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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学八年级上册（北师大版）第一单元勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角ABC的三边的关系是.参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2S3，从而得到：AB2+BC2AC2.2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角ABC的三边的关系是.参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2S3，从而得到：AB2+BC2A
2、C2.3.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形4SRt+S小正方形，得c24ab+(ba)2 a2+b2c2.4.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形4SRt+S小正方形，得(a+b)24ab+c2 a2+b2c2.5.如图，已知AB90且AEDBCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.参考答案：先证明DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个三角形面积之和得(a+b)22ab+c2, a2+b2c2.6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.参考
3、答案：方法类似第5题.7.（2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图11）.图12由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图12中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 .参考答案：8.（2010 湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图1中
4、的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：= .又在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，参考答案：定理表述如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 尝试证明又 整理，得 知识拓展【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A，B，C.参考答案：10，144，1600.2.如图，直线l上有三个正方形a、b、c若a和c的面积分别为5和11，则b的面
5、积为多少？参考答案：先证两直角三角形全等，得FEBC，从而得正方形b的面积为16.3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：显然SBCEa2，SACDb2 ，SABFc2 又a2+b2c2 Sa+SbSc.4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：类似上一题.5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：类似上一题.6. 如图，已知ABC中，ACB90，以ABC的各边为长边向形外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S1、S2、S3之间有什么关系，并
6、证明你的结论.参考答案：类似上一题.7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为多少？参考答案：49cm2.8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3 ，则 S1 S2 S3 S4= . 参考答案：a+c【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证【选择题】1.在RtABC中，C90，a12，b16，则c的长为（ ）A.26 B.18 C.20 D.21参考答案：C2.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为
7、（ ）A.3 B.4 C.5 D.参考答案：C3.在RtABC中，C90，B45,c10，则a的长为（ ）A.5 B. C. D.参考答案：C4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A. B. C. D.3参考答案：B5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：C6.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（ ）A.5 B. 6 C. D.5或参考答案：D7.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（）A.a=2，b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25C.a=6, b=8,
8、c=10 D.a=3, b=4, c=5参考答案：A8.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.A.10m B.11m C.12m D.13m参考答案：C9.现有两根木棒,长度分别为44和55.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.A.22 B.33 C.44 D.55参考答案：B10一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10参考答案：D11直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为34，
9、那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm北南A东参考答案：D12将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定参考答案：A13已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A25海里B. 30海里C. 35海里D. 40海里参考答案：D14. （2010山东临沂）如图，和都是边长为4的等边三角形，点、在同一条直线上，连接，则的长为（）A.B.C.D.参考答案
10、：D15. （2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm参考答案：B16. （2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式（）A. B. C. D.O参考答案：C17. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m
11、D.9m参考答案：C18. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm参考答案：D19. （2011贵州贵阳）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7参考答案：D20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值有（ ）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个参考答案：B 斜
12、边可以为4或x,故两个答案.21如果Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A.6013B.512C.1213D.60169参考答案：D22直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）A.121 B.120 C.132 D.以上答案都不对参考答案：C【填空题】1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为_参考答案：12或7 提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或，所以直角三角形的周长为34512或347.2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_.参考答案：3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高
13、为_参考答案： ，提示：设斜边的高为，根据勾股定理求斜边为 ，再利用面积法得，；4.如图，学校有一长方形花圃，长4m，宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为lm），却踩伤了花草.参考答案：4.5.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是 . 参考答案：76.6如图，将一根长 24 cm的筷子，置于底面直径为 5 cm，高为 12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯外的长度
14、为h cm，则h的取值范围是 .参考答案：11h12.7.在RtABC中, C=90,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=_.参考答案：9.8.已知：如图，在RtABC中，B=90，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，AC=10，则AB=_.参考答案：6.9.已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：15或.10.在RtABC中，C=90，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则= . 参考答案：136011（2010辽宁丹东市）已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边
15、，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 参考答案：12.（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 参考答案：.13.（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BA
16、C=3DBC，BD=，则AB= 参考答案：1214.（2010河南）如图，RtABC中，C=90, ABC=30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 .参考答案：2 AD 1），那么它的斜边长是（）A.2nB.n+1C.n21D.n2+1参考答案：D【填空题】1.若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 .参考答案：直角三角形.2. ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .参考答案：90.3.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .参考答案：54.4.已知三角形ABC的三边长为满足，则此三角形为 三角形.参
17、考答案：直角三角形.5.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .参考答案：6.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：13cm或【解答题】1. 如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.参考答案：36（连接AC） FEACBD2. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由.参考答案：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=
18、20，AE2= EF2 +AF2，AEF是直角三角形3. 在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn).求证：ABC是直角三角形.参考答案：证(m2n2)2+(2mn)2(m2+n2)24.张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表：n2345a22 - 132 - 1 42 - 152 - 1b46810c22 + 132 + 1 42 + 152 + 1请你分别观察a b c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的式子表示：a= ,b= , c= . 猜想：以a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案： n2-1,2n,n2+1猜想：以abc为边的三角形为直角三角形。证明略5. 观察下列勾股数：第一组：3=211， 4=21（1+1）， 5=21（1+1）+1；第二组：5=221， 12=22（2+1）， 13=22（2+1）+1；第三组：7=231， 24=23（3+1）， 25=23（3+1）+1；第三组：9=241， 40=24