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1、系统函数系统函数本章主要内容：本章主要内容： 7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 7.2 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 7.3 信号流图信号流图 7 .4系统的结构系统的结构系统函数与系统特性主要内容：主要内容： 一、系统的零点与极点一、系统的零点与极点 二、系统函数与时域响应二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应一、系统的零点与极点一、系统的零点与极点LTILTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s s或或z z的有理分式的有理分式, ,它它是是s s或或z z的有理多项式的有理多项式B(B() ) 与与A (A () ) 之比。
2、之比。)()()( ABH对于连续系统对于连续系统niimjjmnnnmmmmpssbasasasbsbsbsbsAsBsH1101110111)()(.)()()( 对于离散系统对于离散系统niimjjmnnnmmmmpzzbazazazbzbzbzbzAzBzH1101110111)()(.)()()(A(A()=0)=0的根的根p p1 1，p p2 2，p pn n称为系统函数称为系统函数H(H() )的的极点；极点； B(B()=0)=0的根的根 1 1， 2 2， m m称为系统函数称为系统函数H H（）的零的零点点 例例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的、已知系统函数如下所示
3、，请求出系统的零、极点，并画出其分布图零、极点，并画出其分布图) 1() 1()2(2)(22ssssH解：零点：2；极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图 j -j（2） j -1 -2极点用“”表示；零点用“o”表示。本题：由本题：由H(s)得到零极点图得到零极点图系统函数与零极点的关系系统函数与零极点的关系 例例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。 j j2 -j2 -1解：极点p1-1j2;p2=-1-j2 零点0所以52)21)(21()(2ssksjsjskssH根据初值定理，有252l
4、im)(lim)0(22kssksssHhss522)(2ssssH本题：由零极点图得到本题：由零极点图得到H(s)系统函数的收敛域与其极点的关系：系统函数的收敛域与其极点的关系：根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含收敛域不能含H(.)的极点。的极点。例3、某离散系统函数为35 . 0)(zzzzzH（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)；（2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k) ；（3） 若系统为双边序列，求单位序列响应h(k) ；解解： （1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|3; 所以)(3)21()(kkhkk（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|1/2;
5、 所以) 1(3)21()(kkhkk（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为 1/2|Z|0niimjjmpssbsAsBsH11)()()()()(2、离散系统、离散系统S S域与域与Z Z域的关系域的关系zTsezsTln1,T为取样周期S表示为直角坐标形式,jsjTjTTjeeeez)(TeT,ZZ表示为坐极标形式可见，可见，S平面的左半平面(0)对应Z平面的圆内(|Z|=1);在S平面以虚轴为界，Z平面以|Z|=1的单位圆为界H(z)的极点分布与h(k)的关系 3. 单位圆外极点单位圆外极点 三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应 在在s s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用
6、有向平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示线段表示j j i pi jj oAiBj零、极点矢量图零、极点矢量图)()(| )()(11iinjjmmjspjjbsHjH1、连续因果系统、连续因果系统要求系统函数的极点都在左半开平面要求系统函数的极点都在左半开平面 对于任意极点对于任意极点 p pi i和零点和零点j j 令令nmmAAABBBbjH 2121)( jijjjjiieBjeApj式中式中Ai、Bj分别是差矢量（分别是差矢量（ j-pi)和（和（ j- j ） 的模，的模， i、 j 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：)()(
