初中因式分解的常用方法—特色专题详解(共30页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上初中因式分解的常用方法特色专题详解一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法,即用 写出结果三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:例2、分解因式:对应练习:分解因式1、 2、(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式: 例4、分解因式: 对应练习:分解因式3、 4、综合练习:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点:(1)二次项系数是1; (

2、2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式:例6、分解因式:对应练习5、分解因式(1) (2) (3) 对应练习6、分解因式(1) (2) (3)(二)二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) (2) (3) 分解结果:=例7、分解因式:对应练习7、分解因式:(1) (2) (3) (4)(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:对应练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 对应练习9、分解因式:(1) (2)综合练习10、(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)思考:分解因

3、式:五、主元法. 例11、分解因式: 对应练习11、分解因式(1) (2) (3) (4)六、双十字相乘法。定义:双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件:(1),(2),即: ,则例12、分解因式(1) (2)对应练习12、分解因式(1) (2)七、换元法。例13、分解因式(1) (2)对应练习13、分解因式(1)(2) (3)例14、分解因式(1)观察:此多项式的特点是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。对应练习14、(1)(2)八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式(1) 对应练习15、分解因式(1) (2)(3) (4)(5

4、) (6)九、待定系数法。例16、分解因式例17、(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果有两个因式为和,求的值。对应练习17、(1)分解因式(2)分解因式(3)已知:能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。(4)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。初中阶段因式分解的常用方法(例题再详解)把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法

5、,即用 写出结果三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式= = 每组之间还有公因式! = 思考:此题还可以怎样分组?此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解:原式= 原式= = = = =练习:分解因式1、

6、 2、(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式= = = 例4、分解因式: 解:原式= = =注意这两个例题的区别!练习:分解因式3、 4、综合练习:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11)(12)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式:分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。 由于

7、6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6),从中可以发现只有23的分解适合,即2+3=5。 1 2解:= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式:解:原式= 1 -1 = 1 -6 (-1)+(-6)= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)(二)二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) (2) (3) 分解结果:=例7、分解因式:分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11解:=练习7、分解因式:(1) (2) (3) (4)(三)二次项

8、系数为1的齐次多项式例8、分解因式:分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解:= =练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式=练习9、分解因式:(1) (2)综合练习10、(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)思考:分解因式:五、主元法. 例11、分解因式: 5 -2解法一:以为主元 2

9、-1 解:原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二:以为主元 1 -1 解:原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、双十字相乘法。定义:双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件:(1),(2),即: ,则例12、分解因式(1) (2)解:(1)应用双十字相乘法: ,原式= (2)应用双十字相乘法: ,原式=练习12、分解因式(1) (2)七、换元法。例13、分解因式(1)

10、 (2)解:(1)设2005=,则原式= = =(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设,则原式= =练习13、分解因式(1)(2) (3)例14、分解因式(1)观察:此多项式的特点是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。解:原式=设,则原式= = = = (2)解:原式= 设,则 原式= =练习14、(1)(2)八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式(1) 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = = =(2)解:原式=练习15、

11、分解因式(1) (2)(3) (4)(5) (6)九、待定系数法。例16、分解因式分析:原式的前3项可以分为,则原多项式必定可分为解:设=对比左右两边相同项的系数可得,解得原式=例17、(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果有两个因式为和,求的值。(1)分析:前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为解:设= 则=比较对应的系数可得:,解得:或当时,原多项式可以分解;当时,原式=;当时,原式=(2)分析:是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。解:设= 则=,解得,=21练习17、(1)分解因式(2)分解因式(3)已知:能分解成

12、两个一次因式之积,求常数并且分解因式。(4)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。补充:一定要记住的公式大全:平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 完全平方公式:a22abb2(ab)2; 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); 立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); 完全立方公式:a33a2b3ab2b3=(ab)3 公式:a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十

13、字相乘法初步公式:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) *(可不记)十字相乘法通用公式:如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)因式分解方法(重要:因式分解法的结果一定是多个因式相乘):方法一:分组分解法步骤 类型一 分组后能直接提取公因式 1.分组后能直接提取公因式 2.提完公因式之后,每组之间应该还可以提公因式(此时,应注意观察)。 类型二 分组后能直接运用上面的公式方法二: (当用方法一不行时,这时可考虑用十字相乘法) 十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式类型一 直接利用公式进行分解。类型二 *十字相乘法通用公式:如

14、果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 总结:不管用什么方法,最后的结果都是由多个因式相乘了,因此,当自己解完题后不是因式相乘了,那么应该反回去再检察题目,看看能不能用其他的方法来解决该题目。 因式分解巩固练习(精选) 练习一 分组分解法类型一(用两种方法来解)1. 2.3. 4. 练习二 分组分解法类型二5. 6.7. 8. 练习三 十字相乘法 9. 10. 11. 12. 综合练习1. 2.3. 4.5.a2-b2-2b-1 6.(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 7.a6-10a3+16 8.答案:1. 2.或 3.4. 56. 7. 8.(x+y+z)(x-y-z) 9. 10. 11. 综合练习答案1. 2. 3.4. (x+y-6z)2 5.(a-b-1)(a+b+1) 6.a-b-c+1)(a-b-c-1) 7.( a3-2)(a-2)(a2+2a+4)8.专心-专注-专业

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