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1、第十七讲全等三角形考点一全等三角形的性质与判定考点一全等三角形的性质与判定 【主干必备主干必备】1.1.概念概念: :能够能够_的两个三角形的两个三角形.2.2.性质性质: :全等三角形的对应边全等三角形的对应边_,_,对应角对应角_._.完全重合完全重合相等相等相等相等3.3.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法已知条件已知条件判定定理判定定理三组对应边分别相等的两个三角形三组对应边分别相等的两个三角形_ 有两边及其夹角对应相等的两个三角形有两边及其夹角对应相等的两个三角形 _ 有两角及其夹边对应相等的两个三角形有两角及其夹边对应相等的两个三角形 _ 有两角及其一角的对边对应相等的两个有
2、两角及其一角的对边对应相等的两个三角形三角形_ SSSSSSSASSASASAASAAASAAS【微点警示微点警示】(1)(1)全等性质的拓展全等性质的拓展: :全等三角形对应中线、对应角平全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高分别相等分线、对应高分别相等; ;全等三角形的周长相等全等三角形的周长相等, ,面积面积相等相等. .(2)(2)全等判定的条件全等判定的条件: :至少有一条边相等至少有一条边相等, ,两个三角形才两个三角形才有可能全等有可能全等. .(3)(3)判定方法的辨析判定方法的辨析:“AAS”:“AAS”可以判定两个三角形全等可以判定两个三角形全等, ,但但“SSA”SSA
3、”不能判定两个三角形全等不能判定两个三角形全等. .【核心突破核心突破】例例1(1)1(1)【原型题原型题】如图如图,BCEF,ACDF,BCEF,ACDF,添加一个条件添加一个条件_,_,使得使得ABCABCDEF.DEF.AB=DE(BC=EFAB=DE(BC=EF或或AC=DFAC=DF或或AD=BEAD=BE均可均可, ,答案不唯一答案不唯一) )【变形题变形题1 1】( (变换条件变换条件)“)“如上图如上图,BC=EF,AC=DF”,BC=EF,AC=DF”,添加一个条件添加一个条件_,_,使得使得ABCABCDEF.DEF.C=F(AB=DEC=F(AB=DE或或AD=BE,AD
4、=BE,答案不答案不唯一唯一) )【变形题变形题2 2】( (变换条件、结论变换条件、结论) )如上图如上图, ,ABCABCDEF,DEF,则则ACAC和和DFDF的关系是的关系是_._.AC=DF,AC=DF,且且ACDFACDF(2)(2019(2)(2019宜昌中考宜昌中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,D D是是BCBC边上的一点边上的一点,AB=DB,BE,AB=DB,BE平分平分ABC,ABC,交交ACAC边于点边于点E,E,连接连接DE.DE.求证求证: :ABEABEDBE.DBE.若若A=100A=100,C=50,C=50, ,求求AEBAEB的度数的度数.
5、 .【自主解答自主解答】BEBE平分平分ABC,ABC,ABE=DBE,ABE=DBE,在在ABEABE和和DBEDBE中中, , ABEABEDBE(SAS).DBE(SAS).ABDB,ABEDBE,BEBE ，A=100A=100,C=50,C=50, ,ABC=30ABC=30, ,BEBE平分平分ABC,ABC,ABE=DBE= ABC=15ABE=DBE= ABC=15, ,在在ABEABE中中, ,AEB=180AEB=180-A-ABE=180-A-ABE=180-100-100-15-15=65=65. .12【明明技法技法】判定两个三角形全等的思路判定两个三角形全等的思路已
6、知两边已知两边找夹角找夹角(SAS)(SAS)找直角找直角(HL)(HL)找另一边找另一边(SSS)(SSS)已知一已知一边一角边一角边为角边为角的对边的对边找任一角找任一角(AAS)(AAS)边为角边为角的邻边的邻边找夹边的另一角找夹边的另一角(ASA)(ASA)找夹角的另一边找夹角的另一边(SAS)(SAS)找边的对角找边的对角(AAS)(AAS)已知两角已知两角找夹边找夹边(ASA)(ASA)找任意一对边找任意一对边(AAS)(AAS)【题组过关题组过关】1.(20191.(2019临沂中考临沂中考) )如图如图,D,D是是ABAB上一点上一点,DF,DF交交ACAC于点于点E,DE=F