7、21)(21)()(2121jjnjmmejHeAAAeBBBbjHnm 式中幅频响应式中幅频响应：相频响应：相频响应：)()()(2121nm 提示：提示：把频率把频率 从从0（或（或- ）变化到）变化到+ ,根据各矢量模和幅角根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。)()()(11iinjjmmpjjbjH例例1某线性系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。大致画出系统的幅频特性和相频特性)3)(2()(ssksH j -2 -3 0解解:(1) 根据零极点图，得根据零极点图，得因为H(0)=1K=63626)3
8、)(2(6)(sssssH因为极点均在左半开平面，所以因为极点均在左半开平面，所以) 3)(2(6| )()(jjsHjHjsjjjejwHeAeA| )(|62121根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线 j -1 -2 -3 0A1A221-8-6-4-202468-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5)(|6| )(|2121AAjH-80-60-40-2002040608000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-20020406080-4-3-2-101234幅频曲线相频曲线全通函数：全通函数： 如果系统的幅频响应如果系统的幅频响
9、应| |H H( (jj)|)|对所有的对所有的均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。数称为全通函数。 以二阶系统为例说明。以二阶系统为例说明。如有二阶系统，其系统函数在左平面有如有二阶系统，其系统函数在左平面有 一对共轭极点：一对共轭极点： p p1,21,2= = j j ，令，令s s1 1= =p p1 1， s s2 2= =p p2 2，它在右半平面上，它在右半平面上有一对共轭零点有一对共轭零点 1 1= = j= sj= s1 1， 2 2= = j= sj= s2 2，那么系统函数的零点和极点对于那么系统函数的零
10、点和极点对于jj轴是镜像对称的轴是镜像对称的。其系统函数可写为：其系统函数可写为：)()()()()(*11*112121sssssssssssssssssH 两种常见的系统两种常见的系统其频率特性为：其频率特性为：对所有的对所有的有有A A1 1=B=B1 1， A A2 2=B=B2 2，所以幅频特性，所以幅频特性)(21212121212)()()( jeAABBsjsjsjsjjH1)( jH相频特性：相频特性：)2arctan(22)(2222121 上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系
11、统，其系统函数称为全通函数。等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。1 1 jjoA1B1s2 -s1-s222s1A2B22 1H| j |H| j |() ()如下图所示：如下图所示：最小相移函数最小相移函数右半开平面没有零点的系统函数称为最小最小相移函数。相移函数。P333页2、离散因果系统的频率响应、离散因果系统的频率响应若H(z)的极点均在单位圆内内，则它在单位圆上也收敛，频率响应为：)()(| )()(11ijnijjmjmezjpeebzHeHj式中式中 Ts, 为原来信号的角频率，为原来信号的角频率， Ts为取样周期为取样周期系统的频率响应系统的频率响应就是系统函
12、数在单位圆上的系统函数就是系统函数在单位圆上的系统函数例7.1-2 某离散因果系统的系统函数求其频率响应。求其频率响应。13) 1(2)(zzzH解：解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（= Ts）)3()(213) 1(2| )()(222222jjjjjjjjezjeeeeeeeezHeHj)2tan(12)2sin(4)2cos(2)2cos(4jj 其幅频响应为)2(tan412| )(|2jeH相频响应为)2tan(2arctan)(01234567-2-1.5-1-0.500.511.52系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性 主要
13、内容：主要内容： 一、系统的因果性一、系统的因果性 二、系统的稳定性二、系统的稳定性信号流图信号流图主要内容主要内容信号流图信号流图梅森公式梅森公式一、系统的因果性一、系统的因果性 因果系统因果系统指的是，系统的零状态响应指的是，系统的零状态响应y yzszs( () )不出现于激不出现于激励励f f( () )之前的系统。即对于任意的之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(f(.)=0,t(或或k)0,k)0,如果系统的零状态响应都有如果系统的零状态响应都有y yzszs(.)=0,t(.)=0,t(或或k)0k)0，就称就称该系统为因果系统该系统为因果系统，否则称为，否则称为非因果系统。
14、非因果系统。连续因果系统的充分和必要条件是：连续因果系统的充分和必要条件是：0, 0)(tth或者，系统函数或者，系统函数H H( (s s) )的收敛域为的收敛域为：0Res离散因果系统的充分和必要条件是：离散因果系统的充分和必要条件是：0, 0)(kkh或者，系统函数或者，系统函数H H( (z z) )的收敛域为的收敛域为0z即其收敛域为半径等于即其收敛域为半径等于 0的圆外区域，或者说的圆外区域，或者说H(z)的极点都在收敛圆的极点都在收敛圆|z|= 0内部内部二、系统的稳定性二、系统的稳定性 一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输
