叶级数则其系数为则因此(2) 解：把展开为广义傅立叶级数式中设(1) 当时，在上为偶函数，则利用正交性当或时因此(2) 当时由于是以为一级零点，因此利用二项式定理得到对该多项式求导次，只有为常数项，则因此也就是系数专心-专注-专业