7、E,FCAB,E,DE=FE,FCAB,若若AB=4,CF=3,AB=4,CF=3,则则BDBD的长是的长是( ( ) )A.0.5A.0.5B.1B.1C.1.5C.1.5D.2D.2B B2.(20192.(2019北京东城区模拟北京东城区模拟) )如图如图, ,已知已知1=2,AC=AD,1=2,AC=AD,要使要使ABCABCAED,AED,还需添加一个条件还需添加一个条件, ,那么在那么在AB=AE,AB=AE,BC=ED,BC=ED,C=D,C=D,B=E,B=E,这四个关系这四个关系中可以选择的是中可以选择的是 ( ( ) )A.A.B.B.C.C.D.D.C C3.(20193
8、.(2019邵阳中考邵阳中考) )如图如图, ,已知已知AD=AE,AD=AE,请你添加一个条请你添加一个条件件, ,使得使得ADCADCAEB,AEB,你添加的条件是你添加的条件是_.(_.(不添加任何字母和不添加任何字母和辅助线辅助线) )世纪金榜导学号世纪金榜导学号AB=ACAB=AC或或ADC=AEBADC=AEB或或ABE=ACDABE=ACD4.(20194.(2019天津模拟天津模拟) )如图如图, ,已知已知AD=BC,AB=CD,AD=BC,AB=CD,若若C=40C=40, ,则则A A的大小是的大小是_度度.40405.(5.(生活情境题生活情境题)(2019)(2019
9、汕头潮阳区模拟汕头潮阳区模拟) )生活中处处生活中处处有数学有数学. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)如图如图1 1所示所示, ,一扇窗户打开后一扇窗户打开后, ,用窗钩用窗钩ABAB将其固定将其固定, ,这这里所运用的数学原理是里所运用的数学原理是_._.(2)(2)如图如图2 2所示所示, ,在新修的小区中在新修的小区中, ,有一条有一条“Z”Z”字形绿色字形绿色长廊长廊ABCD,ABCD,其中其中ABCD,ABCD,在在AB,BC,CDAB,BC,CD三段绿色长廊上各三段绿色长廊上各修一个小凉亭修一个小凉亭E,M,F,E,M,F,且且BE=CF,BE=CF,点点M M是是BCB
10、C的中点的中点, ,在凉亭在凉亭M M与与F F之间有一池塘之间有一池塘, ,不能直接到达不能直接到达, ,要想知道要想知道M M与与F F之间的之间的距离距离, ,只需要测出线段只需要测出线段MEME的长度的长度, ,这样做合适吗这样做合适吗? ?请说明请说明理由理由. .【解析解析】(1)(1)一扇窗户打开后一扇窗户打开后, ,用窗钩用窗钩ABAB可将其固定可将其固定, ,这这里所运用的几何原理是里所运用的几何原理是: :三角形的稳定性三角形的稳定性. .答案答案: :三角形具有稳定性三角形具有稳定性(2)(2)合适合适, ,理由如下理由如下: :ABCD,ABCD,B=C,B=C,点点M
11、 M是是BCBC的中点的中点, ,MB=MC,MB=MC,在在MEBMEB与与MCFMCF中中, , MEBMEBMFC(SAS),MFC(SAS),ME=MF,ME=MF,想知道想知道M M与与F F之间的距离之间的距离, ,只需要测出线段只需要测出线段MEME的长度的长度. .BECF,BC,BMMC, 考点二角的平分线的性质和判定考点二角的平分线的性质和判定 【主干必备主干必备】1.1.性质性质: :角平分线上的点到角两边的角平分线上的点到角两边的_相等相等.2.2.判定判定: :角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的角的_上上.距离距离角平分线