15、入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输有界输入有界输出稳定入有界输出稳定的系统，的系统，简称为稳定系统。简称为稳定系统。也就是说，也就是说，设设M Mf f，M My y为正常数，如果系统对于所有的激励为正常数，如果系统对于所有的激励fMf )(其零状态响应其零状态响应yzsMy)(则称则称该系统是稳定的该系统是稳定的。 连续系统是稳定系统的连续系统是稳定系统的充分充分和必要条件：和必要条件： Mdtth )( 0)(Mdtth连续因果系统离散系统是稳定系统的充分和必要条件离散系统是稳定系统的充分和必要条件： kMkh)( 0)(kMkh离散因果
16、离散因果系统系统 若若H(z)H(z)的收敛域的收敛域包括单位圆包括单位圆，则系统是稳定的；，则系统是稳定的； 对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数函数 H H( (s s) )的极点都在的极点都在s s平面的平面的左半开平面左半开平面；其；其逆也成立。逆也成立。若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，是不稳定的，但有时也称为边界稳定系统。但有时也称为边界稳定系统。 对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数数 H H( (z z) )的极点都在的极点都在z
17、z平面的单位圆内；平面的单位圆内；其逆也成立。其逆也成立。例7.2-1如图所示的反馈因果因果系统，问当k满足什么条件时，系统是稳定系统是稳定的，其中子系统的系统函数为)2)(1(1)(sssG F(s)G(s)KY(s)X(s)解：解：设加法器的输出信号为X(s),有)()()(sFskYsX)()()()()()()(sFsGsYskGsXsGsYkssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2H(s)的极点为kssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2kp2)23(2322, 1为使极点在左半平面，必须为使极点在左半平面，必须2223223k K0当当k1/4时，为
18、复极点，时，为复极点，21412, 1kjp为使极点在单位圆内，必须满足|p1,2|1,可得k1;所以当0k1时系统是稳定的。信号流图信号流图 主要内容主要内容 信号流图信号流图 梅森公式梅森公式信号流图信号流图是用有向的线段和点描述线性方程组变量间因果关系的一种图。信号流图信号流图用来描述系统较较方框图更为简便；而且通过梅森公式梅森公式将系统函数与相应的信信号流图联系号流图联系起来，不仅有利于系统分析，而且也便于系统模拟系统模拟。一一.信号流图信号流图Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框图方框图信号流图信号流图)()()(FHY
19、一般而言，信号流图是一种一般而言，信号流图是一种赋权赋权的有向图。的有向图。它由连接在结点间的有向支路构成。它的它由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：一些术语定义如下：2、源点：、源点：仅有出支路的结点称为源点源点。 汇点：汇点：仅有入支路的结点称为汇点汇点。信号流图基本术语信号流图基本术语1、结点和支路、结点和支路 信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为支路支路，每条支路的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数系统函数（转移函数）。3 3、通路通路 从任一任一结点出发沿着箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径路径称为通路通路
20、。通路包含有：通路包含有：开通路、闭通路或回路（或环路）、不接触回路、自回路（自环）等。前向通路前向通路：从源点到汇点的开通路。闭通路或回路（或环路）闭通路或回路（或环路）:通路的起点就是通路的终点（与其余节点相遇不多于一次）不接触回路不接触回路:相互没有公共节点的回路。自回路（自环）自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。开通路开通路:如果通路与任一节点相遇不多于一次； d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e前向通路前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5回路回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4不接触回路：不接触回路
