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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的周期性与对称性函数的轴对称定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.函数的周期性定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（ab）为周期的周期函数；推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：专心-专注-专业 ； ； ； ； 函数的点对称定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称.函数轴对称、点对称与周期性定理4：若函数
2、在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（ba）都轴对称，则函数f(x)有无数条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（ba）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）函数的奇偶性、对称性与周期性综合定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a成轴对称，又关于点（b,c）（ab）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4
3、(b-a)是它的一个周期）推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期；推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0) (a0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。定理7：函数为偶函数函数关于直线x=a对称；函数为奇函数函数关于点对称。练习1：对称性1、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于_对称。2、设函数的定义域
4、为R，且满足，则图象关于_对称。3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于_对称,图象关于_对称。4、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于_对称，关于_对称。5、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为_ _ 。6、设函数的定义域为R，则下列命题中: 若是偶函数，则图象关于y轴对称； 是偶函数，则图象关于直线对称； ，则函数图象关于直线对称； 与图象关于直线对称.其中正确命题序号为_ _。练习2：周期性1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则 ( )A. B.C. D.3
5、、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ） A. B.C. D.4、函数对于任意实数满足条件，若则_ _。5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为_ _。6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间0,7上,只有f(1)= f(3)=0.试求方程f(x)=0在闭区间-2008,2008上的根的个数.7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，求解析式。练习3：奇偶性、对称性与周期性综合1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函
6、数 C. D.是奇函数2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是（ ）A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,则_ _。4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值_6、已知f(x)是定义在
7、R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，求f(2009)的值_。7、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。8、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,已知x2,2时,函数f(x)=x2+1.求当x6, 2时,f(x)的解析式。9、函数是定义在R上的偶函数，其图像关于对称，对任意，都有，且.求,； 证明是周期函数； 记，求.10、定义在R上的函数，对任意，有，且，（1）求证：；（2）判断的奇偶性；（3）若存在非零常数c,使，证明对任意都有成立；函数是不是周期函数，为什么？11、是定义在R上的以2为周期的函数，对，用表
8、示区间，已知当时，求在上的解析式。函数的周期性（一）基本知识点1、周期函数的定义2、周期性的判定：（1）用定义（2）用性质设是非零常数，若对于函数定义域中的任意，恒有下列条件之一成立：；则是周期函数，是它的一个周期。（3）用对称性与周期性的关系：若的图象有两条对称轴和，则必为周期函数，且是它的一个周期；若的图象有两个对称中心和，则是一个以为周期的周期函数；若的图象有一个对称轴和一个对称中心，则是一个以为周期的周期函数。3、周期性的应用（二）精典例题1、（1）已知是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，则的取值范围是（ ）ABC D（2）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且 (
9、 ) A4 B2 C 2 D学2、（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数3、已知函数对任意实数均有，且存在非零常数（1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明；（3）求证是周期函数，并求出的一个周期. 4、定义在上的周期函数，其周期，直线是它的图象的一条对称轴，且上是减函数如果、是锐角三角形的两个内角，则 与的大小关系为 5、设是定义域为R的函数，且，又，则= 。6、定义在R上的函数f(x)满足,则的值为（ ）(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)27、已知函数函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称。（1）求的
10、值（2）证明函数是周期函数（3）若,求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。8、（2011年数学理（上海）设是定义在上.以1为周期的函数,若在上的值域为,则在区间上的值域为_.9、定义在上的函数，给出下列四个命题：（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称（2）若则的图象关于点对称（3）若=，且，则的一个周期为2。（4）与的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 。10、设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上根的个数，并证明你的结论。11、若为定义在上的函数，且，则为（ ）A 奇函数且周期函数； B.
11、 奇函数且非周期函数；C 偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数12、已知定义在R上的函数的图像关于点对称,且满足,则 的值为（ ）A. B.0 C.1 D.213、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且。（1）求及的值； （2）证明：是周期函数；（3）若，求的值。14、（2010年高考（重庆理）已知函数满足: ,则=_.（三）巩固与提高：1、若为上的奇函数,且满足,对于下列命题:；是以4为周期的周期函数；的图像关于对称；.其中正确命题的序号为_。2、定义域为的函数满足，且为偶函数，则（ ）（A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数（C）是周期为12的周期
12、函数 （D）不是周期函数3、定义在在上是减函数。下面四个关于的命题：是周期函数； 的图象关于对称；在上是减函数； 在上为增函数。其中真命题的序号为 . 4、函数是定义在上以2为周期的周期函数，同时又为偶函数，并且在区间上，则当时，_ _。5、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6、设定义在R上，且对任意，总成立，证明是周期函数，并找出它的一个周期。7、设函数对任一实数满足：，且，求证：在区间上至少有13个根，且是以10为周期的周期函数。8、对任意实数，函数满足等式，当时，则当时，_ 。9、定义在实数上的函数满足，则的值为_ 。10、已知是定义在实数集R上的函数，且，若，求11、设函数上的奇函数，且满足都成立，又当时，则下列四个命题：函数以4为周期的周期函数； 当1，3时，；函数的图象关于x=1对称； 函数的图象关于点（2，0）对称，其中正确的命题序号是_。12、若的图像关于直线和对称，则的一个周期为（ ）A B C D13、已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：； 求的解析式； 求在上的解析式。