12、角平分线【微点警示微点警示】(1)(1)距离的含义距离的含义: :此处的距离是指过角平分线上的点向此处的距离是指过角平分线上的点向角的两边所作垂线段的长度角的两边所作垂线段的长度. .(2)(2)推理的条件推理的条件: :无论是应用角平分线的性质还是判定无论是应用角平分线的性质还是判定, ,在写推理步骤时都要写上在写推理步骤时都要写上“垂直垂直”这一条件这一条件. .【核心突破核心突破】例例2(20192(2019湖州中考湖州中考) )如图如图, ,已知已知在四边形在四边形ABCDABCD中中,BCD=90,BCD=90,BD,BD平平分分ABC,AB=6,BC=9,CD=4,ABC,AB=6
13、,BC=9,CD=4,则四边则四边形形ABCDABCD的面积是的面积是 ( ( ) )A.24A.24B.30B.30C.36C.36D.42D.42B B【明明技法技法】遇角平分线常作的四种辅助线遇角平分线常作的四种辅助线(1)(1)过角平分线上一点作角两边的垂线过角平分线上一点作角两边的垂线, ,构造全等三角构造全等三角形形. .(2)(2)过角平分线上一点过角平分线上一点, ,作角的一边的平行线作角的一边的平行线, ,构造等腰构造等腰三角形三角形. .(3)(3)过角平分线上一点过角平分线上一点, ,作角平分线的垂线作角平分线的垂线, ,构造等腰三构造等腰三角形角形. .(4)(4)遇与
14、角平分线垂直的线段时遇与角平分线垂直的线段时, ,延长垂线段与角的另延长垂线段与角的另一边相交一边相交, ,构造等腰三角形构造等腰三角形. .【题组过关题组过关】1.(1.(易错警示题易错警示题) )如图如图,OP,OP平分平分AOB,PCOAAOB,PCOA于于C,C,点点D D是是OBOB上的动点上的动点, ,若若PC=6 cm,PC=6 cm,则则PDPD的长可以是的长可以是 ( ( ) ) A.3 cmA.3 cmB.4 cmB.4 cmC.5 cmC.5 cmD.7 cmD.7 cmD D2.(20192.(2019张家界中考张家界中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,C=9
15、0,C=90, ,AC=8,DC= AD,BDAC=8,DC= AD,BD平分平分ABC,ABC,则点则点D D到到ABAB的距离等于的距离等于( ( ) )A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.113C C3.(20193.(2019江苏模拟江苏模拟) )已知点已知点O O是是ABCABC的三条角平分线的三条角平分线的交点的交点, ,若若ABCABC的周长为的周长为12 cm,12 cm,面积为面积为36 cm36 cm2 2, ,则点则点O O到到ABAB的距离为的距离为_cm._cm.6 64.4.如图所示如图所示, ,已知已知AB=AC,BD=CD,DEABAB=AC,BD=C
16、D,DEAB于点于点E,DFACE,DFAC于于点点F.F. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证求证:EA=FA.:EA=FA.【证明证明】连接连接AD,AD,在在ACDACD和和ABDABD中中, , ACDACDABD(SSS),ABD(SSS),EAD=FAD,EAD=FAD,即即ADAD平分平分EAF,EAF,ACAB,CDBD,ADAD,DEAE,DFAF,DEAE,DFAF,E=F=90E=F=90, ,AD=AD,AD=AD,ADEADEADF(AAS),ADF(AAS),AE=AF.AE=AF.考点三尺规作图考点三尺规作图 【主干必备主干必备】1.1.定义定义: :用用_和和_的
17、作图的作图.2.2.五种基本的尺规作图五种基本的尺规作图(1)(1)作一条线段等于作一条线段等于_线段线段.(2)(2)作一个角等于作一个角等于_角角.直尺直尺圆规圆规已知已知已知已知(3)(3)作已知线段的垂直作已知线段的垂直_线线.(4)(4)作已知角的作已知角的_线线.(5)(5)过一点作已知直线的过一点作已知直线的_线线.平分平分角平分角平分垂垂【微点警示微点警示】(1)(1)直尺的用途直尺的用途: :用来画直线用来画直线, ,但不能用来度量线段长度但不能用来度量线段长度. .(2)(2)圆规的用途圆规的用途: :在确定圆心和半径的前提下在确定圆心和半径的前提下, ,用来画弧用来画弧.
