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1、2.12.1坐标法坐标法第二章第二章2021内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系.(数学抽象)2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式.(逻辑推理)3.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.(逻辑推理)4.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.(数学运算、直观想象)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考,思考着如何确定事物的位置,这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上,蜘蛛迅速爬过去把它捉住,笛卡尔此
2、时恍然大悟,同学们能说出笛卡尔的新想法吗?知识点拨1.数轴上的基本公式(1)数轴的定义给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.(2)数轴上的基本公式如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1),且B(x2),若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标微判断如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.()答案 微思考 微练习 答案 -822 2.平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式:(2)平面直角坐标系内的中点坐标公式 微练习已知在平面直
3、角坐标系中,点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.解 设点P(x,0),则|PA|= =13,解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).微思考P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?提示 P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).微判断若ABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则ABC的重心坐答案 3.坐标法通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,这种解决问题的方法称为坐标法.微练习在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,
4、则= ()A.2B.4C.5D.10答案 D 解析 如图,以C为原点,CB,AC所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),则课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一数轴上的坐标运算数轴上的坐标运算例1已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值.两点间距离为5;两点间距离大于5;两点间距离小于3.解 数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|.根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10.根据题意得|5-a|5,即5-a5或5-a-5,故a10.根据题意得|5-a|3,即-35-a3,故2a8.变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值
5、为. 答案 3 解析 |x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.故|x-1|+|x+2|的最小值为3.探究二探究二平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用例2已知点A(a,3),B(3,3a+3)之间的距离为5,求a的值.分析由两点之间的距离公式可以表示出|AB|,而|AB|=5,可得关于a的方程,解方程即可求出a的值.即(
6、a-3)2+(3a)2=25,展开得a2-6a+9+9a2=25,所以10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,反思感悟1.点A与点B之间的距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为() 答案 B 探究三探究三平面直角坐标系内中点坐标公式的应用平面直角坐标系内中点坐标公式的应用例3已知ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的
7、坐标.分析由于AC,BC的中点的连线为ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解.反思感悟1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识(1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量.(2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点.2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键.变式训练3已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是()答案 D 探究四探究四坐标法在平面几何图形中的应用坐
8、标法在平面几何图形中的应用例4已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= |BC|.证明 如图所示,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).反思感悟建立平面直角坐标系的常见技巧(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.延伸探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2. 证明 如图所示,以RtABC的直角边AB,
9、AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.素养形成素养形成易错点易错点因扩大取值范围而致因扩大取值范围而致错错 错因分析没有验证等号是否成立,导致扩大了y的取值范围,实际上x是同步的,不能轻易分开.若分别讨论,必须验证等号成立的条件是否满足题意.【规范答题】 令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.这样求函数的最小值问题,
10、就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.如图所示,作出点A关于x轴的对称点A(0,-1),连接BA交x轴于点P,可知|BA|即为|PA|+|PB|的最小值.当堂检测当堂检测1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是()A.C(-3)和D(-4)B.C(3)和D(4)C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3)答案 A答案 C 3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案 B 4.已知ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则ABC重心G的坐标为.答案 (0,1) 5.已知ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.本本 课课 结结 束束