21、： x2 x3 x2与x4 x4自回路：自回路： x4 x4通路通路(开通路或回路开通路或回路)中各支路增益的乘积称为中各支路增益的乘积称为通路增通路增益（或回路增益）益（或回路增益）流图化简的规则流图化简的规则 （2）两条增益分别为）两条增益分别为a和和b的支路相并联，可以的支路相并联，可以合并为一条增益为（合并为一条增益为（a+b）的支路。）的支路。（1）两条增益分别为）两条增益分别为a和和b的支路相串联，可以合并的支路相串联，可以合并为一条增益为为一条增益为 ab的支路，同时消去中间的结点。的支路，同时消去中间的结点。（3 3）一条）一条x x1 1 x x2 2 x x3 3的通路，如
22、果的通路，如果x x1 1 x x2 2支路的增益为支路的增益为 a a， x x2 2 x x3 3的增益为的增益为c c，在，在x x2 2处有增益为处有增益为b b的自环，的自环，则可以化简为增益为则可以化简为增益为ac/(1-b)ac/(1-b)的支路，同时削去的支路，同时削去结点结点x x2 2。（1 1）将串联支路合并从而）将串联支路合并从而减少结点减少结点；（2 2）将并联支路合并）将并联支路合并从而减少支路从而减少支路；信号流图化简步骤信号流图化简步骤（3 3）消除）消除自环自环。 反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点
23、和一个汇点的信号流图，从而求得系只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。统函数。例例7.3-1 7.3-1 求图下图所示信号流图的系统函数求图下图所示信号流图的系统函数解解 根据串联支路合并规则，将图根据串联支路合并规则，将图(a)(a)中回路中回路x x1 1 x x2 2 x x1 1和和x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x1 1化简为自环，如图化简为自环，如图b b所所示，将示，将x x1 1到到Y(s)Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图之间各串联、并联支路合并，得图（c c）。并利用并联支路合并规则，将）。并利用并联支路合并规则，将x x1 1处两个自环合处
24、两个自环合并，然后消除自环，得图（并，然后消除自环，得图（d d）。于是得到系统函数）。于是得到系统函数01201222011201121)()()(asasbsbsbsasasbsbbsFsYsH)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 这正是二阶微分方程这正是二阶微分方程的系统函数。的系统函数。二、梅森公式二、梅森公式)93 . 7(,1 rqprqpnmnmjjLLLLLL梅森公式为梅森公式为)83.7(1iiiPHjjLnmnmLL,rqprqpLLL,式中：式中： 称为信号流图的特征行列式，其中称为信号流图的特征行列式，其中是所有是所有不同回路的增益之和不
25、同回路的增益之和；是所有是所有两两不接触回路的增益乘积和两两不接触回路的增益乘积和是所有三是所有三个都互不接触回路的增益乘积之个都互不接触回路的增益乘积之 和和。i表示由源点到汇点的第第i条前向通路条前向通路的标号；Pi是由源点到汇点的第i条前向通路的增益； i是第第i条前向通路特征行列式条前向通路特征行列式的余因子，它是与与第i条前向通路不相接触的子图不相接触的子图的特征行列式。例7.3-2求右图信号流图的系统函数。例例 7.3-27.3-2解解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为 x1x2 x1回路，L1=G1H1 x2 x3 x2回路，L2=G2H2 x
26、3 x4 x3回路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4它只有一对两两互不接触的回路x1 x2 x1与x x3 3 x x4 4 x x3 3，313131HHGGLL31314321332211,)(11HHGGHGGGHGHGHGLLLnmnmjj53211HHHHP 542HHP 其回路增益乘积为其回路增益乘积为没有三个以上的互不接触的回路。所以得没有三个以上的互不接触的回路。所以得再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路F F x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 Y Y , ,其
27、增益为其增益为由于各回路都与该通路有接触，故由于各回路都与该通路有接触，故1 1=1=1对于前向通路对于前向通路F F x x1 1 x x4 4 Y Y ，其增益为，其增益为最后，按式（最后，按式（7.3-87.3-8）得）得22211HGLjj31314321332211225453211)1 (HHGGHGGGHGHGHGHGHHHHHHFYH不与不与P P2 2接触的回路有接触的回路有x x2 2 x x3 3 x x2 2，所以，所以 直接实现直接实现 级联实现级联实现 并联实现并联实现为了对信号为了对信号(连续或离散的信号连续或离散的信号)进行处理（如滤波），进行处理（如滤波），就
28、必须构造出合适的实际结构（硬件就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构实现结构或软件或软件运算结构）。运算结构）。 对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、直接形式、级联和并联形式等。级联和并联形式等。一、直接实现一、直接实现0120122)(asasbsbsbsH将上式分子、分母除以将上式分子、分母除以s2,上式可写为上式可写为)(11)(201120112201120112sasasbsbbsasasbsbbsH设二阶系统的系统函数设二阶系统的系统函数iiipH1 根据梅森公式根据
