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1、7 7 最大面积是多少最大面积是多少1.1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值的模型思想和数学应用价值2.2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题际问题20)yaxbxc a二次函数（24,)4acbab顶点坐标为（2a244acba 当当a0a0时时,y,y有最小值有最小值 当当a0a0时时,y,y有最大值有最大值244acba二次函数的最值求法二次函数的最值求法(1)(1)设矩
2、形的一边设矩形的一边AB=xm,AB=xm,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取取何值时何值时,y,y的值最大？最大值是的值最大？最大值是多少多少? ?如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .M MN N40m40m30m30mA AB BC CD D【例题例题】 31 .ADbm,bx30.4 设易得 2332 .(30)3044yxbxxxx .30020432x.30044,20
3、2:2abacyabx最大值时当或用公式解析：解析：如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下半部是矩下半部是矩形形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有黑线的长度和图中所有黑线的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户
4、的面积是多少? ?【跟踪训练跟踪训练】4715.yxx 由157.4xxy得xx2152722215722 ()242xxxxSxyx窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时当或用公式2715225().21456x 解析：解析：即当即当x1.07mx1.07m时，窗户通过的光线最多时，窗户通过的光线最多. .此时窗户的面积为此时窗户的面积为4.02m4.02m2 21 1（包头（包头中考）将一条长为中考）将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两段，的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方
5、形，则这两个正方形面积之和的最小值是两个正方形面积之和的最小值是 cmcm2 225212.5或【答案答案】2 2（芜湖（芜湖中考）用长度为中考）用长度为20m20m的金属材料制成如图所的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为斜边长为2 2x x m m当该金属框围成的图形面积最大时，图当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积图形的最大面积xxxmxm，：2210222420,22其相邻边长为长是矩形的一边等
6、腰三角形的直角边为根据题意可得25100202232221221022xxxxxxxS积所以该金属框围成的面103020 2,.32 2x 当时 金属框围成的图形面积最大 2x60 40 2 m ,102210 3 2 210 2 10 m此时矩形的一边长为另一边长为22200300223100mS最大解析：解析：3 3（潍坊（潍坊中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面广场的地面ABCDABCD，已知矩形广场地面的长为，已知矩形广场地面的长为100100米，宽为米，宽为8080米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部米，图案设计如图
7、所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖（1 1）要使铺设白色地面砖的面积为）要使铺设白色地面砖的面积为52005200平方米，那么矩形平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？广场四角的小正方形的边长为多少米？（2 2）如图铺设白色地面砖的费用为）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米每平方米3030元，铺设绿色地面砖的费元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米用为每平方米2020元，当广场四角小正元，当广场四角小正方
8、形的边长为多少米时，铺设广场地方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？面的总费用最少？最少费用是多少？（1 1）设矩形广场四角的小正方形的边长为）设矩形广场四角的小正方形的边长为x x米，根据题意米，根据题意得：得：4x4x2 2（1001002x2x）（）（80802x2x）52005200，整理得整理得x x2 245x45x3503500 0，解得解得x x1 13535，x x2 21010，经检验，经检验x x1 13535，x x2 21010均适合题意，均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为所以，要使铺设白色地面砖的面积为52005200平方米，平方
9、米，则矩形广场四角的小正方形的边长为则矩形广场四角的小正方形的边长为3535米或者米或者1010米米【解析解析】（2 2）设铺设矩形广场地面的总费用为）设铺设矩形广场地面的总费用为y y元，元，广场四角的小正方形的边长为广场四角的小正方形的边长为x x米，则米，则y y304x304x2 2(100(1002x)(802x)(802x)2x)202x(100202x(1002x)2x)2x(802x(802x) 2x) 即即y y80 x80 x2 23600 x3600 x240000240000，配方得，配方得y y8080（x x22225 5）2 2199500199500，当当x x
10、22225 5时，时，y y的值最小，最小值为的值最小，最小值为199500199500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22225 5米时，米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500199500元元4 4（南通（南通中考）如图，在矩形中考）如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=mAB=m（m m是大于是大于0 0的常的常数），数），BC=8BC=8，E E为线段为线段BCBC上的动点（不与上的动点（不与B B，C C重合）连接重合）连接DEDE，作作EFDEEFDE，EFEF与线段与线段BAB
11、A交于点交于点F F，设，设CE=xCE=x，BF=yBF=y（1 1）求）求y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式. . （2 2）若）若m=8m=8，求，求x x为何值时，为何值时，y y的值最大，最大值是多少？的值最大，最大值是多少？（3 3）若）若 ，要使，要使DEFDEF为等腰三角形，为等腰三角形，m m的值应为多少？的值应为多少？12ym在矩形在矩形ABCDABCD中，中，B=C=90B=C=90，在在RtRtBFEBFE中，中， 1+BFE=901+BFE=90，又又EFDEEFDE， 1+2=901+2=90，2=BFE2=BFE，RtRtBFERtBFERtCEDCED
12、，28xxym即即8yxxmBFBECECD【解析解析】，. .DEFDEF中中FEDFED是直角，是直角，要使要使DEFDEF是等腰三角形，则只能是是等腰三角形，则只能是EF=EDEF=ED，此时，此时， RtRtBFERtBFERtCEDCED，28120 xx21428yx 化成顶点式化成顶点式: : 当当m=8m=8时，时，28,8xxy1226xx，得，得 当当x=4x=4时，时，y y的值最大，最大值是的值最大，最大值是2.2.12ym28xxym得关于得关于x x的方程的方程: : 由由，及，及即即DEFDEF为等腰三角形，为等腰三角形，m m的值应为的值应为6 6或或2.2.当
13、当EC=6EC=6时时, , m=CD=BE=2.m=CD=BE=2.=CD=BE=6; =CD=BE=6; m当当EC=2EC=2时，时，5.5.（河源（河源中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用4040米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为x x，面积为，面积为y y （1 1）求）求y y与与x x的函数关系式，并求出自变量的函数关系式，并求出自变量x x的取值范围的取值范围. .（2 2）生物
14、园的面积能否达到）生物园的面积能否达到210210平方米？说明理由平方米？说明理由 （1 1）依题意得：）依题意得：y=(40-2x)xy=(40-2x)x y=-2xy=-2x2 2+40 x+40 x x x的取值范围是的取值范围是0 x 200 x 20（2 2）当）当y=210y=210时，由（时，由（1 1）可得，）可得，-2x-2x2 2+40 x=210+40 x=210 即即x x2 2-20 x+105=0-20 x+105=0 a=1a=1，b=-20b=-20，c=105c=105，此方程无实数根，即生物园的面积不能达到此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210210平
15、方米平方米2( 20)4 1 1050, 【解析解析】【规律方法规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值值范围，根据图象求出最值. .“最大面积最大面积” ” 问题解决的基本思路问题解决的基本思路. .1.1.阅读题目，理解问题阅读题目，理解问题. .2.2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量, ,以及它们之间的关系以及它们之间的关系. .3.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系用数量的关系式表示出它们之间的关系. .4.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. .5.5.检验结果的合理性检验结果的合理性, ,拓展等拓展等. .失败是坚韧的最后考验失败是坚韧的最后考验. .俾斯麦俾斯麦