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1、精选优质文档-倾情为你奉上用绝对值的几何意义解题湖北省黄石市下陆中学刘加禄大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|ab|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍一、求代数式的最值 例1 已知a是有理数，| a2007|+| a2008|的最小值是_.解：由绝对值的几何意义知，| a2007|+| a2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在20072008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a2007|+| a2008|的最小值为1. 例2 |x2| x5
2、| 的最大值是_，最小值是_解：把数轴上表示x的点记为P由绝对值的几何意义知，|x2| x5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在25之间（包括这两个端点）时，其差在33之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x2| x5|的最大值和最小值分别为3和3二、解绝对值方程 例3 方程|x1|+|x2|4的解为_ 解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当2x1时，|x1|+|x2|恒有最小值3，所以要使|x1|+|x2|4成立，则点P必在2的左边或1的右边，且到表示数2或1的点的距离均为个单位（如图
3、3所示），故方程|x1|+|x2|4的解为：x 2，x 1+ 三、求字母的取值范例4 若 |x+1|+|2x|3，则x的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x2|的最小值为3，此时x在12之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是1x2例5 对于任意数x，若不等式|x2|+|x4|a恒成立，则a的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x4|的最小值为6，而对于任意数x，|x2|+|x4|a恒成立，所以a的最值范围是a6 四、解不等式例6 不等式|x2|+|x3|5的解集是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x3|的最小值为5，此时x在23之间（包括两
4、端点）取值，若|x2|+|x3|5成立，则x必在2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x2或x3五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x2|1996共有（ ）个解A.4； B 3； C 2； D1解：当x在991之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|98，|x2|98此时，|x+1|+|x+99|+|x2|1996，故|x+1|+|x+99|+|x2|1996时，x必在991之外取值，故方程有2个解，选（C）六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x2|+|1x|9|y5|1+y|，求x+ y最大值与最小值解：原方程变形得|x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9， |x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6，而|x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9，|x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6，2x1，1y5，故x+ y的最大值与最小值分别为6和3专心-专注-专业