29、梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。 H(s)H(s)的分子表示三条前向通路，的分子表示三条前向通路，其增益其增益分别为分别为b b2 2、b b1 1s s-1-1和和b b0 0s s-2-2，并，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式且不与各前向通路相接触的子图特征行列式i i （i=1,2,3)i=1,2,3)均等于均等于1 1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这样就以得到样就以得到(a) (a) 信号流图，其对应的信号流图，其对应的
30、s s域框图如图域框图如图(b) (b) 。)(1)(201120112sasasbsbbsH以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348P348解解 将H(s)改写为)353(142)(32132ssssssH根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a)信号流图的转置信号流图的转置例 7.4-1 某连续系统的系统函数35342)(23SSSSSH用直接形式模拟系统。二、级联和并联实现二、级联和并联实现 级联形式级联形式是将系统函数H(z)(或H(s)分解分解为几个简单的系统函数的乘积，即 liilzHzHzHzHzH121)()()()()(其框图
31、形式如下图所示 ，其中每一个子系统Hi(z)可以用直接形式实现。并联实现并联实现并联形式是将并联形式是将H(z)或或H(s)分解为几个较简单的子系分解为几个较简单的子系统之和，即统之和，即 liiizHzHzHzHzH121)()()()()(其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。通常各子系统选用一通常各子系统选用一阶函数和二阶函数，阶函数和二阶函数，分别分别称为一阶节、二称为一阶节、二阶节。阶节。其函数形式分别为其函数形式分别为 201120112101011)(1)(zazazbzbbzHzazbbzHiiiiiiiiii一阶和
32、二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示解解:（1）级联实现）级联实现 首先将首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是次因式的乘积。于是35342)(23sssssH)32)(1()2(2)()()(221sssssHsHsH例例7.4-3 某连续系统的系统函数某连续系统的系统函数分别用级联和并联形式模拟系统。分别用级联和并联形式模拟系统。2121221113212322)(1212)(ssssssssHssssH将上式分解为一阶节与二阶节的级联，令将上式分解为一阶节与二阶节的级联，令
33、上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示（2）并联实现）并联实现 将系统函数展开为部分分式将系统函数展开为部分分式2121135342)(22123jsKjsKsKsssssH（a)a)、(b)(b)分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如图（图（c)c)所示，其相应的方框图如下图所示。所示，其相应的方框图如下图所示。3211121)21 (2121)21 (211135342)(223 ssssjsjjsjssssssH21 (21)21 (21)()21(1)() 1(*2321211jKKjsHjsKsHsKjs
34、s式中式中于是系统函数可写为于是系统函数可写为212122111321321)(111)(ssssssssHssssH令令画出画出H1(s)和和H2(s)的信号流图，将二者并联即得的信号流图，将二者并联即得H(s)的的信号流图如图（信号流图如图（a)所示，相应框图如图（所示，相应框图如图（b)所示所示 例例7.4-4 描述离散的差分方程为描述离散的差分方程为 )2(2)(2) 3(81)2(41) 1(21-y(k)kfkfkykyky分别用级联和并联形式模拟系统分别用级联和并联形式模拟系统81412122)(233zzzzzzH(1)级联实现级联实现将将H(z)的分子和分母分解为因式，得的分
35、子和分母分解为因式，得)41)(21() 1(2)(22zzzzzH解：解： 按上式，可得到子系统的信号流图如下图所示，将将二者级联后，二者级联后，就得到系统的信号流图。15 . 012212)( 1zzzzH2222225. 011411)(zzzzzH z-1 1 -0.25 1 z-1 -1 z-1 1 0.5 2 z-1 1 0.5 2 z-1 1 -0.25 1 z-1 -1 系统框图如下图所示 z10.520.25 z1 z11-1-本章小结本章小结 一、系统函数与系统特性（零，极点）一、系统函数与系统特性（零，极点） 二、系统的因果性与稳定性（系统函数二、系统的因果性与稳定性（系统函数极点）极点） 三、信号流图、系统函数、梅森公式三、信号流图、系统函数、梅森公式 四、系统模拟，由系统函数得到框图或四、系统模拟，由系统函数得到框图或信号流图，即求出系统结构。信号流图，即求出系统结构。