18、 . 【核心突破核心突破】例例3(20193(2019达州中考达州中考) )如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90, ,AC=2,BC=3.AC=2,BC=3.(1)(1)尺规作图尺规作图: :不写作法不写作法, ,保留作图痕迹保留作图痕迹. .作作ACBACB的平分线的平分线, ,交斜边交斜边ABAB于点于点D;D;过点过点D D作作BCBC的垂线的垂线, ,垂足为点垂足为点E.E.(2)(2)在在(1)(1)作出的图形中作出的图形中, ,求求DEDE的长的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用基本作图的方法利用基本作图的方法, ,先画出先画出CDCD平
19、分平分ACB,ACB,然后作然后作DEBCDEBC于于E.E.(2)(2)利用利用CDCD平分平分ACBACB得到得到BCD=45BCD=45, ,再判断再判断CDECDE为为等腰直角三角形等腰直角三角形, ,所以所以DE=CE,DE=CE,然后证明然后证明BDEBDEBAC,BAC,从而利用相似比计算出从而利用相似比计算出DE.DE.【自主解答自主解答】(1)(1)如图如图,CD,DE,CD,DE为所作为所作. .(2)(2)CDCD平分平分ACB,ACB,BCD= ACB=45BCD= ACB=45, ,DEBC,DEBC,CDECDE为等腰直角三角为等腰直角三角形形, ,DE=CE,DE
20、=CE,DEAC,DEAC,BDEBDEBAC,BAC, 即即 , ,DE= .DE= .12DEBEACBC，DE3DE2365【明明技法技法】复杂作图技巧复杂作图技巧1.1.除第一个基本作图外除第一个基本作图外, ,都是以都是以“SSS”SSS”定理为基础的定理为基础的尺规作图尺规作图. .2.2.在复杂作图中在复杂作图中, ,基本作图的作法不必写作图过程基本作图的作法不必写作图过程, ,只只保留作图痕迹保留作图痕迹. .3.3.在复杂作图中在复杂作图中, ,首先要画出简图首先要画出简图, ,把复杂作图分解为把复杂作图分解为多个基本作图多个基本作图, ,并确定作图顺序并确定作图顺序, ,然
21、后作图然后作图. .【题组过关题组过关】1.(1.(易错警示题易错警示题)(2019)(2019宜昌中考宜昌中考) )通过如下尺规作图通过如下尺规作图, ,能确定点能确定点D D是是BCBC边中点的是边中点的是( ( ) )A A2.(2.(生活情境题生活情境题) )阅读下列材料阅读下列材料: :数学课上老师布置一道作图题数学课上老师布置一道作图题: :已知已知: :如图如图1,1,直线直线l和和l l外一点外一点P.P.求作求作: :过点过点P P的直线的直线m,m,使得使得mml. .小东的作法如下小东的作法如下: :作法作法: :如图如图2,2,(1)(1)在直线在直线l上任取点上任取点
22、A,A,连接连接PA;PA;(2)(2)以点以点A A为圆心为圆心, ,适当长为半径作弧适当长为半径作弧, ,分别交线段分别交线段PAPA于于点点B,B,直线直线l于点于点C;C;(3)(3)以点以点P P为圆心为圆心,AB,AB长为半径作长为半径作 , ,交线段交线段PAPA于点于点D;D;DQ(4)(4)以点以点D D为圆心为圆心,BC,BC长为半径作弧长为半径作弧, ,交交 于点于点E,E,作直作直线线PE.PE.所以直线所以直线PEPE就是所求作的直线就是所求作的直线m.m.老师说老师说:“:“小东的作法是正确的小东的作法是正确的.”.”DQ请请回答回答: :小东的作图依据是小东的作图
23、依据是_ ._ .内错角相等两直线平内错角相等两直线平行行3.(20193.(2019河北模拟河北模拟) )图图1 1图图4 4是四个基本作图的痕迹是四个基本作图的痕迹, ,关于四条弧关于四条弧, , , ,有四种说法有四种说法: :世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)(1)弧是以弧是以O O为圆心为圆心, ,任意长为半径所画的弧任意长为半径所画的弧; ;(2)(2)弧是以弧是以P P为圆心为圆心, ,任意长为半径所画的弧任意长为半径所画的弧; ;(3)(3)弧是以弧是以A A为圆心为圆心, ,任意长为半径所画的弧任意长为半径所画的弧; ;(4)(4)弧是以弧是以P P为圆心为圆心, ,任意长为
24、半径所画的弧任意长为半径所画的弧; ;其中正确说法的个数为其中正确说法的个数为 ( ( ) )C CA.4A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.14.(20194.(2019广东中考广东中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D D是是ABAB边上的边上的一点一点. .(1)(1)请用尺规作图法请用尺规作图法, ,在在ABCABC内内, ,求作求作ADE.ADE.使使ADE=B,DEADE=B,DE交交ACAC于于E;(E;(不要求写作法不要求写作法, ,保留作图痕迹保留作图痕迹) )(2)(2)在在(1)(1)的条件下的条件下, ,若若 =2,=2,求求 的值的值. .略略ADDBAEEC